11.3 多边形及其内角和【解析版】

第十一章三角形11.3多边形及其内角和1多边形（1）概念：在平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.（2）分类：多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。（3）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.2多边形的内角和n边形的内角和等于(n解释n边形的内角和可以分成n−2个三角形的内角和之和，故n边形的内角和等于(【例】八边形的内角和等于8−2×180°=1080°3多边形的外角和多边形的外角和等于360°.解释（1）多边形的外角和指的是多边形每个顶点各取的一个外角之和；（2）证明：n边形的内角和(n则多边形的外角和等于180°×n【例】五边形，吧边形、十边形的外角和均是360°.4镶嵌用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题属于镶嵌问题.解释类似铺地砖，要求不能有重叠部分，也不能有空隙.常见的地砖可以是正方形，正三角形等.【题型1】与多边形内角有关的计算【典题1】在如图所示的多边形中，根据标出的各内角度数，求出x的值是．解析五边形的内角和为(5﹣2)×180°＝540°，由题意得，140°+4x°＝540°，解得x＝100．故答案为：100．【典题2】如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝()A．280° B．260° C．240° D．220°解析如图，连接BD，∵∠BCD＝100°，∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣∠BCD＝180°﹣100°＝80°，∵四边形内角和为360°，∴∠A+∠ABC+∠CDE+∠E＝360°﹣(∠CBD+∠CDB)＝360°﹣80°＝280°，故选：A．【巩固练习】1.下列正多边形中，内角和为540°的是()A． B． C． D．答案B解析A、正方形的内角和为：4×90°＝360°，不符合题意；B、正五边形的内角和为：(5﹣2)×180°＝3×180°＝540°，符合题意；C、正六边形的内角和为：(6﹣2)×180°＝4×180°＝720°，不符合题意；D、正八边形的内角和为：(8﹣2)×180°＝6×180°＝1080°，不符合题意；故选：B．2.一个多边形的内角和为1260°，则这个多边形是()A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形答案C解析设这个多边形是n边形，根据题意得：(n﹣2)•180°＝1260°，解得：n＝9，则这个多边形是九边形．故选：C．3.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝50°，∠2＝152°，则∠AEC为()A．7° B．6.5° C．6° D．5.5°答案C解析∵∠1＝50°，∠2＝152°，∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣50°﹣152°＝158°，∴∠A＝180°﹣(∠B+∠C)＝180°﹣158°＝22°，∴∠A+∠AEC＝180°﹣∠2，即22°+∠AEC＝180°﹣152°，∴∠AEC＝6°．故选：C．4.如图所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是()A．180° B．270° C．360° D．540°答案C解析如图，连接AD，则∠B+∠BAD+∠ADC+∠C＝360°，根据“8字形”数量关系，∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，所以∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．故选：C．5.如图，六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠D＝∠A，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，则∠F的度数为()A．110° B．120° C．130° D．140°答案C解析延长CB交FA延长线于G，∵CD∥AF，∠C+∠G＝180°，∵∠C＝120°，∴∠G＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABG＝90°，∴∠BAF＝∠G+∠ABG＝150°，∴∠D＝∠BAF＝150°，∵∠C+∠D+∠E+∠F+∠BAF+∠ABC＝(6﹣2)×180°＝720°，∴∠F＝720°﹣120°﹣150°﹣80°﹣150°﹣90°＝130°．故选：C．【题型2】与多边形外角有关的计算【典题1】若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形的边数为()A．4 B．6 C．7 D．8解析设这个多边形的边数为n，则(n﹣2)•180°＝360°×3，解得：n＝8，即这个多边形的边数为8，故选：D．【典题2】如图，淇淇从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．则淇淇一共走了米．解析∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，∴360÷20＝18，∵18×3＝54(米)，∴淇淇一共走了54米，故答案为：54．【巩固练习】1.一个多边形的每个内角都相等，这个多边形的外角不可能是()A．30° B．40° C．50° D．60°答案C解析由题意得，这个多边形的每一个外角均相等．∴每一个外角的度数整除360°．∵30°、40°、60°均能整除360°，50°不能整除360°，∴选项C符合题意．故选：C．2.在一个多边形中，小于108°的内角最多有()个．A．2 B．3 C．4 D．5答案C解析∵多边形的内角小于108°，∴外角大于72°，∴小于108°的内角个数＜360°÷72°＝5，即小于108°的内角最多有4个．故选：C．3.若一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为()A．5 B．6 C．7 D．4答案A解析设该多边形的边数为n，由题意可得：(n﹣2)•180°＝1.5×360°，解得：n＝5，故选：A．4.如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是120°，则∠α的值为()A．50° B．55° C．60° D．65°答案A解析∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣120°﹣120°＝50°．故选：A．5.如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了()m．A．24 B．60 C．100 D．120答案D解析∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n＝360°÷15°＝24，则一共走了24×5＝120(米)．故选：D．6.如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于()A．100° B．180° C．210° D．270°答案B解析延长AB，DC，∵AB∥CD，∴∠4+∠5＝180°．∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣(∠4+∠5)＝360°﹣180°＝180°．故选：B．【题型3】正多边形的角度计算【典题1】一个多边形的每个内角都是108°，则这个多边形的边数为()A．4 B．5 C．6 D．8解析外角的度数是：180﹣108＝72°，则这个多边形的边数是：360÷72＝5．故选：B．【典题2】将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG＝．解析由题意得，CG＝CD．∴∠CGD＝∠CDG．∵多边形ABCDEF是正六边形、多边形BCGHI是正五边形．∴∠BCG＝120°，∠BCD＝108°．∴∠DCG＝360°﹣∠BCG﹣∠BCD＝360°﹣120°﹣108°＝132°．∴∠CGD+∠CDG＝180°﹣∠GCD＝48°．∴2∠CDG＝48°．∴∠CDG＝24°．故答案为：24°．【巩固练习】1.如果多边形的每一个外角都是20°，那么这个多边形的边数是()A．8 B．12 C．16 D．18答案D解析多边形的边数是：360°÷20°＝18．故选：D．2.一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2：1，则这个正多边形是()A．正五方形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形答案B解析∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2：1，∴设这个外角是x，则内角是2x，根据题意得x+2x＝180°，解得x＝60°，∴360°÷60°＝6，故选：B．3.如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝()A．72° B．36° C．45° D．47°答案A解析延长AB交l2于F，∵l1∥l2，∴∠BFD＝∠2，∵正五边形ABCDE的每个外角相等，∴∠FBC＝360°÷5＝72°，∵∠1＝∠BFD+∠FBC，∴∠1﹣∠BFD＝∠FBC＝72°，∴∠1﹣∠2＝72°．故选：A．4.如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE，EG平分∠AED，交DC延长线于点G，则∠G为()A．15° B．20° C．25° D．30°答案A解析∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AF＝EF，∠F＝∠DEF＝∠D＝(6﹣2)×180°÷6＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝(180°﹣∠F)÷2＝(180°﹣120°)÷2＝30°，∴∠AED＝∠DEF﹣∠FEA＝120°﹣30°＝90°，∵EG平分∠AED，∴∠DEG＝12∠AED＝1∴∠G＝180°﹣∠D﹣∠DEG＝180°﹣120°﹣45°＝15°，故选：A．【题型4】多边形的对角线问题【典题1】探究归纳题：(1)试验分析：如图1，经过A点可以做条对角线；同样，经过B点可以做条对角线；经过C点可以做条对角线；经过D点可以做条对角线．通过以上分析和总结，图1共有条对角线．(2)拓展延伸：运用(1)的分析方法，可得：图2共有条对角线；图3共有条对角线；(3)探索归纳：对于n边形(n＞3)，共有条对角线．(用含n的式子表示)(4)运用结论：九边形共有条对角线．解析经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．故答案为：1、1、1、1、2；(2)拓展延伸：运用(1)的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线；故答案为：5；9；(3)探索归纳：对于n边形(n＞3)，共有n(n−3)2故答案为：n(n−3)2(4)特例验证：九边形有9×(9−3)2故答案为：27．【巩固练习】1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画7条对角线，则它是()边形．A．七 B．八 C．九 D．十答案D解析设多边形有n条边，则n﹣3＝7，解得：n＝10，故多边形的边数为10，即它是十边形，故选：D．2.一个多边形只有27条对角线，则这个多边形的边数为()A．8 B．9 C．10 D．11答案B解析设多边形有n条边，则n(n−3)2解得n＝9或n＝﹣6(负值舍去)．故选：B．3.探究归纳题：(1)试验分析：如图1，经过一个顶点(如点A)可以作条对角线，它把四边形ABCD分为个三角形；(2)拓展延伸：运用(1)的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为个三角形；(3)探索归纳：对于n边形(n＞3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为个三角形．(用含n的式子表示)(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形．解析(1)如图1，经过一个顶点(如点A)可以作1条对角线，它把四边形ABCD分为2个三角形；(2)应用(1)的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为3个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为4个三角形；(3)对于n边形(n＞3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n﹣2)个三角形．(用含n的式子表示)；(4)过一个顶点的所有对角线可把十边形分为8个三角形．故答案为：(1)1，2；(2)3，4；(3)(n﹣2)；(4)8．【题型5】多边形的镶嵌问题【典题1】正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是()A．正方形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形解析A、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；B、正八边形的每个内角是135°，正六边形的每个内角是120°，135°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；C、正十二形的每个内角是150°，正六边形的每个内角是120°，150°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；D、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，正十二形的每个内角是150°，90°+120°+150°＝360°，故能铺满，D选项符合题意．故选：D．【巩固练习】1.用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是()A．正三角形 B．长方形 C．正八边形 D．正六边形答案C解析A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3＝60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、长方形的一个内角度数为180﹣360÷4＝90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8＝135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；D、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6＝120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意．故选：C．2.用一种正多边形铺设地面时，不能铺满地面的是()A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形答案C解析A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，不符合题意；B、正四边形的每个内角是90°，4个能密铺，不符合题意；C、正五边形的每个内角是108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，能密铺，不符合题意．故选：C．3.能够铺满地面的正多边形组合是()A．正六边形和正五边形 B．正方形和正八边形 C．正五边形和正八边形 D．正三角形和正八边形答案B解析A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；B、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；D、正三角形每个内角为60度，正八边形每个内角为135度，135m+108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．故选：B．【题型6】多边形的去（多角问题）【典题1】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是()A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10解析设内角和为1440°的多边形的边数是n，则(n﹣2)•180＝1440，解得：n＝10．则原多边形的边数为9或10或11故选：A．【巩固练习】1.一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将()A．增加180° B．减少180° C．不变 D．不变或增加180°或减少180°答案D解析∵四边形，截一刀后得到的新多边形可能是四边形，五边形，三角形，∴新多边形的内角和将不变或增加180°或减少180°．故选：D．2.若一个多边形剪去一个角后，内角和为720°，则原多边形不可能是几边形()A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形答案A解析设内角和为720°的多边形的边数是n，则(n﹣2)•180＝720，解得：n＝6．∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，∴原多边形的边数为5或6或7．故选：A．【A组---基础题】1.若一个n边形内角和为540°，则n的值为()A．5 B．6 C．7 D．8答案A解析由题意知，180°(n﹣2)＝540°，解得n＝5，故选：A．2.小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为()A．30° B．36° C．60° D．72°答案A解析∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴多边形的边数为：72÷6＝12．根据多边形的外角和为360°，∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．故选：A．3.如图，将正五边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O．若点A，B，C，D在同一条直线上，则∠BOC的度数为()A．15° B．18° C．28° D．30°答案B解析∵正五边形的内角为：(5−2)×1805∴∠OBC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣108°＝72°，∠OCB＝180°﹣∠OCD＝90°，∴在△OBC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝18°，故选：B．4.下面能够铺满地面的正多边形的组合是()A．正方形和正五边形 B．正方形和正六边形 C．正方形和正七边形 D．正方形和正八边形答案D解析A、正方形和正五边形内角分别为90°、108°，不能构成360°的周角，不能铺满，故此选项错误；B、正方形、正六边形内角分别为90°、120°，不能构成360°的周角，不能铺满，故此选项错误；C、正方形、正七边形内角分别为90°、900∘D、正方形和正八边形内角分别为90°、135°，因为135°×2+90°＝360°，能构成360°的周角，能铺满，故此选项正确．故选：D．5.把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDM的CD边重合，按照如图的方式叠合在一起，延长MG交AF于点N，则∠ANG等于()A．140° B．144° C．148° D．150°答案B解析(6﹣2)×180°÷6＝120°，(5﹣2)×180°÷5＝108°，∠ANG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°．故选：B．6.已知五边形各内角的度数如图所示，则图中x＝°．答案解析依题意有x°+x°+x°+x°+60°＝(5﹣2)×180°，解得：x＝120．故答案为：120．7.一个多边形的内角和与它的外角和之比为3：1，则这个多边形的边数是．答案8解析设多边形的边数是n，则(n﹣2)×180°：360°＝3：1，整理得n﹣2＝6，解得n＝8．故答案为：8．8.如图，一个正五边形和一个正六边形有一个公共顶点O，则∠1+∠2＝．答案132°解析∵正五边形的每个内角度数＝180°﹣360°÷5＝108°，正六边形的每个内角度数＝180°﹣360°÷6＝120°，∴∠1+∠2+108°+120°＝360°，∴∠1+∠2＝132°．故答案为：132°．9.如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则α的度数为°．答案144解析由题意可得：正五边形的每个内角为：(5−2)×180即：∠ABC＝108°，∠ABD＝90°，则∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝108°﹣90°＝18°，同理可得：∠DCB＝18°，∴∠BDC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，即：α的度数为144°．故答案为：144．10.已知一个多边形的边数为n，每个内角都相等．(1)若这个多边形的内角和的14比外角和多90°，求n(2)若这个多边形的一个内角为108°，求n的值．答案(1)12(2)5解析(1)依题意，得(n−2)⋅180×14=360+90即n的值为12；(2)∵这个多边形的每个内角都相等．∴这个多边形的每个外角都相等．∵多边形的一个内角为108°，∴这个多边形的外角为72°，∵多边形的外角和为360°，∴n=360即n的值为5．11.探究与发现：(1)如图(1)，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD．①若∠A＝70°，则∠P＝．②若∠A＝α，用含有α的式子表示∠P为．(2)如图(2)，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．(3)如图(3)，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．答案(1)125°(2)∠P＝12(∠A+∠B)(3)∠P＝12(∠A+∠B+∠E+∠解析(1)①∵∠A＝70°，∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝110°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝12∠ADC，∠DCP＝12∠∴∠P＝180°﹣(∠PDC+∠PCD)＝180°﹣12(∠ADC+∠ACD)＝180°﹣1故答案为：125°；②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝12∠ADC，∠DCP＝12∠∵∠A+∠ADC+∠ACD＝180°，∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A，∵∠P+∠PDC+∠PCD＝180°，∴∠P＝180°﹣(∠PDC+∠PCD)＝180°﹣12(∠ADC+∠ACD∴∠P＝180°﹣12(180°﹣∠A)＝90°+12∠A＝90°+故答案为：∠P＝90°+12(2)∠P＝12(∠A+∠B理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDP＝12∠ADC，∠DCP＝12∠∵∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠BCD+∠ADC＝360°﹣(∠A+∠B)，∵∠P+∠PDC+∠PCD＝180°，∴∠P＝180°﹣(∠PDC+∠PCD)＝180°﹣12(∠ADC+∠BCD∴∠P＝180°﹣12[360°﹣(∠A+∠B)]＝12(∠A+∠(3)∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC＝12∠EDC，∠PCD＝12∠∵∠A+∠B+∠E+∠F+∠BCD+∠EDC＝720°，∴∠BCD+∠EDC＝720°﹣(∠A+∠B+∠E+∠F)，∵∠P+∠PDC+∠PCD＝180°，∴∠P＝180°﹣(∠PDC+∠PCD)＝180°﹣12(∠EDC+∠BCD∴∠P＝180°﹣12[720°﹣(∠A+∠B+∠E+∠F∴∠P＝12(∠A+∠B+∠E+∠F故答案为：∠P＝12(∠A+∠B+∠E+∠F【B组---提高题】1.如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，∠1＝48°，则∠2＝°．答案120°解析如图，过点B作直线BF∥l1，∵l1∥l2，BF∥l1，∴BF∥l2，∴∠1＝∠ABF＝48°，∠2+∠CBF＝180°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴五边形ABCDE的内角和为：(5﹣2)×180°＝54