2023八年级数学下册 第17章 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法第3课时 公式法教学设计 （新版）沪科版

2023八年级数学下册第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法第3课时公式法教学设计（新版）沪科版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析哎呀，同学们，咱们今天要来探究一个很有趣的数学问题——一元二次方程的解法。咱们教材上第17章第17.2节里提到了，一元二次方程的解法可不止一种哦，其中最经典的就要数公式法了。咱们得好好看看，这个公式法到底是怎么一回事，它又是怎么帮助我们解出一元二次方程的宝藏答案的。😉咱们得结合课本，把知识点吃透，这样才能在实际的数学世界里游刃有余。核心素养目标1.发展数学抽象能力，通过公式法理解一元二次方程的本质特征。

2.培养逻辑推理能力，学会运用公式法进行方程求解，提升推理过程的严谨性。

3.提升数学建模意识，将实际问题转化为数学模型，运用公式法解决问题。

4.增强数学运算能力，熟练掌握公式法的运算步骤，提高计算效率。学习者分析首先，同学们在之前的学习中，已经接触过一元一次方程，对于方程的基本概念和解法有了初步的了解。但是，对于一元二次方程，特别是公式法的应用，可能还需要一些时间来消化和掌握。

在学习兴趣方面，由于一元二次方程的求解涉及代数运算和公式推导，对数学有浓厚兴趣的同学通常会表现出较高的积极性。不过，有些同学可能对复杂的代数运算感到畏惧，或者对推导过程缺乏耐心。

在能力上，同学们的数学基础和运算能力参差不齐。部分同学在解决类似问题时能迅速找到解题思路，而另一些同学可能需要更多的时间和指导。学习风格方面，有的同学可能更倾向于通过大量练习来提高解题技巧，而有的同学则可能更倾向于理解公式背后的原理。

至于可能遇到的困难和挑战，首先是对于二次项系数、常数项的处理可能不太熟悉，导致计算错误。其次是推导公式的过程可能较为抽象，理解起来有难度。再者，当方程没有实数根时，同学们可能难以正确判断。这些都需要我们在教学中加以注意和引导。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，首先通过讲解公式法的原理，让学生对公式有直观的理解。

2.设计小组合作活动，让学生在小组内讨论并尝试应用公式法解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.利用多媒体展示一元二次方程的求解过程，帮助学生直观理解公式推导的每一步。

4.设计互动游戏，如“方程猜猜猜”，让学生在游戏中巩固公式法的应用，增加学习的趣味性。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

1.提问：同学们还记得我们之前学过的一元一次方程吗？谁能告诉我一元一次方程的解法有哪些？

2.展示一些一元一次方程的例子，引导学生回顾解法，并提问：如果方程变得更复杂，比如变成了x^2+bx+c=0，我们会怎么办？

3.引入课题：今天我们就来学习一元二次方程的解法之一——公式法。

二、新课讲授（用时15分钟）

1.讲解一元二次方程的一般形式，强调二次项、一次项和常数项的概念。

2.引导学生回顾一元二次方程的判别式，并解释判别式对解的影响。

3.详细讲解公式法的步骤，包括代入a、b、c的值，计算判别式，判断根的情况，并给出具体的例子进行演示。

三、实践活动（用时15分钟）

1.分发练习题，让学生独立完成一元二次方程的求解，包括有实根和无实根的情况。

2.针对有实根的方程，引导学生使用公式法求解，并检查计算过程。

3.针对无实根的方程，让学生思考如何解释没有实数解的情况，并举例说明。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.将学生分成小组，每组讨论以下问题：

-如何判断一元二次方程是否有实数根？

-公式法求解一元二次方程时，容易出现哪些错误？

-如果方程的系数都是整数，求解过程会有什么特点？

2.每组选派代表汇报讨论结果，教师进行点评和总结。

五、总结回顾（用时5分钟）

1.回顾本节课的主要内容，强调一元二次方程的公式法求解步骤。

2.提出几个典型问题，让学生现场解答，巩固所学知识。

3.强调本节课的重难点，如判别式的判断和公式法的应用。

通过本节课的学习，学生应该能够掌握一元二次方程的公式法求解步骤，并能应用于解决实际问题。教学过程中，注重学生的参与和互动，通过实践活动和小组讨论，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。预计本节课用时45分钟。拓展与延伸1.**拓展阅读材料**

-《一元二次方程的应用》选自《数学故事集锦》，通过讲述数学家们如何利用一元二次方程解决实际问题，激发学生对数学应用的兴趣。

-《一元二次方程的历史与发展》摘自《数学史话》，介绍一元二次方程在数学发展史上的地位和演变过程，拓宽学生的数学视野。

-《一元二次方程的几何意义》选自《几何与代数的桥梁》，探讨一元二次方程与几何图形之间的关系，帮助学生从不同角度理解方程。

2.**课后自主学习和探究**

-**探究一元二次方程的根与系数的关系**：鼓励学生研究一元二次方程ax^2+bx+c=0的根x1和x2与系数a、b、c之间的关系，例如韦达定理。

-**探索一元二次方程的图形表示**：让学生利用几何画板等软件，绘制一元二次方程的图形，观察图形与方程系数之间的关系。

-**分析一元二次方程在实际问题中的应用**：让学生收集生活中的实际问题，如物理、工程、经济等领域，尝试用一元二次方程建模并求解。

3.**实践项目**

-**“方程解决竞赛”**：组织学生参加方程解决竞赛，鼓励他们运用一元二次方程解决实际问题，提高解决问题的能力。

-**“数学建模活动”**：引导学生结合所学知识，选择一个感兴趣的领域，如建筑设计、交通规划等，进行数学建模，提出解决方案。

-**“数学论文撰写”**：鼓励学生就一元二次方程的某个特定方面进行研究，撰写数学小论文，提高学生的研究能力和写作能力。典型例题讲解1.**例题**：解方程\(x^2-5x+6=0\)。

**解答**：

-首先，我们识别出一元二次方程的系数：\(a=1\),\(b=-5\),\(c=6\)。

-接着，计算判别式：\(\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\)。

-因为判别式\(\Delta>0\)，所以方程有两个不同的实数根。

-使用公式法求解：\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}\)。

-得到两个根：\(x_1=\frac{5+1}{2}=3\)和\(x_2=\frac{5-1}{2}=2\)。

2.**例题**：解方程\(2x^2-4x-6=0\)。

**解答**：

-系数：\(a=2\),\(b=-4\),\(c=-6\)。

-判别式：\(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)=16+48=64\)。

-因为\(\Delta>0\)，方程有两个不同的实数根。

-求解：\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}=\frac{4\pm8}{4}\)。

-根：\(x_1=\frac{4+8}{4}=3\)和\(x_2=\frac{4-8}{4}=-1\)。

3.**例题**：解方程\(x^2-6x+9=0\)。

**解答**：

-系数：\(a=1\),\(b=-6\),\(c=9\)。

-判别式：\(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0\)。

-因为\(\Delta=0\)，方程有一个重根。

-求解：\(x=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3\)。

-根：\(x_1=x_2=3\)。

4.**例题**：解方程\(x^2+2x-3=0\)。

**解答**：

-系数：\(a=1\),\(b=2\),\(c=-3\)。

-判别式：\(\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16\)。

-因为\(\Delta>0\)，方程有两个不同的实数根。

-求解：\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}\)。

-根：\(x_1=\frac{-2+4}{2}=1\)和\(x_2=\frac{-2-4}{2}=-3\)。

5.**例题**：解方程\(3x^2-6x+3=0\)。

**解答**：

-系数：\(a=3\),\(b=-6\),\(c=3\)。

-判别式：\(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot3\cdot3=36-36=0\)。

-因为\(\Delta=0\)，方程有一个重根。

-求解：\(x=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2\cdot3}=1\)。

-根：\(x_1=x_2=1\)。

这些例题涵盖了判别式为正、零和负的情况，以及一元二次方程有实数根和重根的情况，旨在帮助学生全面理解一元二次方程的公式法求解过程。内容逻辑关系①一元二次方程的定义

-知识点：一元二次方程的一般形式是\(ax^2+bx+c=0\)，其中\(a\neq0\)。

-关键词：一元、二次、方程、一般形式、系数、未知数。

②公式法的推导

-知识点：公式法的推导基于配方法，通过完成平方来得到解的表达式。

-关键词：配方法、平方、完成平方、判别式、根的公式。

③判别式的应用

-知识点：判别式\(\Delta=b^2-4ac\)用于判断方程的根的性质。

-关键词：判别式、根的性质、正根、负根、重根、实数根、无实数根。

④解的讨论

-知识点：根据判别式的值，可以讨论方程的解的情况。

-关键词：实数根、两个不同的实数根、一个重根、无实数根。

⑤公式法的应用

-知识点：运用公式法求解一元二次方程，包括计算步骤和注意事项。

-关键词：代入公式、计算过程、分母不为零、化简结果。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了一元二次方程的解法之一——公式法。通过这节课的学习，我们了解到一元二次方程的一般形式是\(ax^2+bx+c=0\)，其中\(a\neq0\)。我们学习了如何通过公式法求解一元二次方程，这个方法的核心是判别式\(\Delta=b^2-4ac\)，它帮助我们判断方程根的性质。

在公式法的推导过程中，我们使用了配方法，通过完成平方来得到解的表达式。当判别式\(\Delta>0\)时，方程有两个不同的实数根；当\(\Delta=0\)时，方程有一个重根；当\(\Delta<0\)时，方程没有实数根。

下面是今天课堂的重点知识点：

1.一元二次方程的一般形式和系数。

2.判别式\(\Delta=b^2-4ac\)的意义和计算。

3.公式法求解一元二次方程的步骤和注意事项。

当堂检测：

1.**选择题**

-一元二次方程\(x^2-5x+6=0\)的解是：

A.\(x_1=2,x_2=3\)

B.\(x_1=-2,x_2=-3\)

C.\(x_1=2,x_2=-3\)

D.\(x_1=-2,x_2=3\)

2.**填空题**

-方程\(x^2-4x+4=0\)的解是\(x_1=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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