2025年高考数学必刷题分类：第31讲、W的取值范围与最值问题（学生版）

第31讲的取值范围与最值问题

知识梳理

1、f(x)Asin(x)在f(x)Asin(x)区间(a，b)内没有零点

T

Tba

ba2

2

k

kaka

kbk

k

b

同理，f(x)Asin(x)在区间[a，b]内没有零点

T

Tba

ba2

2

k

kaka

kbk

k

b

2、f(x)Asin(x)在区间(a，b)内有3个零点

Tba2T

Tba2T

k(k1)

kaka

3kb4k

(k3)(k4)

b

同理f(x)Asin(x)在区间[a，b]内有2个零点

T3T

T3Tba

ba22

22

kk

kaka

2kb3k

(k2)(k3)

b

3、f(x)Asin(x)在区间(a，b)内有n个零点

(n1)T(n1)T

ba

22

kk

a

(kn)(kn+1)

b

同理f(x)Asin(x)在区间[a，b]内有n个零点

(n1)T(n1)T

ba

22

kk

a

(kn)(kn+1)

b

2n1

4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为T，则

4

2n1(2n1)

Tba．

42

T

5、已知单调区间(a,b)，则ab.

2

必考题型全归纳

题型一：零点问题

1

例1．（2024·全国·高三专题练习）设函数fxsinx(0)，若对于任意实数，

2

函数fx在区间0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（）

44557

A．1,B．,C．,2D．2,

33333

3

例2．（2024·全国·高一专题练习）设函数f(x)2sinx1(0)，在区间,上至少

44

有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（）

26102658

A．,B．,

9399

345826103458

C．,D．,,

999399

例3．（2024·河北·高二统考学业考试）设函数f(x)2sinx10，若对于任意实

3

数，f(x)在区间,上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）

44

8161620820

A．,B．4,C．4,D．,

333333

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx的图象是由y2sinx（0）

3

的图象向右平移个单位得到的，若fx在,上仅有一个零点，则的取值范围是

32

（）．

5

A．0,B．1，3

2

5

C．1,D．1,4

2

变式2．（2024·全国·高三专题练习）记函数fxsinx0,0的最小正周

2

3

期为T.若fT，x为fx的零点，则的最小值为（）

26

A．2B．3C．4D．6

2sinx13

,cosx

cosx32

变式3．（2024·全国·模拟预测）若函数fx0在0,4π上

3

x,cosx

2

有3个零点，则的取值范围是（）

131325313143

A．,B．,C．,D．,

242424242424

题型二：单调问题

π

例4．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数fxsinx0的图象

3

π5π

关于点,0对称，且fx在0,上单调，则的取值集合为（）

648

A．2B．8C．2,8D．2,8,14

ππ

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxsinx0,，x是函

28

πππ

数fx的一个零点，x是函数fx的一条对称轴，若fx在区间,上单调，则

854

的最大值是（）

A．14B．16C．18D．20

ππ

例6．（2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线x是曲线ysinx(0)的一条

44

ππ

对称轴，且函数ysin(x)在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）

412

A．9B．7C．11D．3

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxsinx0的一个对称中心为

5

,0，fx在区间,上不单调，则的最小正整数值为（）

36

A．1B．2C．3D．4

变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxsinx0在,上单调，

36

4

且fff，则的可能取值（）

633

A．只有1个B．只有2个

C．只有3个D．有无数个

题型三：最值问题

23π

例7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx3sinxcosx(0)在区间[,]

54

上单调递增，且在区间[0,π]上只取得一次最大值，则的取值范围是（）

28252858

A．[,]B．[,]C．[,]D．[,]

33363969

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2sinx0，若f0，且

33

5

fx在,上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．

312

π

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2sinx0在x处取得最大

3

π5π

值，且fπ0，若函数fx在,上是单调的，则的最大值为______．

312

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxsinx在（0，2]上有最大值和最

6

小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)sinxacosx(a0,0)的最大值

为2，则使函数f(x)在区间0,3上至少取得两次最大值，则取值范围是_______

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxcos2x2sinxcosxsin2x(0)

ππ

在,上有最大值，无最小值，则的取值范围是________．

123

题型四：极值问题

ππ

例10．（2024·全国·高三专题练习）记函数f(x)sin(x)0,的最小正周

22

T2π

期为T．若f,x为f(x)的极小值点，则的最小值为__________．

228

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)4sin(x)0,||，

2

f(0)f(4)2，函数f(x)在(0,4)上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为

（）

54

A．B．C．D．

6363

例12．（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数fxcosx0在区间0,内有

42

1

且仅有一个极小值，且方程fx在区间0,内有3个不同的实数根，则的取值范围

22

是（）

2511251125112511

A．,B．,C．,D．,

62626262

变式9．（2024·全国·校联考三模）已知函数fx2sinx0，x,.若函

632

数fx只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（）

88

A．2,5B．2,5C．2,D．2,

33

π

变式10．（2024·全国·高三专题练习）函数fxsinx0在0,1上有唯一的极

3

大值，则（）

13π13ππ13π13π25π

A．π,B．π,C．,D．,

666666

变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxcosx0在区间0,内有且

42

1

仅有一个极大值，且方程fx在区间0,内有4个不同的实数根，则的取值范围是

22

（）

74174141152515

A．,B．,C．,D．,

26266262

题型五：对称性

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxcosx(0)在区间[0，]上有

4

且仅有3条对称轴，则的取值范围是（）

13179139131317

A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）

44444444

例14．（2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数fxcosx3sinx(0)，若fx

在区间0,2上有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（）

541319419134

A．,B．,C．,D．,

631212312123

π

例15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxsinx(0)在区间0,π上有且

4

仅有4条对称轴，下列四个结论正确的是（）

A．fx在区间0,上有且仅有3个不同的零点

π

B．fx的最小正周期可能是

4

1317

C．的取值范围是,

44

π

D．fx在区间0,上单调递增

15

π

变式12．（2024·浙江衢州·高一统考期末）函数fxsinx0在区间0,π上恰

4

有两条对称轴，则的取值范围为（）

71391171159

A．,B．,C．,D．,

44444444

变式13．（2024·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数

1

fx3sinxcosxcos2x(0,xR)在0,内有且仅有三条对称轴，则的取值

2

范围是（）

2775513138

A．,B．,C．,D．,

36633663

题型六：性质的综合问题

例16．（2024·全国·高三专题练习）函数fx3sinx（0，），已知|f|3，

23

52

且对于任意的xR都有fxfx0，若fx在,上单调，则的

66369

最大值为（）

A．11B．9C．7D．5

例17．（2024·全国·高一专题练习）设函数f(x)cosx(0)，已知f(x)在[[0,2]有

4

且仅有4个零点，下述四个结论：①f(x)1在[0,2]有且仅有2个零点；②f(x)1在[0,2]

1519

有且仅有2个零点；③的取值范围是,；④f(x)在0,单调递增，其中正确个数

8810

是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

例18．（多选题）（2024·福建漳州·统考三模）已知函数

xxx1

fxsincoscos20在0,π上有且仅有4条对称轴；则（）

2222

1317

A．,

44

B．π可能是fx的最小正周期

ππ

C．函数fx在,上单调递增

1616

D．函数fx在0,π上可能有3个或4个零点

变式14．（多选题）（2024·广东汕头·统考一模）知函数fxsinx0，则下述

4

结论中正确的是（）

A．若fx在0,2有且仅有4个零点，则fx在0,2有且仅有2个极小值点

2

B．若fx在0,2有且仅有4个零点，则fx在0,上单调递增

15

1519

C．若fx在0,2有且仅有4个零点，则的范围是,

88

5

D．若fx的图象关于x对称，且在,单调，则的最大值为9

41836

变式15．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)sinx(0)，则下

4

述结论中错误的是（）

A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点

2

B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在0,上单调递增

15

1519

C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是,

88

5

D．若f（x）图象关于x对称，且在,单调，则ω的最大值为11

41836

变式16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)sin(x),(0)在[0,]上

6

有且仅有三个对称轴，则下列结论正确的是（）

A．函数fx在(0,)上单调递增.

10

B．(,0)不可能是函数yfx的图像的一个对称中心

4

1013

C．的范围是[,)

33

D．f(x)的最小正周期可能为

2

变式17．（多选题）（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数

ππ

fx2sinx0的最小正周期Tπ，f1，且f