2025年高考数学必刷题分类：第61讲、圆中的范围与最值（学生版）

第61讲圆中的范围与最值

知识梳理

1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：

yb

（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

xa

（2）形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

（3）形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距

离平方的最值问题.

2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：

（1）数形结合

（2）多与圆心联系

（3）参数方程

（4）代数角度转化成函数值域问题

必考题型全归纳

题型一：斜率型

224y

例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点Px,y在圆x1y13上运动，则的

x3

最大值为（）

A．630B．630C．630D．630

例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点Px，y在圆x2(y1)21上

运动，则下列选项正确的是（）

y111

A．的最大值为，最小值为;

x233

y133

B．的最大值为，最小值为；

x233

C．2xy的最大值为15，最小值为15；

D．2xy的最大值为25，最小值为25；

22

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知Pm,n为圆C：x1y11上任意一点，则

n1

的最大值为.

m1

变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知Mx,y为圆C：

x2y24x14y450上任意一点，且点Q2,3．

（1）求MQ的最大值和最小值．

y3

（2）求的最大值和最小值．

x2

（3）求yx的最大值和最小值．

题型二：直线型

例4．（2024·全国·高三专题练习）点P(x,y)是圆x2y212上的动点，则xy的最大值

是.

例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点P(x,y)是圆x2y26x4y120上的

动点，则xy的最大值为（）

A．52B．52C．6D．5

2

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点Px,y是圆C：xay23a0上的一动点，

若圆C经过点A1,2，则yx的最大值与最小值之和为（）

A．4B．26C．4D．26

题型三：距离型

例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与

欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，

阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A,B的距离之比为

（0，且1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A,B间的距离为2，

PA22

动点P满足3，则PAPB的最大值为

PB

例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知M为圆C：x2y24x14y450上

任意一点，且Q2,3．

(1)求MQ的最大值和最小值；

(2)若Mm,n，求2m3n1的最大值和最小值；

(3)若Mm,n，求m2n24m6n的最大值和最小值．

22

例9．（2024·高一课时练习）已知点Px，y在直线xy1＝0上运动，求x－1y－1的

最小值及取得最小值时点P的坐标．

22

变式2．（2024·高二课时练习）已知点Px，y在直线xy1＝0上运动，则x－1y－1

取得最小值时点P的坐标为．

变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知M(m,n)为圆C：x2y24x4y40上任意一

点．则(m1)2(n1)2的最大值为

1

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足xR,axbab，

abc4

a2,ab4，acb2c6，则ac的最小值为（）

2662

A．1B．C．3D．

32

变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点A(1,1),B(1,3),C(2,1)，

点P在圆x2y21上运动，则|PA|2|PB|22|PC|2的最大值为（）

A．22B．26C．30D．32

题型四：周长面积型

2

例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点A1,0，B0,2，点P是圆x1y21上

任意一点，则PAB面积的最大值为，最小值为.

例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆C:(x2)2(y6)24，点M为直线l:xy80

上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小值

为（）

A．8B．62C．52D．242

例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线l：yx1与圆E：x2y22x2y10相交于不

同两点A，C，位于直线l异侧两点B，D都在圆E上运动，则四边形ABCD面积的最大值

为（）

A．30B．230C．51D．251

变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆C的方程为x2y22，点P是直线

x2y50上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形

PACB的面积的最小值为

变式7．（2024·高二课时练习）已知A0,2，B2,0，点P为圆x2y22x8y130上

任意一点，则PAB面积的最大值为（）

5

A．5B．522C．D．522

2

题型五：数量积型

x2y2

例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点M为椭圆1上任意一点，A,B是

1615

22

圆(x1)y1上两点，且AB2，则MAMB的最大值是.

2

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l:yx2a与圆C:xay2r2r0相切

于点M1,y0，设直线l与x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PAPM的最大值

为．

例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点A1,0,B1,0，点P为圆

22

C:xy6x8y170上的动点，则ABAP的最大值为.

变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆

心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则APAB的取值范围是

（）．

A．4,20B．1,5C．0,20D．4,20

变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF

中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，

则APAB的取值范围是（）

A．[2,8].B．[4,8]C．[2,10]D．[4,10]

变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为2，

圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的

直径，则PMPN的取值范围是（）

33

A．2,4B．2,3C．,4D．,3

22

题型六：坐标与角度型

22

例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P在圆M：x4y24上，

点A2,0，B0,2，则PBA最小和最大时分别为（）

A．0°和60°B．15°和75°C．30°和90°D．45°和135°

22

例17．（2024·高二单元测试）已知圆C：(x﹣1)+y=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.

若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是.

3xy

例18．（2024·全国·高三专题练习）已知x，y满足x2y24y3，则的最大值为

x2y2

（）

A．1B．2C．3D．5

22

变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆M:xcosysin（102）

与圆N:x2y22x4y0交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（）

1344

A．B．C．D．

2453

变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵

坐标之和的最大值为（）

A．1B．2C．2D．22

22

变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆C:x1y25，圆C是以圆x2y21上

任意一点为圆心，1为半径的圆．圆C与圆C交于A，B两点，则sinACB的最大值为（）

1234

A．B．C．D．

2345

题型七：长度型

2

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C:x2y21及点A0,2，点P、Q分别是

直线xy0和圆C上的动点，则PAPQ的最小值为.

例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线l与圆O:x2y24交于

Ax1,y1,Bx2,y2两点，且AB2，则x1y14x2y24的最大值为.

例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知Ax1,y1､Bx2,y2为圆

22Px,y

M:xy4上的两点，且x1x2y1y22，设00为弦AB的中点，则3x04y010

的最大值为.

22，22

变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数x1,x2,y1,y2满足x1y11x2y21，

1x1y11x2y21

xxyy，则的最大值为.

1212222

变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》

中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA|PB（其中是正

常数，且1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点

M(1,0)、N(2,1)，P是圆O:x2y23上的动点，则3PMPN的最小值为

变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆C是以点M2,23和点N6,23为直径的圆，

点P为圆C上的动点，若点A2,0，点B1,1，则2PAPB的最大值为（）

A．26B．42C．852D．2

变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知A，B是曲线

|x|1y22y3上两个不同的点，C(0,1)，则|CA||CB|的最大值与最小值的比值是

（）

535

A．B．C．2D．3

35

变式18．（2024·全国·高三专题练习）在Rt△ABC中，BAC，ABAC2，点M在

2

3

ABC内部，cosAMC，则MB2MA2的最小值为．

5

变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P在直线yx2上

运动，点E是圆x2y21上的动点，点F是圆(x6)2(y5)29上的动点，则|PF||PE|

的最大值为（）

A．6B．7C．8D．9

题型八：方程中的参数

例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，

AB90,AD4,ABB