新人教版数学九年级下册全册教学设计

第二十六章反比例函数

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数

1.理解反比例函数的概念；（难点）

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；（重点）

3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.（重点）

一、情境导入

1.京广高铁全程为2298km,某次列车的平均速度。（单位：km/h）与此次列车的全程运

行时间《单位：h）有什么样的等量关系？

2.冷冻一个物体，使它的温度从20C下降到零下100℃,每分钟平均变化的温度T（单

位：°C）与冷冻时间《单位：min）有什么样的等量关系？

问题：这些关系式有什么共同点？

二、合作探究

探究点一：反比例函数的定义

［类型—］反比例函数的识别

［例H卜.列函数中：①y=*；②3xy=l；③）平；④.反比例函数有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

解析：①y=第是反比例函数，正确；②3xy=l可化为>=（，是反比例函数，正确；

1—x

③/二一是反比例函数，正确；④y=5是正比例函数，错误.故选C.

方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，

然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y=^k为常数，〃W0）,y=kx-\k为常数，k

WO）或孙=k伏为常数，ZWO）.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

［类型二］根据反比例函数的定义确定字母的值

［例应已知函数y=（2m2+〃L1）工2加2+3〃?-3是反比例函数，求m的值.

解析：由反比例函数的定义可得2〃尸+3/〃-3=-1,2〃尸+/〃一1#0,然后求解即可.

2〃0+3〃L3=-1,

解：；y=（2m2+???—!）x2nr+3〃L3是反比例函数，，,解得〃1=—

2〃F+〃?-1WO,

2.

方法总结：反比例函数也可以写成），二履—|代"0）的形式，注意x的次数为一1,系数不

等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式

［类型一］确定反比例函数解析式

［例❸已知变量y与x成反比例，且当x=2时，y=-6.求：

（1）），与文之间的函数解析式；

（2）当y=2时，x的值.

解析：（1）由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求

解.（2）代入求得的函数解析式，解得x的值即可.

k

解：（1）・・•变量y与x成反比例，，设尸##0）,1•当尸2时，尸一6,・»=2X（一

6）=-12,与x之间的函数解析式是），=—?：

A

12

（2）当y=2时，y=~—=2,解得工=-6.

方法总结；用待定系数法求反比例函数解析式时要注意；①设出含有待定系数的反比例

函数解析式，形如y=5（4为常数，AW0）；②将已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析

式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型二］解决与正比例函数和反比例函数有关的问题

砸1已知尸》+以，》与（x—1）成正比例，”与（x+1）成反比例，当工=0时，）=一3：

当x=l时，y=-1.求：

（l）y关于x的关系式；

（2）当x=一5寸，y的值.

解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到yi,y2的关系式，进而得到），的关系式，

把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式.

%

解：⑴•・飞与（X—I）成正比例，”与（》+1）成反比例，，设1）为#0）,户=不仃

%

伏2大0），Vy=yi+>',.,・?=々1（工-1）+-7^7.当x=0时，y=-3；当x=I时，y=-1,/.

2人I1

（2）把A=一;代入（I）中函数关系式得y=-3

方法总结：能根据题意设出V,比的函数关系式并耗待定系数法求得等量关系是解答此

题的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题

所写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数.

(1)底边为3cm的三角形的面积ycnf随底边上的高4cm的变化而变化：

(2)一艘轮船从相距5km的甲地驶往乙地，轮船的速度咏m/h与航行时间th的关系；

(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m,剩下的未检修的管道长.vm随检修天数

x的变化而变化.

解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为

反比例函数.

解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y=13r，不是反比例函数：

(2)两个变量之间的函数表达式为：v=：,是反比例函数；

⑶两个变量之间的函数表达式为：j=100-10.v,不是反比例函数.

方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据

解析式的特点判断是什么函数.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

三、板书设计

1.反比例函数的定义：

形如伏为常数，AW0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，自变量x的取值

范围是不等于0的一切实数.

2.反比例函数的形式：

(1»=§(我为常数，-0);

(2闪，=2仅为常数，斤0)；

(3))，=履一«为常数，�).

3.确定反比例函数的解析式：待定系数法.

4.建立反比例函数模型.

让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的

兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景.因为反

比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，

在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它

们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.

26.1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质

1.会用描点的方法画反比例函数的图象；（重点）

2.理解反比例函数图象的性质.（重点，难点）

一、情境导入

已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市.则所需要

的时间，（天）和每天运出的面粉总重量"?（吨）之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标

系中画出这个图形吗？

二、合作探究

探究点一：反比例函数的图象

［类型—］反比例函数图象的画法

___4

1例U作函数y=（的图象.

解析：根据阳数图象的画法，进行列表、描点、连战即可.

解：列表:

X-4-2-1124

V-1-2-4421

描点、连线:

方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型二］反比例函数与一次函数图象位置的确定

画国在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数），一§和），一匕+3的图象大致是（）

争

ARCD

解析：A.由函数），="妁图象可知k>0与1y=丘+3的图象中女>0且过点（0,3）一致，故

k

A选项正确；B.由函数的图象可知A>0与），=辰+3的图象中％>0且过点（（），3）矛盾,

故B选项错误；C.由函数)，=§的图象可知AVO与y=h+3的图象中LVO且过点(0,3)矛

盾，故C选项错误；D.由函数y=5的图象可知〃>0与)，=履+3的图象中氏vo且过点(0,

3)矛盾，故D选项错误.故选A.

方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定左的符号，再确定

一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；如果不符合，一定错误.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

［类型三］实际问题中函数图象的确定

丽若按xL/min的速度向容枳为20L的水池中注水，注满水池需ymin.则所需时间)，min

与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为()

解析：•・•水池的容积为20L,二孙=20,(x>0),故选B.

.X

方法总结；解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定

函数自变量的取值范围，从而确定函数图象.

［类型四］反比例函数图象的对称性

画。若正比例函数『=一标与反比例函数)，=§图象的一个交点坐标为(-1,2),则另

一个交点坐标为()

A.(2,-1)B.(L-2)

C.(-2,-1)D.［-2,1)

解析：•・•正比例函数y=-2A•与反比例函数.v=(的图象均关于原点对称，，两函数的交

点也关于原点对称.丁一个交点的坐标是(一1,2),・•・另一个交点的坐标是(1,-2).故选

B.

方法总结：反比例函数丁=号伏云0)的图象既是轴对秋图形又是中心对称图形，对称轴是

一、三(或二、四)象限角口分线所在的直线，对称中心是坐标原点.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

探究点二：反比例函数的性质

［类型一］根据解析式判定反比例函数的性质

碉已知反比例函数,，=一?下列结论不正确的是()

A.图象必经过点(-1,2)

B.)，随x的增大而增大

C.图象分布在第二、四象限

D.若x>l,则一2VyV0

解析：A.(-l,2)满足扇数解析式，则图象必经过点(-1,2),命题正确；B.在第二、

四象限内y随k的增大而增大，忽略了K的取值范围，命题错误；C.命题正确；D.根据)，=

2

-一的图象可知，在第四象限内命题正确.故选B.

方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质.

变式训练：见《学练优》木课时练习“课后巩固提升”第1题

［类型二］根据反比例函数的性质判定系数的取值范围

___I—k

所在反比例函数一的每一条曲线上，都随x的增大而减小，则Z的值可以是

()

A.-1B.3C.1D.2

1—k

解析：•・•反比例函数)，=丁的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而减小，：.\-k

>0,解得〃VI.故选A.

方法总结：对于函数y=*当k>0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内),随x

的增大而减小；当AV0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这

些性质在解题时能事半功倍.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

三、板书设计

1.反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.

2.反比例函数的性质：

(1)当心>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内)，值随x值的增大

而减小；

(2)当左V0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内)，值随x值的增大

而增大.

通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习

中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的.同时通这练习让学生理解“在每个象限内”

这句话的必要性，体会数学的严谨性.

第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用

SB

1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；（重点）

2.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；（重

点）

3.探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用.（难点）

一、情境导入

如图所示，对于反比例函数产家>0）,在其图象上任取一点P,过。点作

轴于。点，并连接OP.

试看猜想△OP。的血积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y=i（女W0）中k

值的几何意义.

二、合作探究

探究点一：反比例函数解析式中k的几何意义

如图所示,x轴于点C,且△AOC的

面积为2,求该反比例函数的表达式.

解析：先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出A的值.

k1

解：•・•点A在反比例函数的图象上，，必，SMOC=2・2=2,.•・2=4,

・••反比例函数的表达式为产士

方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的

直角三角形的面积等于因的一半.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用

【类型一】利用反比例函数的性质比较大小

____k

的国若M—4,户）、M—2,”）、尸⑵力）三点都在函数y=;（AV0）的图象上，则》，

>2，”的大小关系为（）

A.yi>y3>y\B.

C.>'3>yi>^D.y3>yi>y\

解析：••乂VO,故反;匕例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内），随x

的增大而增大.•••加（一4,》）、N（-2,闻是双曲线）=纵<0）上的两点，・・・"小>0.丁2>0,

P（2,第）在第四象限，・・・y3Vo.故y,）%”的大小关系为故选B.

方法总结：反比例函数的解析式是），=5伙工0）,当k<0时，图象在第二、四象限，且

在每个现象内y随X的增大而增大；当Q>0,图象在第一、三象限，且在每个象限内）随X

的增大而减小.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型二］利用反比例函数计算图形的面积

画❸如图，直线/和双曲线丁=§伏>（））交于A、8两点，P是线段A8上的点（不与A、B

重合），过点4、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、。、E,连接0A、。8、0P,设

△AOC的面积是Si,ABOD的面积是S2，XPOE的面枳是S3,则（）

A.$VS2Vs3

B.S\>S2>Si

C.S\=S?>S3

D.Si=S2Vs3

L1I

解析：如图，•・•点A与点8在双曲线），=7上，・•・$=/,S2=］k,S=S2「・•点P在双曲

线的上方，.-.S3>k,，Si=S2VS3.故选D.

方法总结：在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原

点所构成的三角形的面积是耳，且保持不变.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

［类型三］反比例函数与一次函数的交点问题

砸1函数的图象与直线），=-x没有交点，那么人的取值范围是（）

A.k>\B.k<\

C.k>-\D.k<-\

解析：直线y=-x经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数的图

象必须位于第一、三象限，则即攵VI.故选B.

方法总结：判断正比例函数y=ht和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数

可总结为：①当明与心同号时，正比例函数,，=2述与反比例函数)，=早有2个交点；②当

h与公异号时，正比例函数y=A"与反比例函数没有交点.

［类型四］反比例函数与一次函数的综合问题

［例❺如图，已知A(—4,；)，8(—1,2)是一次函数与反比例函数)，=々(用V0)

图象的两个交点，4CJ_x轴于点C,轴于点O.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数

的值；

(2)求一次函数解析式及m的值；

(3)P是线段A8上的一点，连接PC,PD,若△PC4和△PQ8的面积相等，求点户的

坐标.

解析：(1)观察函数图象得到当一4VxV—l时，一次舀数图象都在反比例函数图象上方:

⑵先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A点或B点坐标代入)，=§可计算出机的

值；(3)设出夕点坐标，利用△PCA与△PO8的面积相等列方程求解，从而可确定P点坐标.

解：(1)当一4<%<一1时，一次函数的值大于反比例函数的值；

女

左+。=，=5

把一%省,仅一代入中得'—472

(2)41,2)解得所以一次函

—4+/>=2,b=y

数解析式为y=%+9，把8(—1,2)代入尸点中得〃2=-1X2=-2；

⑶设P点坐标为VAPC4和APDB的面积相等，.・《尺><(-4)=京1X

55

--

(2—|),即得『一・，；.4

2*

方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信

息.本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1.反比例函数中系数4的几何意义：

2.反比例函数图象上点的坐标特征；

3.反比例函数与一次函数的交点问题.

本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力.数形结合思想是数学学习的•个

重要思想，也是我们学习数学的一个突破口.在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌

握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.

26.2实际问题与反比例函数

第1课时实际问题中的反比例函数

SB

1.经历分析实际问题中变显之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；（重点）

2.体会数学与现实生活的紧密朕系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能

力.（难点）

一、情境导入

小明和小华相约早晨一起骑自行车从人镇出发前往相距20km的8镇游玩，在返回时,

小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇.

假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车

速度.你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？

二、合作探究

探究点：实际问题与反比例函数

［类型一］反比例函数在路程问题中的应用

的U王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为。米;分，

所需时间为1分钟.

（1）速度。与时间/之间有怎样的函数关系？

（2）若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（3）如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

解析：（1）根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；（2）把/=15代入函数

的解析式，即可求得速度；（3）把。=300代入函数解析式，即可求得时间.

解：（1）速度。与时间/之间是反比例函数关系，由题意可得平；

（2）把/=15代入函数解析式，得。=曙=240.故他骑车的平均速度是240米/分；

⑶把。=300代入函数解析式得竿=300,解得，=12.故他至少需要12分钟到达单位.

方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

［类型二］反比例函数在工程问题中的应用

的国在某河治理工程施工过程中，某工程队接受•项开挖水渠的工程，所需天数y（天）

与每天完成的工程量x（m/天）的函数关系图象如图所示.

(I)请根据题意，求y与文之间的函数表达式；

(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多

少天才能完成此项任务？

(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内［按30天计算)完成任务，那么每天

至少要完成多少米？

解析：⑴将点(24,50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；⑵用工

作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除

以工作时间即可得到工作效率.

解:⑴设尸§•・,点(24,5())在其图象上，・・4=24乂50=12()0,所求函数表达式为尸整；

人A

(2)由图象可知共需开挖水渠24X50=1200(m),2台挖掘机需要工作12004-(2X15)=

40(天);

(3)1200+30=40(m),故每天至少要完成40m.

方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型三］利用反比例函数解决利润问题

画❸某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价M元)与销售量

y(张)之间有如下关系：

M元)3456

M张)20151210

(1)猜测并确定y与x的函数关系式；

(2)当H销售单价为10兀时，贺卡的H销售量是多少张？

(3)设此R的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销

售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大

利润.

解析：(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观茶表中数据，可以发现x与)，的乘积

是相同的，都是60,所以可知)，与x成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入上=10求

得)，的值即可；(3)首先要知道纯利润=(日销售单价x-2)X日销售数量)，，这样就可以确定

W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利

润时的日销售单价X.

解：(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设为常数，^0),把点(3,

20)代入得左=60,

(2)当x=10时，)，=耨=6,・••日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张;

IJ

(3)・・・W=(x—2))，=60—华，又・・・工或10,・••当％=10时，W取最大值，W处大=60—嘴

人IU

=48(%).

方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目

的关键是准确理解题意.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

［类型四］反比例函数的综合应用

砸1如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为/C,从加热

开始计算的时间为x分钟.据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系.己

知该材料在加热前的温度为4C,加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热

后，材料温度逐渐下降，这时温度），与时间工成反比例函数关系.已知第12分钟时，材料

温度是14eC.

（I）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；

（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12c的这段时间内，需要对该材料进行特

殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？

解析；（1）首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进

行操作时，温度），与时间x成反比例函数关系.将题中数据代入可求得两个函数的关系式：

⑵把y=12代入y=4x+4得x=2,代入>=丹得x=14,则对该材料进行特殊处理所用的

时间为14-2=12（分钟）.

解：（1）设加热停止后反比例函数表达式为y=§,・.3=%（12,14）,得的=12X14=

168,则），=?；当），=28时，28=?，解得工=6.设加热过程中一次函数表达式为），=%>

b=4,他=4,

6A2+力=28,解得|〃=4,-

+人由图象知y=k2x^b过点(0,4)与(6,28),

4+4x（0WxW6〉，

^（x>6）；

（2）当），=12时，），=4x+4,解得工=2.由），=?，解得K=I4,所以对该材料进行特殊

处理所用的时间为14—2=12（分钟）.

方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是

首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

三、板书设计

1.反比例函数在路程问题中的应用；

2.反比例函数在工程问题中的应用；

3.利用反比例函数解决利润问题；

4.反比例函数与一次函数的综合应用.

本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一

步明确数学问题.将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，

使学生逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结

合的思想.

第2课时其他学科中的反比例函数

1.能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型；(重点)

2.从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，建

立函数模型解决实际问题.(难点)

一、情境导入

问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全、迅速通

过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任

务.

问题思考：

(1)请你解释他们这样做的道理：

(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积5(m2)的变化，人和木板对地面的压

强〃(Pa)将如何变化？

二、合作探究

探究点：反比例函数在其他学科中的应用

［类型一］反比例函数与电压、电流和电阻的综合

的II已知某电路的电压U(V),电流/(A)和电阻R(Q)三者之间有关系式为U=/R,且

电路的电压U恒为6V.

(1)求出电流/关于电徂R的函数表达式；

(2汝口果接入该电路的电阻为25Q,则通过它的电流是多少？

(3)如图，怎样调整电阻箱R的阻值，可以使电路中的电流/增大？若电流/=0.4A,求

电阻R的值.

解析：⑴根据电流/(A)是电阻R(Q)的反比例函数，设出/=/(RWO)后把U=6V代入

求得表达式即可；(2)将A=25Q代入上题求得的函数关系式即可得电流的值；(3)根据两个

变量成反比例函数关系确定答案，然后代入0.4A求得火的值即可.

解:⑴：某电路的电压U(V),电流/(A)和电阻&Q)三者之间有关系式U=/R,.•・/=%

代入U=6V得/=*・・・电流/关于电阻R的函数表达式是4

(2)・.・当/?=25。时♦，，=^=0.24A,・•・电路的电阻为25。时，通过它的电流是0.24A；

(3)・・・/=+，•••电流与电阻成反比例函数关系，，要使电路中的电流/增大可以减小电

阻.当/=0.4A时,0.4=4,解得R=15Q.

K

方法总结：明确电压、电流和电阻的关系是解决问题的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

［类型二］反比例函数与气休压强的综合

的区某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p(kPa)是气

体体积Mn?)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)求出这个函数的解析式；

(2)当容器内的气体体积是0.6H?时，此时容器内的气压是多少千帕？

(3)当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不

小于多少m3?

解析：(1)设出反比例函数关系式，根据图象给出的点确定关系式；(2)把V=0.6m3代入

函数关系式，求出〃的值即可；(3)因为当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，可列

出不等式求解.

解：⑴设这个函数的表达式为〃=£根据图象可知其经过点(2,60),得60=$解得K

=120.则〃=1写20；

120

(2)当V=0.6n)3时，〃=痂=200(kPa)；

(3)当〃W240kPa时，得爷W240,解得丫23.所以为了安全起见，容器的体积应不小于

5m

方法总结：根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数

值的范围求自变量的范围是解决问题的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

［类型三］反比例函数与杠杆知识的综合

丽公元前3世纪，占希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，小明利用此

原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m.

(1)动力厂与动力臂/有怎样的函数关系？当动力臂为L5m时，撬动石头至少要多大的

力？

(2)若想使动力/不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

解析：(1)根据‘'动力X动力管=阻力X阻力臂”，可得出产与/的函数关系式，将/=

1.5m代入可求出F;(2)根据(1)的答案，可得尸W200,解出/的最小值，即可得出动力臂至

少要加长多少.

解：(l)77=1200X0.5=600N・m,则尸=平.当/=1.5m时，F=yy=400N；

(2)由题意得,尸=军<00,解得/23m,故至少要加长1.5m.

方法总结：明确“动力X动力臂=阻力X阻力臂”是解题的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

［类型四］反比例函数与功率知识的综合

的副某汽车的输出功率P为一定值，汽车行驶时的速度。(m/s)与它所受的牵引力户(N)

之间的函数关系如下图所示：

(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；

(2)当它所受牵引力为2400N时，汽车的速度为多少？

(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s,则〃在什么范围内？

p

解析：(I)设。与厂之间的函数关系式为。=了,把(3000,20)代入即可；(2)当F=12(X)N

时，求出。即可：(3)计算出r=30m/s时的尸值，尸不小于这个值即可.

pp

解：(1)设。与尸之间的函数关系式为把(3000,20)代入。=「得尸=60000,工

60000

这辆汽车的功率是这一函数的表达式为v=

60000W.F'

(2)将F=2400N代入9=更詈，得。=今翳=25(m/s),・•・汽车的速度i>=3600X25^1000

=90(km/h)；

(3)把。W30代入。=以警，得尸22000(N),/.F^2000N.

方法总结：熟练掌握功率的计算公式是解决问题的关键.

三、板书设计

1.反比例函数与电压、电流和电阻的综合；

2.反比例函数与气体压强的综合；

3.反比例函数与杠柠知识的综合；

4.反比例函数与功率知识的综合.

本节是在上一节的基础上，进一步学习与反比例函数有关的涉及其他学科的知识.尽量

选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数学知识来源于生活.注

意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的活动时间，不断引导学

生利用数学知识解决实际问题.

第二十七章相似

27.1图形的相似

SB

1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；(重点)

2.理解成比例线段的概念，会确定戌段的比.(难点)

一、情境导入

如图是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的.由于

不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状(包括地图中所描绘的各

个部分)肯定是相同的.

H常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把

具有相同形状的图形称为相似图形.像这样的图形有哪些性质？下面我们就一起探讨一下吧!

二、合作探究

探究点一：相似图形

的11观察下面图形，指出(1)〜(9)中的图形有没有与给出的图形3)、(勿、(c)形状相同

的？

解析：通过观察寻找与(a),S),(c)形状相同的图形，在所给的9个图形中仔细观察，

然后作出判断.

解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形S)形状相同；图形(6)与图形(〃)形状相同；

图形(5)与图形⑹形状相同.

方法总结：判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没

有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同.变式训练：见《学练优》本课

时练习“课堂达标训练”第1题

探究点二：比例线段

［类型—］判断四条线段是否成比例

的区下列各组中的四条线段成比例的是()

A.4cm,2cm,Icnii3cm

B.Icm,2cm,3cm,5cm

C.3cm»4cm,5cm,6cm

D.1cm,2cin,2cm»4cm

解析：选项A.从小到大排列，由于1X4W2X3,所以不成比例，不符合题意；选项B.

从小到大排列，由于1X5W2X3,所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由

于3X6W4X5,所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排列，由于1X4=2X2,所

以成比例，符合题意.故选D.

方法总结：判定四条段段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条

线段之比与后两条线段之比是否相等即可.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

［类型二］利用成比例线段的定义，求线段的长

1例❸已知线段a、b、c、d是成比例线段，其中a=2m,〃=4m,c=5m,贝Ud=()

A.ImB.10mC.pnD.5m

解析；’・•线段a、b、c、d足成比例线段，Aa'b=c'd,而a=2m,Z?=4m,c=5m,

b•c4X5，….

:.d=―~~~2—10(m).故选B.

方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型三］利用比例尺求距离

砸1若一张地图的比例尺是1：150000,在地图上量得甲、乙两地的距离是5c%则

甲、乙两地的实际距离是［)

A.3000mB.3500m

C.5000mD.7500m

解析：设甲、乙两地的实际距离是xcm,根据题意得I:150000=5：x,x=750000(cm),

750000cm=7500m.故选D.

方法总结：比例尺=图上距离：实际距离.根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

探究点三：相似多边形

［类型一］利用相似多边形的性质求线段和角

碉如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、8的

长度及角«的值.

C

C

解析：根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答.

解：因为四边形ABC。与四边形相似，所以N夕=NB=63°,N。'=NQ,

A，»=A，*=8，'所以M以a=5,人=18.在四边形48，(7£)，中，N

D'=360°一(84°+75°+63°)=138°./1=/。=/。'=138°.

方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.在书写两个多

边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型二］相似多边形的判定

丽如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板ABC。如图所示，镶在其外围的木质边框

宽75cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什

么？

Ei----------------------------\H

A~D

BC

F--------------------G

解析：两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个矩形是否相

似，关键是看对应边是否成比例.

解：不相似.•・•矩形中，A8=1.5m,AD=3m,镶在其外围的木质边框宽75cm

=0.75m,AEF=1.5+2X0.75=3m,EH=3+2X0.75=4.5m,•第=学=\，丝=工=］

cr32EH4.33

•・•#,，・•・内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似.

方法总结：判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不

可.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

三、板书设计

1.相似图形的概念；

2.比例线段；

3.相似多边形的判定和性质.

本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握，不要过高要求学生掌握更多的

内容.学生能了解性质，并能简单运用即可，重要的还是后续的相似三角形的学习，当相似

三角形的特征掌握之后，再进一步研究相似多边形的性质，学生就比较容易掌握.

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平行线分线段成比例

SB

i.了解相似比的定义；(重点)

2.掌握平行线分线段成比例定理的基木事实以及利用平行线法判定三角形相似：(重点)

3.应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题.(难点)

一、情境导入

如图，在△A8C中，。为边AB上任一点，作DE//BC,交边4c于E,用刻度尺和量

角器量一量，判断△AOE与△ABC是否相似.

二、合作探究

探究点一：相似三角形的有关概念

的II如图所示，已知△OACS/^OB。，且0A=4,AC=2,OB=2,ZC=ZD,求:

(l)Z\0AC和△08。的相似比；

(2)BD的长.

解析：(1)由△OACS^OB。及NC=N。，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似

比：(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出8。的长.

解：(口•••△QACS^OB。，NC=N。，・•・线段0A与线段OB是对应边，则△04C与

49

△OBD的相似比为而=5=1；

A,ACOAAC•OB2X2

(2)VAOAC^AO5D,・•・丽=而，-*•BD=-()A=~=1.

方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

探究点二：平行线分线段成比例定理

［类型一］平行线分线段成比例的基本事实

曲的如图，直线八、，2、，3分别交直线于点A、&C,交直线/5于点。、E、F,直线

乙、k交于点、O,且八〃/2，勿3，已知£P：DF=5：8,AC=24.

(1)求彳|的值：

(2)求25的长.

解析：（1）根据推出宗CR=而FF：（2）根据/|〃，2〃，3,推F出FR左C5代入AC

Z1OLJIZUI/IVO

=24求出BC即可求出AB.

「RFFCR5

解：(・・〃〃，•••言:而又・・・。［：：：：：・；

l)X/2/3/\t>D匕DF=58,.EFDE=53,FA=t)WJ

FFRC5

(2)：/I〃/23,：：，斤=二，：