2025年高考数学必刷题分类：第5讲、一元二次不等式与其它不等式解法（教师版）

第5讲一元二次不等式与其它不等式

解法

知识梳理

1、一元二次不等式

22

一元二次不等式axbxc0(a0)，其中b4ac，x1,x2是方程

2

axbxc0(a0)的两个根，且x1x2

（1）当a0时，二次函数图象开口向上．

（）①若，解集为或．

20x|xx2xx1

b

②若0，解集为x|xR且x．

2a

③若0，解集为R．

（2）当a0时，二次函数图象开口向下．

①若，解集为

0x|x1xx2

②若0，解集为

2、分式不等式

f(x)

（1）0f(x)g(x)0

g(x)

f(x)

（2）0f(x)g(x)0

g(x)

f(x)f(x)g(x)0

（3）0

g(x)g(x)0

f(x)f(x)g(x)0

（4）0

g(x)g(x)0

3、绝对值不等式

（1）f(x)g(x)[f(x)]2[g(x)]2

（2）f(x)g(x)(g(x)0)f(x)g(x)或f(x)g(x)；

f(x)g(x)(g(x)0)g(x)f(x)g(x)；

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【解题方法总结】

1、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)（其中mn0），解关于x的不

等式cx2bxa0．

1111

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得：a()2bc0的解集为(，)，即关于

xxnm

11

x的不等式cx2bxa0的解集为(，)．

nm

已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式

cx2bxa0．

11

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得：a()2bc0的解集为

xx

1111

(，][，)即关于x的不等式cx2bxa0的解集为(，][，)．

nmnm

2、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)（其中nm0），解关于x的

不等式cx2bxa0．

1111

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得：a()2bc0的解集为(，)即关于

xxmn

11

x的不等式cx2bxa0的解集为(，)．

mn

3、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式

cx2bxa0．

11

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得：a()2bc0的解集为

xx

1111

(，][，)即关于x的不等式cx2bxa0的解集为(，][，)，

mnmn

以此类推．

a0

4、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为R，则一定满足；

0

a0

5、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为，则一定满足；

0

a0

6、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为R，则一定满足；

0

a0

7、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为，则一定满足．

0

必考题型全归纳

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

【解题总结】

解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，

写出其解集

例1．（2024·上海金山·统考二模）若实数x满足不等式x23x20，则x的取值范围是

__________.

【答案】1,2

【解析】不等式x23x20，即x1x20，解得1x2，则x的取值范围是1,2.

故答案为：1,2.

12x

例2．（2024·高三课时练习）不等式x2的解集为______．

93

1

【答案】

3

12x

【解析】解:由题知不等式为x2,

93

即9x26x10,

2

即3x10,

1

解得x,

3

1

所以解集为.

3

1

故答案为:

3

例．（高三课时练习）函数22的定义域为．

32024·f(x)2xx3log332xx______

【答案】1,3

2x2x30

【解析】要使函数有意义，则，解得

21x3.

32xx0

所以函数的定义域为[1,3).

故答案为：[1,3).

1

例4．（2024·高三课时练习）不等式2x23x0的解集为______．

2

3535

【答案】,

44

1

【解析】不等式2x23x0即4x26x10，

2

3535

4x26x10的根为x,x，

1424

3535

故4x26x10的解集为,，

44

13535

即不等式2x23x0的解集为,，

244

3535

故答案为：,

44

题型二：含参数一元二次不等式的解法

【解题总结】

1、数形结合处理．

2、含参时注意分类讨论．

3x1

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知集合Ax1，集合

x2

Bxx2a2x2a0，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围

（）

1111

A．,B．,C．,2D．,2

2222

【答案】A

3x13x12x12x1x201

【解析】由1得：10，，解得：x2，

x2x2x2x202

1

A,2；

2

由x2a2x2a0得：x2xa0；

“xA”是“xB”的充分不必要条件，AB，

当a2时，B2,a，不满足AB；当a2时，B，不满足AB；

1

当a2时，Ba,2，若AB，则需a；

2

1

综上所述：实数a的取值范围为,.

2

故选：A.

例6．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式x2m2x2m0的解集中恰有4

个整数，则实数m的取值范围为（）

A．6,7B．3,2

C．3,26,7D．3,7

【答案】C

【解析】不等式x2m2x2m0即(x2)(xm)0，

当m>2时，不等式解集为(2,m)，此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是3,4,5,6，故6m7，

当m2时，不等式解集为，此时不符合题意；

当m2时，不等式解集为(m,2)，此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是2,1,0,1，故3m2，，

故实数m的取值范围为3,26,7，

故选：C

例7．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式ax2a2x10a0．

【解析】方程：ax2a2x1=0且a0

(a2)24aa240,

a2a24a2a24

解得方程两根：x,x；

12a22a

当a0时，原不等式的解集为：

a2a24a2a24

x|x或x;

2a2a

当a<0时，原不等式的解集为：

a2a24a2a24

x|x.

2a2a

综上所述,当a0时，原不等式的解集为：

a2a24a2a24

x|x或x;

2a2a

当a<0时，原不等式的解集为：

a2a24a2a24

x|x.

2a2a

例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式ax2a2x20a0的解集为（）

21

A．,1B．1,

aa

22

C．,[1,)D．(,1],

aa

【答案】A

【解析】原不等式可以转化为：x1ax2≥0，

22

当a<0时，可知(x)(x1)0，对应的方程的两根为1，，

aa

2

根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：[,1].

a

故选：A.

题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式

【解题总结】

1、一定要牢记二次函数的基本性质．

2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|x1或

x4}，则下列说法正确的是（）

A．a0B．不等式ax2cxb0的解集为

{x|27x27}

C．abc0D．不等式axb0的解集为x|x3

【答案】B

【解析】因为关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|x1或x4}，所以a<0，所以

选项A错误；

a0

b

由题得14,b3a,c4a，所以ax2cxb0为

a

c

14

a

x24x30,27x27.所以选项B正确；

设f(x)ax2bxc，则f(1)abc0，所以选项C错误；

不等式axb0为ax3a0,x3，所以选项D错误.

故选：B

2

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知实数ab，关于x的不等式xabxab10

的解集为x1,x2，则实数a、b、x1、x2从小到大的排列是()

A．ax1x2bB．x1abx2

C．ax1bx2D．x1ax2b

【答案】A

【解析】由题可得：x1x2ab，x1x2ab1.由ab，x1x2，设x1am，则x2bm.

2

221m

所以x1x2(am)(bm)abm(ba)mab1，所以m(ba)m1，m.又

ba

ab，所以ba0，所以m0.故x1a，x2b.又x1x2，故ax1x2b.

故选：A.

例11．（2024·全国·高三专题练习）关于x的不等式ax2bxc0的解集为3,1，则不等

式bx2axc0的解集为（）

13

A．1,2

B．(-1,2)C．,1D．,1

22

【答案】D

a0

b

【解析】ax2bxc0的解集是3,1，31，得b2a,c3a，

a

c

31

a

则不等式bx2axc02ax2ax3a0，

3

即2x2x30，解得：x1，

2

3

所以不等式的解集是,1.

2

故选：D

例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式x2axb0(a0)的

解集是x|xd,，则下列四个结论中错误的是（）

A．a24b

1

B．a24

b

2（，）

C．若关于x的不等式xaxb0的解集为x1x2，则x1x20

2（，）

D．若关于x的不等式x+ax+b<c的解集为x1x2，且x1x24，则c4

【答案】C

【解析】由题意a24b0，a24b，所以A正确;

14424

对于B:a2a22a24，当且仅当a，即a2时成立,

ba2a2a2

所以B正确;

a2

对于C,由韦达定理，可知xxb0，所以C错误;

124

a2

对于D,由韦达定理，可知xxa，xxbcc，

12124

2

22a

则xxxx4xxa4c2c4，解得c4，

1212124

所以D正确,

故选：C.

4

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式ax22bx40的解集为m,，

m

b4

其中m0，则的最小值为（）

4ab

A．－2B．1C．2D．8

【答案】C

444

【解析】由题意可知，方程ax22bx40的两个根为m，，则m，解得：a1，

mma

4

故m2b，m0，

m

444

所以2bm2m4，当且仅当m，即m2时取等号，则b2，

mmm

b4b4b4b4

所以22，当且仅当，即b4时取等号，

4ab4b4b4b

b4

故的最小值为2.

4ab

故选：C.

题型四：其他不等式解法

【解题总结】

1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．

2、根式不等式绝对值不等式平方处理．

x1

例14．（2024·北京海淀·统考一模）不等式0的解集为_________．

x2

【答案】x|x1或x2

x1

【解析】根据分式不等式解法可知0等价于x1x20，

x2

由一元二次不等式解法可得x1或x<2；

x1

所以不等式0的解集为x|x1或x2.

x2

故答案为：x|x1或x2

x29

例15．（2024·全国·高三专题练习）不等式的0的解集是______

x2

【答案】：(3,2)(3,)

x29

【解析】0(x3)(x3)(x2)0则3x2或x3

x2

【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法

例16．（2024·上海·高三专题练习）若不等式x21，则x的取值范围是____________．

【答案】x1x3

【解析】∵x21，则1x21，解得1x3，

∴x的取值范围是x1x3.

故答案为：x1x3.

例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式x2x24的解集是__________．

【答案】2,2

【解析】当x<2时，x22x4，解得x2，此时解集为空集，

当2x2时，x22x4，即44，符合要求，此时解集为2,2，

当x2时，x2x24，解得x2，此时解集为空集，

综上：不等式的解集为2,2.

故答案为：2,2

例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合

Ax∣x26x80,Bxx32,xZ，则AB___________．

【答案】{2,3,4}

【解析】Ax∣x26x80x∣2x4，

Bxx32,xZx1x5,xZ2,3,4.

故AB2,3,4.

故答案为：{2,3,4}

题型五：二次函数根的分布问题

【解题总结】

解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正

负，所对应的二次函数图象的开口方向．

例19．（2024·全国·高三专题练习）方程mx2m1x10在区间0,1内有两个不同的根，

则m的取值范围为__．

【答案】m322

【解析】令fxmx2m1x1，图象恒过点0,1，

方程mx2m1x10在区间0,1内有两个不同的根，

m0

m1m0

01

2mm1，解得m322.

f102

m14m0

Δ0

故答案为：m322

例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程x22a1xaa10的两根分别在区间

0,1，1,3之内，则实数a的取值范围为______．

【答案】0,1.

2

【解析】方程x－2a1xaa10xaxa10

方程两根为x1a,x2a1，

0a1

若要满足题意，则，解得0a1，

1a13

故答案为：0,1.

例21．（2024·全国·高三专题练习）若方程2xkx4x260有两个不相等的实根，则k

可取的最大整数值是______.

【答案】1

【解析】方程化为2k1x28x60，

111

由Δ64242k10，k解得k，

26

所以k最大整数值是1.

故答案为：1.

例22．（2024·全国·高三专题练习）已知a,b,cR，abc1,a2b2c21，则c的取值范

围为________.

1

【答案】,1

3

2

【解析】abc2ab2ac2bca2b2c2，故abacbc0，

ab1c，abcabc1c，

2

将a,b看成方程x1cxc1c0的两根，则0，

21

即1c4c1c0，故c113c0，解得c1.

3

1

故答案为：,1

3

题型六：一元二次不等式恒成立问题

【解题总结】

恒成立问题求参数的范围的解题策略

（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．

（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒

成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论．

例23．（2024·全国·高三专题练习）若不等式x2＋x－1m2x2－mx对xR恒成立，则实数m

的取值范围是________．

5

【答案】,1,

3

【解析】原不等式可化为m21x2m1x10对xR恒成立．

（1）当m210时，若不等式对xR恒成立，

m10

只需，解得m1；

10

（2）当m210时，若该二次不等式恒成立，

2m1或m1

m10

只需，解得，

225

Δm14m10m或m1

3

5

所以m,1,；

3

5

综上：m,1,.

3

5

故答案为：,1,

3

例24．（2024·全国·高三专题练习）若不等式ax2x2x1对x,0恒成立，则a的取

值范围是____________．

5

【答案】a

4

【解析】由不等式ax2x2x1对x,0恒成立，

x2x1x2x1

可转化为