高中数学教案向量的概念与运算

向量的概念与运算

一、知识网络

二、高考考点

1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线

的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。

2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主

要是:

(1)向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；

(2)向量共线的充要条件的应用；(3)向量垂直的充要条件的应用；(4)向量

的夹角的计算与应用；

(5)向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的

认知与转化。

3、线段的定比分点线或平移问题。

4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题(多

以解答题的形式出现)。

三、知识要点

(―)向量的概念

1、定义(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

(2)向量的模：向量的大小(即长度)叫做向量的模，记作。

特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.

(3)平行向量(共线向量)：

一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规

定：与任一向量平行(即共线).

(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。

认知：向量的平移具有“保值性”。

2、向量的坐标表示

(1)定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作

为基底，任作一个向量，则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y使得，将有序

实数对(x,y)叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。

(2)认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。

(二)向量的运算

1、向量的加法2、向量的减法

3、实数与向量的积

(1)定义(2)实数与向量的积的运算律：

(3)平面向量的基本定理：

如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对

实数I,2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

(4)向量共线的充要条件：

(i)向量与非零向量共线有且只有一个实数使

(ii)设贝心

4、向量的数量积(内积)

(1)定义：(i)向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。

(ii)设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积(内积)，记作，

即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)推论设、都是非零向量，则(i)(ii)(iii)

(3)坐标表示(i)设非零向量，则

(ii)设(4)运算律(自己总结，认知)

四、经典例题

例1.判断下列命题是否正确：

(1)若的方向相同或相反；(2)若

(3)若则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；

分析：

(1)不正确,/不能比较方向。

(2)不正确当时，虽然对任意，都有不一定平行。

(3)不正确,故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。

点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断

失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。

例2.设点。为AABC所在平面内一点

(1)若，贝U0为AABC的()

A、外心B、内心C、垂心D、重心

(2)若，则为AABC的()

A、外心B、内心C、垂心D、重心

(3)若动点P满足，则点P的轨迹一定通过AABC的()

A、外心B、内心C、垂心D、重心

(4)若动点P满足,则点P轨迹一定通过AABC的()

A、外心B、内心C、垂心D、重心

分析：

(1)借助向量加法分析已知条件：

以、为邻边作平行四边形OBDC,并设ODCBC=E,则由平行四边形性质知，E为BC和

0D中点。

①且②

/.由①、②得

:.A、0、E、D、四点共线③且④

于是由③、④知。为△ABC的重心，应选D

(2)由

同理可得0A_LBC,0C_LAB于是可知，。为AABC的垂心，应选C

(3)由已知得①令，贝I是上的单位向量，令，则是上的单位向量。，

由①得：②

令，则点Q在角A的平分线上③又由②知的与共线且同向(或)

，动点P在角A的平分线上...点P的轨迹一定通过△ABC的内心，应选B。

(4)注意到的几何意义，

=0

又由已知的得：

动点P在BC边的高线上动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，应选C。

点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。

例3：

(1)成立的充分必要条件为()

A、B、C、D、

(2)已知A、B、C三点共线，0为该直线外一点，设且存在实数m使，则点A分所

成的比为()

A、-B、2C、D、-2

分析：(1)注意到不等式，当且仅当、反向或、中至少有一个为时等号成立,

由得、反向或由此否定A、B、C,本题应选D

(2)注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标”分析切入，主

动去沟通“已知”，

设则(刻意变形，靠拢己知)

(目标的延伸)①

又由已知得：(已知的变形或延伸)②

，根据两向量相等的条件由①、②得：于是可知，点A分所成的比，应选A

点评：

(i)(1)对任意向量、都有，其中，当且仅当同向或中至少有一个为时左边的

等号成立；当且仅当反向或中至少有一个为时右边的等号成立；当且仅当中至少有一个

为时，左右两等号同时成立。

(ii)对于(2),“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从“已知”切入还是

从“目标”切入，需要仔细分析。

例4：设、分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条

直线上有A、B、C三点,,求实数m、n的值。

解：由题设知

与共线①

又②

②代入①得：

7(2n-l)=(n+2)(2n+l)(n-3)(2n-3)=0

当时代入②得：m=3当时代入②得：m=6/.m=6,n=3或m=3,

点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧。

例5.设试求满足：

(这里。为原点)

分析：注意到的坐标即点D的坐标，可从设坐标，由(x,y)切入，去建立关于x,

y的方程组。

解：设，则点D坐标为(x,y)则由已知条件得：

x-2y+l=0①

由得：x+4=3(y_l)x_3y+7=0②

于是将①、②联立，解得：

点评：本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借

此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。

例6.设向量满足

(1)若，求与的夹角；

(2)若的值。

解：(1)设与的夹角为,则①

②

于是由②代入①得:注意到e[0,],可得结果

(2)解法(着眼于对等各个击破)一方面由已知得：③

又④由③、④得⑤

注意到，当且仅当，同向或，中至少有一个为时等号成立

由⑤得与同向另一方面，又由知，与反向

与的夹角为0°,与的夹角为180。，与的夹角为180。

原式=3X1-1X4-3X4=-13

解法二（着眼于寻求目标与已知的整体联系）：

•••由已知条件得

解法三（从寻求目标局部的值切入）：

原式

同理，

点评：解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程简明，比解法一有明显优势。但

是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值

中对已知数据的应用主要有以下三个方面：

（1）利用数值本身（代入）；

（2）分别利用数值的绝对值和符号；

（3）利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系（比如，由3+1=4,3442=52沟通联系

等）。

例7.已知的夹角为120°,且，试求m,n及与的夹角。

解法一：（利用内积的定义），设与的夹角为，

由再

②

再由：

由①，②得③

将③代入②得：④

于是由①，③,④得所求，n=-4,的夹角为30°或150。

点评1：本题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题时梳理思绪。注意到所求m、n

含在中，故在求出、的值之后，以的变形为主线展开求索：

变形1.

变形2.

变形3.

于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓。

解法二（利用向量的坐标）：设，与的夹角为，

由己知得①

由②

22

又x:+y「=8③X2+Y2=4@

由①，③解得或

由②，④解得或

将上述，坐标分四次代入

便解得n=-4,,=30°或150°

点评2：本解法致力于求与的坐标，虽然解题过程仍然曲折，但思路明朗，更多几分

胜算。

例8.设的夹角为，

分析：此题为以向量为载体的三角求值问题，因此，从化简，的坐标切入，向三角函

数中常见的关系式转化。

解：

①

②③

注意到这里

由②、③得到④

⑤

于是由①、④得由①、⑤得

解得⑥

因此由⑥得

点评：在这里，利用实数与向量的乘法的法则，将表为

，从而为简化及的表达式以及简化的表达式奠定良好的基础。

五、高考填题

（-）选择题、

1、P是AABC所在平面上一点，且，则P是AABC的（）

A、外心B、内心C、重心D、垂心

分析：

由

同理，AB±PC,BC±PA点P为AABC的垂心，应选D

2、已知向量，，且，则一定共线的三点是（）

A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D

分析：利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入

由题意得

A、B、D三点共线，应选A

3、已知点A（,1）,B（0,0）,C（0），设/BAC的平分线AE与BC相交于E,

那么有，其中等于（）

A、2B、C、_3D、-

分析：从认知目标切入，由题设易知与反向，故＜0①

又由三角形内角平分线定理得即=3②

于是由①、②得=-3,应选C

4、若，，，则向量与的夹角为（）

A、30°B、60°C、120°D、150

分析：令向量与的夹角为，则①

又由

得②

于是将已知与②代入①得所得，应选C

5、在△ABC中，，，，则k的值是（）。

A、5B、-5C、D、

分析：循着一般思路，欲求k的值，先寻找关于k的方程，可以通过解方程获取k

的值，为此我们利用题设条件寻找等量关系切入：

由题设知，由此得(2,3)•(2-k,2)=02(2-k)+6=0

解得k=5,故应选Ao

6、设向量等于()。

A、(1,1)B、(-4,-4)C、-4D、(-2,-2)

分析：循着向量的坐标表示与有关公式得：

原式=-4(1,1)=(-4,-4),应选B

7、已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D为线段BC的中点，则向量与的夹角

为()

714c444

—arccos—B、arccos-C»arccos(--)D»-arccos(--)

A、255

分析1：(特征分析法)：画出AABC及其中线AD,又将向量平移到，则可见与成

钝角，而选项中A、B为锐角，D为负角，故只能选C。

分析2：(直接法)：由题设D(5,2)

所求两向量夹角应为)，应选C

8、己知向量,满足对任意teR,，则()

A、

分析：从已知不等式的等价变形切入，去认识所含向量，的关系

由已知得整理得①

注意到①对任意都成立。

即②

根据②式检验选项，故选C

点评：关于向量的模的不等式，变形转化的基本手段是不等式两边平方，这是本题切入、

转化的关键环节。

(二)填空题

1、已知向量

分析：注意到两向量平行的充要条件，由己知条件得2X6-3x=0,由此解得x=4

2、已知向量，且A、B、C三点共线，则卜=。

分析：由A、B、C三点共线切入，向着向量的共线转化A、B、C三点共线

向量、共线

又

由、共线的充要条件得7(-k-4)=5(k-4),解为

3、已知=2,=4,与的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两

条对角线中较短的一条的长度为。

分析：

根据向量加法与向量减法的几何意义又知，、分别表示上述平行四边形中两条对角线

的长度。

注意到与的夹角为锐角，故此平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为

①

又=4+16-2X2X4cos=12

/.=2②

于是由①、②知所求为.

4、已知向量=(-2,2),=(5,k),若不超过5,则k的取值范围为.

分析：由已知得若W5,则9+(k+2)'W25.•.由此解得-6WkW2,故应

填[-6,2]

5、已知平面上三点A、B、C满足，，，

则的值等于o

分析：从认知AABC切入，由32+42=52知，/.

原式====-25

6、AABC的外接圆圆心为0,两条边上的高的交点为H,=m(++),则实数m=。

分析：由题设知，。为AABC的外心，即0是AABC的三边中垂线的交点，因此，

以与为邻边作平行四边形0ADC,则OADC为菱形，且+=

/.±±(+)

；.++的终点必在AC边的高线上①同理，++的终点在AB边的高线上②

由①、②得++的终点为AABC的垂心H./.

点评：从0为AABC的外心切入，认知向量，此乃求解本题的关键。

三、解答题

1、己知向量=(cos、sin)和=(-sin,cos)