2025年高考数学必刷题分类：第5讲、一元二次不等式与其它不等式解法（学生版）

第5讲一元二次不等式与其它不等式

解法

知识梳理

1、一元二次不等式

一元二次不等式2，其中2，是方程

axbxc0(a0)b4acx1,x2

2的两个根，且

axbxc0(a0)x1x2

（1）当a0时，二次函数图象开口向上．

（）①若，解集为或．

20x|xx2xx1

b

②若0，解集为x|xR且x．

2a

③若0，解集为R．

（2）当a0时，二次函数图象开口向下．

①若，解集为

0x|x1xx2

②若0，解集为

2、分式不等式

f(x)

（1）0f(x)g(x)0

g(x)

f(x)

（2）0f(x)g(x)0

g(x)

f(x)f(x)g(x)0

（3）0

g(x)g(x)0

f(x)f(x)g(x)0

（4）0

g(x)g(x)0

3、绝对值不等式

（1）f(x)g(x)[f(x)]2[g(x)]2

（2）f(x)g(x)(g(x)0)f(x)g(x)或f(x)g(x)；

f(x)g(x)(g(x)0)g(x)f(x)g(x)；

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【解题方法总结】

1、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)（其中mn0），解关于x的不

等式cx2bxa0．

1111

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得：a()2bc0的解集为(，)，即关于

xxnm

11

x的不等式cx2bxa0的解集为(，)．

nm

已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式

cx2bxa0．

11

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得：a()2bc0的解集为

xx

1111

(，][，)即关于x的不等式cx2bxa0的解集为(，][，)．

nmnm

2、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)（其中nm0），解关于x的

不等式cx2bxa0．

1111

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得：a()2bc0的解集为(，)即关于

xxmn

11

x的不等式cx2bxa0的解集为(，)．

mn

3、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式

cx2bxa0．

11

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得：a()2bc0的解集为

xx

1111

(，][，)即关于x的不等式cx2bxa0的解集为(，][，)，

mnmn

以此类推．

a0

4、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为R，则一定满足；

0

a0

5、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为，则一定满足；

0

a0

6、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为R，则一定满足；

0

a0

7、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为，则一定满足．

0

必考题型全归纳

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

【解题总结】

解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，

写出其解集

例1．（2024·上海金山·统考二模）若实数x满足不等式x23x20，则x的取值范围是

__________.

12x

例2．（2024·高三课时练习）不等式x2的解集为______．

93

例．（高三课时练习）函数22的定义域为．

32024·f(x)2xx3log332xx______

1

例4．（2024·高三课时练习）不等式2x23x0的解集为______．

2

题型二：含参数一元二次不等式的解法

【解题总结】

1、数形结合处理．

2、含参时注意分类讨论．

3x1

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知集合Ax1，集合

x2

Bxx2a2x2a0，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围

（）

1111

A．,B．,C．,2D．,2

2222

例6．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式x2m2x2m0的解集中恰有4

个整数，则实数m的取值范围为（）

A．6,7B．3,2

C．3,26,7D．3,7

例7．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式ax2a2x10a0．

例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式ax2a2x20a0的解集为（）

21

A．,1B．1,

aa

22

C．,[1,)D．(,1],

aa

题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式

【解题总结】

1、一定要牢记二次函数的基本性质．

2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|x1或

x4}，则下列说法正确的是（）

A．a0B．不等式ax2cxb0的解集为

{x|27x27}

C．abc0D．不等式axb0的解集为x|x3

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知实数ab，关于x的不等式x2abxab10

的解集为x1,x2，则实数a、b、x1、x2从小到大的排列是()

A．ax1x2bB．x1abx2

C．ax1bx2D．x1ax2b

例11．（2024·全国·高三专题练习）关于x的不等式ax2bxc0的解集为3,1，则不等

式bx2axc0的解集为（）

13

A．1,2

B．(-1,2)C．,1D．,1

22

例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式x2axb0(a0)的

解集是x|xd,，则下列四个结论中错误的是（）

A．a24b

1

B．a24

b

2（，）

C．若关于x的不等式xaxb0的解集为x1x2，则x1x20

2（，）

D．若关于x的不等式x+ax+b<c的解集为x1x2，且x1x24，则c4

4

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式ax22bx40的解集为m,，

m

b4

其中m0，则的最小值为（）

4ab

A．－2B．1C．2D．8

题型四：其他不等式解法

【解题总结】

1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．

2、根式不等式绝对值不等式平方处理．

x1

例14．（2024·北京海淀·统考一模）不等式0的解集为_________．

x2

x29

例15．（2024·全国·高三专题练习）不等式的0的解集是______

x2

例16．（2024·上海·高三专题练习）若不等式x21，则x的取值范围是____________．

例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式x2x24的解集是__________．

例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合

Ax∣x26x80,Bxx32,xZ，则AB___________．

题型五：二次函数根的分布问题

【解题总结】

解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正

负，所对应的二次函数图象的开口方向．

例19．（2024·全国·高三专题练习）方程mx2m1x10在区间0,1内有两个不同的根，

则m的取值范围为__．

例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程x22a1xaa