新人教版高中数学五本书教材例题课后习题变式含答案101 随机事件与概率

10.1随机事件与概率

10.1.1有限样本空间与随机事件

例1抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.

解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为

。二｛正面朝上，反面朝上｝.如果用表示“正面朝上”，，表示“反面朝上”，则样本空间

例2抛掷一枚骰子（t6uzi）,观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.

解：用，•表示朝上面的“点数为「因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可

能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为C=｛1,2,3,4,5,6｝.

例3抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用工表示，第二枚硬币可能的基本结果用y

表示，那么试验的样本点可用*））表示.于是，试验的样本空间

C=｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝.

如果我们用I表示硬币“正面朝上”，川。表示硬币“反面朝第一枚第二枚上“，那么样本空

间还可以简单表示为a=｛（U）,（i,0）,（0,1）,。0）｝.

如图10.1-1所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.

图10.1-1

例4如图10.1-2,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失

效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.

—IE-

r43__r7n_n

1-------------1'~1

图10.1-2

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示下列事件：

M="恰好两个元件正常”；

N="电路是通路”；

7'=“电路是断路”.

解：(1)分别用/，々和七表示元件同，〃和C的可能状态，则这个电路的工作状态可

用(%,芍,不)表示•进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用。表示“失效”状态，则样本

空间

/2={(0,0,0)X1,0,0)X03,0),(0,04),04,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)).

如图10.1-3,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.

元件A元件B元件C可能结果

—一0.........000

0°j.........001

/.。］。

1.........011

一^0..........100

..........101

—0.........110

...............m

图10.1-3

(2)“恰好两个元件正常”等价于(冷天,否)£。，且为，4,天中恰有两个为1，所以

A/={(1,1,0),(10,1),(0,1,1)}.

“电路是通路”等价于(不々，刍)内=1,且Z，4中至少有一个是1，所以

N=｛（1,1,O）,（1,0,1）,（1,1,1）｝.

同理，“电路是断路”等价于（%,天，刍）N=。，或％=1，9=&二°•所以

T=｛（0,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（0J,1）,（h0,0）｝

练习

1.写出下列各随机试验的样本空间：

（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别：

（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其A8O血型；

（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；

（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；

（5）射击靶3次，观察中靶的次数.

【答案】（I）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（4）详见解析（5）详见解析

【解析】

【分析】

（1）随机选择一名同学的性别有两种可能结果：男或女；（2）由血型有A8,A及。

四种，可得样本空间；13）由每个小孩的性别有男或女两种可能，可得样本空间；

（4）由每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能；（5）射击3次，中

靶的次数可能是0,1,2,3。

【详解】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可

以表示为。=｛男，女｝;

（2）一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、A8型、。型.故该试验的样本

空间可表示为C=｛A民A8,。｝；

（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该

试验的样本空间可表示为｛（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）｝;

（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用

0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为

N=｛（0,0,0）,（0,l,0）,（0,0,1）,（0,u）,（1,0,0）,（1,1,0）,（1,0,1）,（1,1,1）｝：

（5）射击3次，中靶的次数可能是0,1,2,3,故该试验的样本空间可以表示为

（2）用集合表示事件4="摸到球的号码小于5"，事件3="摸到球的号码大于4”，

事件C="摸到球的号码是偶数”

【答案】（I）详见解析（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）摸出一个球，上面的标号有9种可能；（2）由球的标号可得事件对应的样本空

间。

【详解】解：（1）用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为

。={1,2,3,4,5,6,7,8,9}；

（2）A={1,2,3,4}；B={5,6,7,8,9}；C={2,4,6,8}.

【点睛】本题考查样本空间，属于简单题。

10.1.2事件的关系与运算

例5如图10.1-9,由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事

件4二”甲元件正常“，8="乙元件正常

------ffi]—

-------------1|^

图10.1-9

（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；

（2）用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；

（3）用集合的形式表示事件AU8和事件wn月，并说明它们的含义及关系.

分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组（5,％）表示样本点这

样，确定事件A,4所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状

态.

解：（1）用々分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（X，/）表示这个并联电路

的状态.以1表示元件正常，。表示元件失效，则样本空间为C={（0,0）,（0,l）,（l,0）,。[）}.

(2)根据题意，可得

4={(1,0),(1,1)},8={(0,1),(1』)},

A={(0,0),(0,1)},B={(0,0),(1,0)).

(3)AU8={(0,1),(1,0),(1』)},Zn/={(。,。)}；DU3表示电路工作正常,A(]B

表示电路工作不正常：和百互为对立事件.

例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿

色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件噪一次摸到红

球"，&二"第二次摸到红球”，/?=”两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球"，"两

个球颜色相同"，N="两个球颜色不同

(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件：

(2)事件R与凡,R与G,M与N之间各有什么关系？

(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件均与事件用的交事件与事件

R有什么关系？

解：(I)所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组(内,玉)表示可能的结果，演是第一次摸

到的球的标号，々是第一次摸到的球的标号，则试验的样小空间

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},

O©00OO

000O©G)

QQO00O

OOO©OO

图10.1-10

事件R="第一次摸到红球“，即玉=I或2,于是

N={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}:

事件R?=“第二次摸到红球“，即々=1或2,于是

&={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)).

同理，有

R={(1,2),(2,1)},

G={(3,4),(4,3)},

M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},

N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)).

(2)因为所以事件与包含事件R；

因为农口6=0,所以事件尺与事件G互斥：

因MUN=C,MCN=0,所以事件M与事件为对立事件.

(3)因为RUG二例，所以事件M是事件R与事件G的并事件；

因为凡口凡=冗，所以事件R是事件R1与事件凡的交事件.

练习

4.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是

()

A,至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没中靶

【答案】D

【解析】

【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.

【详解】对于A,“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，

“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；

对•于B,“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；

对于G“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件;

对于D,“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.

故选：D.

5.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C=”点数为二其中

i=1,2,3,4,5,6；R=”点数不大于2"，4="点数大于2”,2="点数大于4”；

后”点数为奇数”，片“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.

（1）G与G互斥；（2）G，C3为对立事件；（3）。3口。2；（4）（5）

Q1U2=。，。。2二0；

（6）o,=C3UC0.（7）^=C,UGUC5；（8）E,尸为对立事件；（9）

。2U。3=。2；（10）。2n。3=。3

【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正

确：（8）正确；（9）正确：（10）正确.

【解析】

【分析】

根据题意分别计算各个事件的基本事件，再逐个判断即可.

【详解】解：该试验的样本空间可表示为。={1,2,3,4,5,6},

由题意知G={i},q={l,2}，2={3,4,5,6},q={5,6},E={l,3,5}l={2,4,6}.

（1）G={1},G={2}，满足Gn。2=0,所以C与C互斥，故正确；

（2）G={2},G={3}，满足CnG=0但不满足CUa=C.所以为互斥事件，但

不是对立事件，故错误；

根据对应的集合易得，（3）正确：（4）正确；（5）正确；

（6）GUQ={5,6},所以2=。51］。6,故正确;（7）GUGUG={L2,3},故

E=GUCaUC5正确；

（8）因为Ec尸=0,=所以EF为对立事件，故正确；

（9）正确；（10）正确.

【点睛】本题主要考查了事件间的关系判断，属于基础题型.

10.1.3古典概型

例7单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选拦一

个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会

做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？

解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为

C={A,B,C,D}.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是

一个古典概型.设M二"选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以〃(M)=l.所以：考

生随机选择一个答案，答对的概率P(M)=1.

4

例8抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和H号)，观察两枚股子分别可能出现的基本

结果.

(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型：

(2)求下列事件的概率：

4二"两个点数之和是5"；

8=”两个点数相等“；

C="I号骰子的点数大于II号骰子的点数

解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，【号骰子的每一个结果都可与H号骰子的任

意•个结果配对，组成掷两枚骰子试验的•个结果.用数字〃?表示I号骰子出现的点数是

加，数字〃表示II号骰子出现的点数是〃，则数组(〃?,〃)表示这个试验的一个样本点.因此

该试验的样本空间C={(肛〃)|八〃w{1,2,3,4,5,6)),

其中共有36个样本点.

由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.

(2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以〃(A)=4,从而P(A)=42=±=4；

n(L2)369

因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},所以〃⑻=6,从而

PM、MB)61

r(o)=-----=—=—；

366

因为

C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}

”(C)15_5

所以〃(C)=15,从而P(C)=

71(/2)36"T2,

例9袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次

随机摸出2个球，求下列事件的概率：

（1）A="第一次摸到红球”；

（2）8="第二次摸到红球”；

（3）A3=”两次都摸到红球

解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能的结

果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的

结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1-2表示.

表10.1-2

第二次

第一次

12345

1X(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

2(2,1)X(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,1)(3,2)X(3,4)(3,5)

4(4,1)(4,2)(4,3)X(4,5)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)X

（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1,2行），即

A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},

Q2

所以P⑷一下

（2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即

8={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},

Q2

所以P(8)=-=_.

205

21

(3)事件4?包含2个可能结果，即4B={(1,2),(2,1)},所以2(43)=五=而

例10从两名男生(记为B1和B?)、两名女生(记为G1和G?)中任意抽取两人.

(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本

空间.

(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.

解：设第一次抽取的人记为巧，第二次抽取的人记为巧，则可用数组(N，W)表示样本点.

(1)根据相应的抽样方法可知：

有放回简单随机抽样的样本空间

Qi={(B1,B1),(BrB2),(BpGI),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(BrGI),(B2,G2),(GrB1),|G1,^2),

(GPGI),(G1,G2),(G2,^),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)).

不放回简单随机抽样的样本空间

。2

={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(GI,BI),(GI,B2),(G1,G2),(G2,B1),

(G2,B2),(G2,G.)},

按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间

^={(B„G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)).

(2)设事件4="抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，

A={(B„B1),(BPB2),(B2,BI),(B2,B2)}.

因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此

4

P(A)=一=0.25

16

对于不放回简单随机抽样，

^={(BPB2),(B2,B,)}.

因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此

P(A)=—=-^0.167.

126

因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以4=0,因此夕(人)=0.

练习

6.判断下面的解答是否正确，并说明理由.

某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y表示命中，用〃

表示没有命中，那么试验的样本空间九〃.¥,，〃?},因此事件“两次射击都命

中”的概率为0.25.

【答案】解答错误，详见解析

【解析】

【分析】

要观察样本点发生的可能性是否相同，即是否是古典概型.题中命中与不命中的概

率不相等，因此样本点发生的可能性是不相等.

【详解】解：该解答不正确，原因如下：运动员练习时命中目标与没有命中口标的

概率是不相等的，所以样本点发生的口J能性是不相等的，所以该试脸并不是古典概

型，故解答错误.

【点睛】本题考查古典概型的定义，解题关键是样本点发生的概率是否相等.

7.从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：

（1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；

（3）抽到的牌是方片；（4）抽到/或。或K；

（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；

（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色.

1121321

【答案】（1）—（2）—（3）—（4）—（5）0（6）—（7）—（8）1

1313413132

【解析】

【分析】

每张牌都是等可能被抽到，整个样本空间中共有52个基本事件，然后计算出各事件

中含有的基本事件的个数即可求得概率.

（1）有4个基本事件；

（2）有48个基本事件；

（3）有13个基本事件；

（4）有12个基本事件；

（5）为不可能事件

（6）有8个基本事件；

（7）有26个基本事件；

（8）有52个基本事件，为必然事件：

41

【详解】解：（1）52张牌中数字为7的有4张，所以概率为不=百；

（2）52张牌中不是7的有52-4=48（张），所以概率为£=

（3）52张牌中方片共有13张，所以概率为1茬3=；1；

123

（4）52张牌中1,Q,K共有3x4=12（张），所以概率为五二为；

（5）该事件为不可能事件，所以概率为0；

Q2

（6）抽到的牌为7或8,共打8张，所以概率为w=

（7）红花色的牌共有2x13=26（张），所以概率为罢

（8）该事件为必然事件，所以概率为1.

【点睛】本题考查古典概型概率计算.解题关键是确定基本事件的个数.

8.从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：

（1）这个数平方的个位数字为1;

（2）这个数的四次方的个位数字为1.

17

【答案】（1）-（2）-

JJ

【解析】

【分析】

整个样本空间中有10个基本事件，再计算出各事件中含有的基本事件的个数即可求

得概率.

【详解】解：从0~9这10个教中随机选样一个款，共有10种可能，其样本空间可

表示为C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

（1）若一个数平方的个位数字为1,则该数为1或9,共2个，故其概率为

21

--=一•

105'

(2)若一个数四次方的个位数字为1,则该数平方的个位数为I或9,所以该数为

1,3,7,9,共4个，故其概率［4=2

【点睛】本题考查古典概型概率计算.解题关键是确定基本事件的个数，方法是列

举法.

10.1.4概率的基本性质

例11从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件

8=“抽到方片"，P(A)=P(B)=~,那么

4

(1)C="抽到红花色”，求P(C)；

(2)抽到黑花色”，求P(。).

解：(1)因为C=AU3,且人与8不会同时发生，所以人与B是互斥事件.根据互斥事件

的概率加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=-+-=~.

442

(2)因为C与。互斥，又因为CuO是必然事件，所以。与。互为对立事件.因此

p(o)=i-p(o=i-!=匕

22

例12为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一

箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？

分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖

三种情况.如果设4=“中奖”，4二"第一罐中奖“，&=''第二罐中奖”，那么就可以通过

事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.

解：设事件A=“中奖”，事件4="第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件

44二"两罐都中奖”，aA="第一罐中奖，第二罐不中奖”，4%="第一罐不中奖，第

二罐中奖”，且

因为AA2,A4，A4两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得

尸(4)=P(A4)+P(4AJ+P(A4).

我们借助树状图(图10111)来求相应事件的样本点数.

第一罐第二罐可能结果数

因为"（44）=2,〃（A8）=8,〃（A4）=8,所以P（A）=M;+三;十三;

上述解法需要分若干种情况计算概率.注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不

中奖”,由于44="两罐都不中奖”,而〃（44）=4x3=12,所以P（AA）=U=.

3^）5

\23

因此P（A）=l-P（^A）=l--=-.

练习

9.己知。（A）=0.5,P（8）=0.3.

（1）如果那么尸（A|J8）=,尸（A8）=；

（2）如果A,3互斥，那么尸（A|JB）=,P（AB）=.

【答案】©.0.5②.0.3③.0.8④.0

【解析】

【分析】

（1）由3三A可得AD8=A,An3=3,进而求解即可；

（2）由A,B互斥可得4口3=0,进而求解即可

【详解】（1）如果B=那么AD/=A,AnB=8,

所以P（AdA）=P（4）=0.5,P（AB）=P{B）=0.3

（2）如果4,3互斥，那么4n8=0,

所以P（ADA）=P（4）+尸（B）=0.5+0.3=0.8,P（/IB）=0

故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；0

【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用.属于基础题

10.指出下列表述中的错误：

（1）某地区明天下雨的概率为0.4,明天不下雨的概率为0.5；

（2）如果事件人与事件8互斥，那么一定有P（4）+P（A）=L

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件，它们的概率之和应为1;

（2）只有当互为对立事件时才有P（A）+P（5）=1

【详解】（1）某地区“明天下雨’'与"明天不下雨”互为对立事件，它们的概率之和应为

1,则若某地区明天下雨的概率为04明天不下雨的概率应为0.6

（2）如果事件A.B互斥，那么P（A）+P（B）=P（AUB）＜1，只有当A班互为对立事

件时才有P（A）+P（B）=1

【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题

11.在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别

（M（男）、F（女））及年级（5（高一）、G”（高二）、G3（高三））分类统计的

人数如下表：

G\G2G3

M182014

F17247

若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：

P（M）=,P（F）=,尸（MU/）=，

P（MF）=,P（GJ=,P（M|JG2）=,

“/5）=____________

【答案】①.0.52②.0.48③.1④.0⑤.0.35©,0.76

⑦.0.07

【解析】

【分析】

根据频数依题意求得概率即可

【详解】P（M）=P（MGlUMa\jMG.）=—+—+—=—=0.52；

v7v12371001001（X）1（X）

P（F）=l-P（M）=0.48；

P（M|JF）=1；

P（MF）=P（0）=O；

iQ।n

尸（G）=P（MG1U尸G）=一+一=035；

v17v117100100

P（MUG）=P（M）+P（G2）-P（MG2）=0.52+0.44-0.20=0.76；

、7

P（zFGJ=——=0.07

v37100

故答案为：（1）0.52；（2）0.48：（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07

【点睛】本题考查利用频数求概率,考查概率公式的应用

习题10.1

复习巩固

12.如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.

（1）用表格表示试验的所有可能结果；

（2）列举下列事件包含的样本点：A="两个数字相同"，两个数字之和等于

5"，C="蓝色骰子的数字为2”.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）列表表示所有可能结果即可；

（2）利用（1）的的表格分别找出事件A,B,C对应的样本点.

【详解】解：（1）该试验的所有可能结果如下表：

蓝骰子点

数1234

黄骰子点数

1(1.1)(1,2)(1,3)(1,4)

2(2.1)(2,2)(2,3)(2,4)

3(3.1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4.1)(4,2)(4,3)(4,4)

(2)A包含的样本点：(1.1).(2,2),(3.3).(4,4)：

8包含的样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)：

C包含的样本点：(1,2),(2,2),(3,2),(4,2).

【点睛】本题主要考查/写某事件包含的基本事件，属于较易题.

13.在某届世界杯足球赛上，mb,c,d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的

两场比赛中，。对6,。对山然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比

赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为〃以/(表示〃

胜儿c胜人然后。胜c,〃胜d).

(1)写出比赛所有可能结果构成的样本空间；

(2)设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；

(3)设事件B表示。队进入冠亚军决赛，写出8包含的所有可能结果.

【答案】(1)

C={acbd,acdb.cabd,cadb,adbc,adcb,dabc,dacb,bead,beda.chad,edda,bdca,bdac,dbea,bdac}

(2)aebd,aedb,adbc,adeb；

(3)aebd,aedb,adbcyadeb,cabd,cadb,dabc,dacb.

【解析】

【分析】

(1)以第一轮比赛中胜出的情况进行分类，列举出比赛所有可能的结果：

⑵在样本空间中找出以。开头的所有结果，即可得出事件4

⑶在样本空间中找出。在开头或第二位的所有结果，即可得出事件8

【详解】解：(1)

第一轮的两场比赛中，当a，c胜出时，比赛最终可能的结果为：

aebd,aedb,cabd,cadb

第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为:

adbc,adcb,dabc,dacb

第一轮的两场比赛中，当Ac胜出时，比赛最终可能的结果为：

bead,beda,cbcid,edda

第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：

bdca,bdac,dbea,bdac

则该试验的样本空间可表示为：

Q={aebd,aedb,cabd,cadb,adb（\adeb,dahc,dacb,bead,bcda,cbad,edda,hdea,bdac,dbea,bdac}

（2）事件A包含的所有结果为：aebd,aedb,adbc,adeb,

（3）事件8包含的所有结果为：aebd,aedb,adbc,adeb,cahd,cadh,dabc,dacb.

【点睛】本题主要考查了写出某事件的所有基本事件，属于中等题.

14.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝上“，事件8="第二

枚硬币反面朝上''写出样本空间，并列举A和B包含的样本点；

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】按照第一、第二枚朝上的面顺序写出.

【详解】事件空间：{（正正），（正反），（反正），（反反）},

事件A的样本点：（正正），（正反），

事件4的样本点：（正反），（反反）.

15.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝上”，事件B廿第二枚

硬币反面朝上“，下列结论中正确的是（）.

A.A与3互为对立事件B.4与8互斥

C.A与B相等D.P（A）=P（B）

【答案】D

【解析】

【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析各个诜项即可判

断作答.

【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），

（反,反），

事件A包含的结果有：（正，正），（正，反），事件〃包含的结果有：（正，反），

（反，反），

显然事件A,事件B都含有“（正，反）”这一结果，即事件A,事件B能同时发

生，

因此，事件4事件3既不互斥也不对立，A,B都不正确；

事件A,事件8中有不同的结果，于是得事件A与事件8不相等，C不正确；

2I21

由古典概型知，P（A）=-=-,P（B）=-=-,所以P（A）=P（3）,D正确.

故选：D

16.判断卜列说法是否止确，若错误，请举出反例

（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；

（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；

（3）事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概

率大；

（4）事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小.

【答案】（1）错误，举例见解析；（2）正确；（3）错误，举例见解析；（4）错误，举

例见解析.

【解析】

【分析】

举反例判断（1）,再利用互斥事件的概率公式判断（3）,（4）；由互斥事件与对立事件的

定义判断（2）.

【详解】解：（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误.

设某试验的样本空间为。={1，2,3,4）.

（I）中反例，取4={1},8={2},则4万互斥但不对立.

（2）由互斥事件与对立事件的定义可知（2）正确

⑶中反例‘取'={1},8=0,则尸(A/5)=P⑷[

P(ABuAB)=P(AB)=P(A)=~.

4

(4)中反例，取4={1},8={1,2},则P(A8)=P(A)=!，P(A耳7W8)=P(ZB)=1.

44

【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件关系的辨析以及利用互斥事件的概率

公式求概率，属于中等题.

17.生产某种产品需要2道工序，设事件A="第一道工序加工合格”，事件3="第

二道工序加工合格”，用A,B,A，豆表示下列事件：C=“产品合格”，。二“产

品不合格

【答案】C=AB；。=丽+初+而.

【解析】

【分析】根据给定条件利用事件的运算即可列式作答.

【详解】要使得产品合格，需要第一道，序和第二道_L序加JL都合格，即事件A,B

同时发生，

所以C二AB；

产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，

所以,D=AB+AB+~AB-

18.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三

个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？

游戏1游戏2游戏3

袋子中球的数量1个红球和1个白2个红球和2个白3个红球和1个白

和颜色球球球

取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球

两个球同色T甲两个球同色一甲

取到红球一甲胜

胜胜

获胜规则

两个球不同色一两个球不同色一

取到白球一乙胜

乙胜乙胜

【答案】y;I；y;游戏1和游戏3是公平的

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率

是否相等判断游戏的公平性.

121

【详解】解：游戏1中，甲获胜的概率为不；游戏2中，甲获胜的视率为二=；；

263

游戏3中，甲获胜的概率为?=4，所以游戏1和游戏3是公平的.

62

【点睛】本题主要考查了判断游戏的公平性以及古典概型的概率公式，属于中档题.

19.一个盒子中装有标号为12345的5张标签，陵机地依次选取两张标签，根据

下列条件求两张标签卜的数字为相等整数的概率：

(1)标签的选取是不放回的；

(2)标签的选取是有放回的.

【答案】(1)0(2)1

【解析】

【分析】

(1)求出不放回时所有的基本事件的总数，再得出事件“两张标签上的数字为相等整

数''包含的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率即可；

(2)求出有放回时所有的基本事件的总数，再得出事件“两张标签上的数字为相等

整数''包含的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率即可；

【详解】解：(1)从5张标签中不放回地选取两张标签，用〃z表示第一张标签的

标号，〃表示第二张标签的标号，设A="两张标签上的数字为相等整数”，则

(1)数组(见〃)表示该试验的一个样本点,","£{123,4,5},且加，因此

该试验的样本空间{(八〃)1肛〃£{123,4,5},且加工〃}中共有20个样本点,

其中根，〃为相等整数的样本点个数〃(4)=0.故所求概率为0；

(2)该试验的样本空间。={(〃，,〃)5中£{123,4,5}}中共有25个样本点，各样

本点出现的可能性相等，试验是占典概型，其中A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)),

所以〃⑷=5,故所求概率为八怒=d・

【点暗】本题主要考查了求有放回与无放回问题的概率，属于中档题.

20.从长度为1,3,5,7,9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三

角形的概率.

【答案】产端3

【解析】

【分析】

列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，

由古典概型求概率的公式求解即可.

【详解】解：该试验的样本空间可表示为：

C={(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(357),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9),

共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(357),(3,7,9)(579),共3个，

故所求概率尸得

【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题.

综合运用

21.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若

从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？

(1)A=”恰有1支一等品”；

(2)8="两支都是一等品”；

(3)C="没有三等品”.

312

【答案】(1)-(2)-(3)

D33

【解析】

【分析】

列举出6支中任取2支所有的基本事件，得出事件人用。对应的基本事件以及个数,

由古典概型的公式求概率即可.

【详解】解：用表示3支一等品，用瓦也表示2支二等品，用c表不二等

品，则该试验的样本空间可表示

为。=｛（4，%卜（4,43），（42，。3》（。1，4卜（41也）,（。2,4》（。2也），（。3，々），（43也），

（4也）,（4，。）,（。2,。），（。3©，（伪,。），（仇©｝，共有15个样本点.

（I）A=｛（q，4（q,4）,（%也），（4,，'），（“3，4），（。3也），（%，。）｝，其

中有9个样本点，所以9A）=99咤3

（2）8=｛（4，%）,（4心），3必）｝，其中有3个样本点，所以口止假］.

（3）

C=｛（《，⑷，（4，%），（4,々3），。〃），（4也），（生，々），（4也）,（々3舌），3也），佃也）｝

102

,其中有10个样本点，所以P（C）=9=：.

153

【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题.

22.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用工表

示红色骰子的点数，用），表示绿色骰子的点数，用（羽），）表示一次试验的结果，

设从=”两个点数之和等于8"，8="至少有一颗骰子的点数为5"，C="红色骰子上的

点数大于4”

（1）求事件A,B,。的概率；

（2）求Au氏AcB的概率.

【答案】⑴P（A）=［；P（B）=当尸©="（2）尸（Ac⑶=］；P（Au3）W

36363Io18

【解析】

【分析】

（1）求出事件4,B,C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可；

⑵求出事件AC8的基本事件以及个数，得出尸（Acb）,再由

P（AuB）=P（A）+P（8）-P（Ac8）得出P（AU8）.

【详解】解：该试验的样本空间可表示为C=｛@Q）|x,y£｛l,2,3,4,5,6｝｝,共有36

个样本点

(1)4={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},有5个样本点，所以P(A)=3；

36

B={(5J),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)},有11个样本

点,所以P(8)=y.

36

C={@,)，)|xw{5,6},yE{l,2,3,4,5,6}},有12个样本点，所以P(C)=£12=：1.

363

21

(2)Ac3={(3,5),(5,3)},有2个样本点，所以尸缶八⑶二院二六：

3618

所以P(Au8)=P(A)+P(8)—P(Ac8)=2+U—-!-=工.

36361818

【点睹】本题主要考查了计算古典概型问题的概率，属于中档题.

23.某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不

能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进

夫.第二次能打开门的概率又有多大？

【答案】；;；

【解析】

【分析】

先列举出事件“第二次才打开门''包含的基本事件，分别求出两种情况对应的所有基

本事件以及个数，由古典概型的公式计算概率即可.