2025年高考数学必刷题分类：第3讲、等式与不等式的性质（学生版）

第3讲等式与不等式的性质

知识梳理

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

a

abab01(b0)

b

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

2、不等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性abba；abba

传递性ab，bcac；ab，bcac

可加性abacbc

可乘性ab，c0acbc；ab，c0acbc

同向ac，cdacbd

可加性

同向同正ab0，cd0acbd

可乘性

可乘方性ab0，nN*anbn

【解题方法总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特

别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、

利用函数的单调性．

比较法又分为作差比较法和作商比较法．

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于

0或1比较大小．

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且

是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．

必考题型全归纳

题型一：不等式性质的应用

【解题方法总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．

2、充分利用基本初等函数性质进行判断．

3、小题可以用特殊值法做快速判断．

例1．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）已知abc，ac0，则下列关系式一定成

立的是（）

A．c2bcB．bcac0

cb

C．abcD．2

bc

例2．（多选题）（2024·山东·校联考二模）已知实数a,b,c满足abc，且abc0，

则下列说法正确的是（）

11

A．B．ac2bC．a2b2D．abbc0

acbc

例3．（多选题）（2024·全国·校联考模拟预测）若a0bc，则下列结论正确的是（）

aa

A．B．b2ac2a

cb

abb

C．D．ac2abbc

acc

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

【解题方法总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用

函数的单调性．

比较法又分为作差比较法和作商比较法．

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于

0或1比较大小．

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且

是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

bbb

若a0,b0，则1ba；1ba；1ba；

aaa

bbb

若a0,b0，则1ba；1ba；1ba．

aaa

1

例4．（2024·全国·高三专题练习）若0ab,ab1,则将a,b,,2ab,a2b2从小到大排

2

列为______.

例5．（2024·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：

11a

①；②a3>b3；③a2b2；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.

abb

其中一定成立的不等式的序号是________．

ba

例6．（2024·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；

acbd

2

（2）设x，yR，比较x2y2与xy(xy)2的大小.

2

例7．（2024·全国·高三专题练习）（1）试比较x1x5与x3的大小；

11

（2）已知ab，，求证：ab0．

ab

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【解题方法总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个

变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．

例8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足3x2y2,12xy4,

则（）

A．x的取值范围为(1,2)B．y的取值范围为(2,1)

C．xy的取值范围为(3,3)D．xy的取值范围为(1,3)

例9．（2024·广东·高三校联考期末）已知1ab3，3ab7，则5ab的取值范

围为（）

A．15,31B．14,35C．12,30D．11,27

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知1a2，1b4，则a2b的取值范围是（）

A．7a2b4B．6a2b9

C．6a2b9D．2a2b8

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当c0时，b2a3c且bca2，

a2c

则的取值范围是____________．

b

题型四：不等式的综合问题

【解题方法总结】

综合利用等式与不等式的性质

例12．（多选题）（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知a0，b0，

4151

且满足a，b．则a2b2的取值可以为（）

abba

A．10B．11C．12D．20

例13．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知x2y211，则（）

1

A．xy1B．x2y

2

5

C．xxy1D．x2xy

4

11

例14．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（）

ab

33

A．log0.2023alog0.2023bB．ab

bb11

C．D．ab的最小值为1

aa1ab1

例15．（2024·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a

的最大值是__．

题型五：糖水不等式

【解题方法总结】

bmbama

糖水不等式：若ab0，m0，则一定有，或者．

amabmb

例16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知bg糖水中含有ag糖(ba0)，若再

添加mg糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，

下列不等式中一定成立的有（）

aamama2m

A．B．

bbmbmb2m

21

C．a2mbmamb2mD．

3b13a1

例17．（2024·山西·