2025年高考数学必刷题分类：第12讲、函数与方程（学生版）

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第12讲函数与方程

知识梳理

一、函数的零点

对于函数yfx，我们把使fx0的实数x叫做函数yfx的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程fx0有实数根函数yfx的图像与x轴有公共点函数yfx有零

点.

三、零点存在性定理

如果函数yfx在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，

那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0,c也就是方程

fx0的根.

四、二分法

对于区间a,b上连续不断且fafb0的函数fx，通过不断地把函数fx的

零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法

叫做二分法.求方程fx0的近似解就是求函数fx零点的近似值.

五、用二分法求函数fx零点近似值的步骤

（1）确定区间a,b，验证fafb0，给定精度.

（）求区间的中点

2a,bx1.

（）计算若则就是函数的零点；若，则令

3fx1.fx10,x1fxfafx10

（此时零点）若，则令（此时零点）

bx1x0a,x1.fbfx10ax1x0x1,b

（4）判断是否达到精确度，即若ab，则函数零点的近似值为a（或b）；否

则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

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【解题方法总结】

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.

②连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)0.

必考题型全归纳

题型一：求函数的零点或零点所在区间

【例1】（2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数h(x)是奇函数，且

f(x)h(x)2，若x2是函数yf(x)的一个零点，则f(2)（）

A．4B．0C．2D．4

【对点训练1】（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知x0是函数

f(x)tanx2的一个零点，则sin2x0的值为（）

4334

A．B．-C．D．

5555

【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数

x

fx2x,gxlog2xx,hxlog2x2的零点依次为a,b,c，则（）

A．abcB．cbaC．cabD．bac

x

【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）已知fxelnx2，若x0是方程

fxfxe的一个解，则x0可能存在的区间是（）

A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4

【解题总结】

求函数fx零点的方法：

（1）代数法，即求方程fx0的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，

即利用函数yfx的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

2

【例2】（2024·山西阳泉·统考三模）函数fxlog2xxm在区间1,2存在零点．则

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实数m的取值范围是（）

A．,5B．5,1C．1,5D．5,

3

【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数f(x)2xa的一个零点在区间1,3

x

内，则实数a的取值范围是（）

A．7,B．,1C．,17,D．1,7

2

【对点训练5】（2024·河北·高三学业考试）已知函数f(x)a是R上的奇函数，

2x1

若函数yf(x2m)的零点在区间1，1内，则m的取值范围是（）

11

A．(,)B．(1，1)C．(2,2)D．0，1

22

【对点训练6】（2024·浙江绍兴·统考二模）已知函数fxlnxax2b，若fx在区

间2,3上有零点，则ab的最大值为__________.

【对点训练7】（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数

f(x)sinaxasinx在(0,2π)上有零点，则实数a的取值范围___________.

【解题总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列

关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x，y满足

ln2y1y2，exx5，则x2y________.

【对点训练8】（2024·新疆·校联考二模）已知函数fxax33x24，若fx存在唯

一的零点x0，且x00，则a的取值范围是________．

x24xa,x0

【对点训练9】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数f(x)1，若函数

a1,x0

x

gxfxax1在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是________．

【对点训练10】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线yxlnx有两条过e,a的切线，

则a的范围是______.

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【对点训练11】（2024·天津北辰·统考三模）设aR，对任意实数x，记

fxminex2,e2xaexa24．若fx有三个零点，则实数a的取值范围是________．

【对点训练12】（2024·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足

e20232me3ln2

mlnnln2e20200，则mn___________.

2n

【解题总结】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是

要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调

的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

题型四：嵌套函数的零点问题

1

x2x,x0

【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2，若关于x的方程

2x11,x0

f2xk1xfxkx20有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为（）

11

A．0,B．,11,2C．0,1U1,2D．2,

22

x

【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx221，则关于x的方

2

程fxmfxn0有7个不同实数解，则实数m,n满足（）

A．m0且n0B．m0且n0

C．0m1且n0D．1m0且n0

【对点训练14】（2024·四川资阳·高三统考期末）定义在R上函数fx，若函数yfx1

2

x,x0,1,2

关于点1,0对称，且fxx1则关于x的方程fx2mfx1(mR)

e2,x1,,

有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为

A．2B．4

C．2或4D．2或4或6

【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)(x2x1)ex，设关于x的方

5

程f2(x)mf(x)(mR)有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为

e

A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6

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【解题总结】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎

实．

题型五：函数的对称问题

11

【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2xx2的图象上存在点

x22

P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是

（）

55

A．4,0B．0,C．0,4D．,4

88

【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)ex，函数g(x)与f(x)的图象

关于直线yx对称，若h(x)g(x)kx无零点，则实数k的取值范围是（）

1211

A．,eB．,eC．(e,)D．,

eee

1

【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数ya2lnx,(xe)的图象上存

e

在点M，函数yx21的图象上存在点N，且M，N关于x轴对称，则a的取值范围是（）

1

．2．

A1e,2B32,

e

11

C．3,2D．1e2,3

e2e2

1

【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数gxax2（xe，e为自然

e

对数的底数）与hx2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）

1

A．1,2B．1,e22

e2

1

C．2,e22D．e22,

e2

【解题总结】

转化为零点问题

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型

x32ex2mxlnx

【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数f(x)至少存在一个

x

零点，则m的取值范围为（）

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212111

A．,eB．e,C．,eD．e,

eeee

【对点训练19】（2024·湖北·高三校联考期中）设函数f(x)x32ex2mxlnx，记

f(x)

g(x)，若函数gx至少存在一个零点，则实数m的取值范围是

x

21212121

A．,eB．0,eC．0,eD．,e

eeee

【对点训练20】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x，使得方

程lnxmxx(x22ex)成立．则实数m的取值范围为

1111

A．me2B．me2C．meD．me

eeee

x

【对点训练21】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数fxx22xa

ex

（其中e为自然对数的底数），若函数fx至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（）

1111

A．(0,1]B．(0,e]C．[e,)D．(,1]

eeee

【解题总结】

分类讨论数学思想方法

题型七：唯一零点求值问题

【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx2ex2e2xa有唯一零点，

则实数a（）

A．1B．1C．2D．2

ππ

xx

【对点训练22】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxe4e4asinxcosx有

唯一零点，则a（）

π4π

A．B．C．2D．1

ee

【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）已知函数gx，hx分别是定义在R上的

偶函数和奇函数，且gxhxexsinxx，若函数fx3x2020gx202022有

唯一零点，则实数的值为

11

A．1或B．1或C．1或2D．2或1

22

1

【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2ex2a2x222xa2有

2

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唯一零点，则负实数a

11

A．2B．C．1D．或1

22

【解题总结】

利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

题型八：分段函数的零点问题

2x,x0

【例8】（2024·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数fx，若函数

log2x,x0

gxfxm有两个零点，则m的取值范围是（）

A．1,0B．1,C．,0D．,1

【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知m0，函数

(x2)ln(x1),1xm,

f(x)π恰有3个零点，则m的取值范围是（）

cos3x,mxπ,

4

π5π3ππ5π3π5π3π5π3π

A．,2,B．,2,C．0,2,D．0,2,

1212412124124124

ex,x0

【对点训练26】（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数fx，若函数

3x,x0

gxfxfx，则函数gx的零点个数为（）

A．1B．3C．4D．5

1

2sin2xa,xa

【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2，

22

x2a1xa2,xa

若函数f(x)在[0,)内恰有5个零点，则a的取值范围是（）

757751175

A．,B．,2C．,2,D．,22,

42442442

【解题总结】

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：

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（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

题型九：零点嵌套问题

【例9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)(xex)2(a1)(xex)1a有三个不同

x1x2x32

的零点x1,x2,x3.其中x1x2x3，则(1x1e)(1x2e)(1x3e)的值为（）

A．1B．(a1)2C．1D．1a

【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxaxlnxxlnxx2，有

2

lnx1lnx2lnx3

三个不同的零点，（其中x1x2x3），则111的值为

x1x2x3

A．a1B．1aC．-1D．1

2

【对点训练29】（2024·辽宁·校联考二模）已知函数fx9lnxa3xlnx33ax2

2

xxlnx1lnx2lnx3

有三个不同的零点1，2，x3，且x11x2x3，则333的值为

x1x2x3

（）

A．81B．﹣81C．﹣9D．9

【对点训练30】（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R上

2x2x

的函数f(x)满足f(x)9x(a3)xe3(3a)e有三个不同的零点x1,x2,x3,且

2

xxx

则123的值是（）

x10x2x3,333

ex1ex2ex3

A．81B．-81C．9D．-9

【解题总结】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

题型十：等高线问题

x22x,x0

【例10】（2024·全国·高三专题练习）设函数fx

lnx,x0

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①若方程fxa有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是0,1

②若方程fxa有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是0,

1

③若方程fxax有四个不同的实根，则a的取值范围是0,

e

21

④方程fxafx10的不同实根的个数只能是1，2，3，6

a

四个结论中，正确的结论个数为（）

A．1B．2C．3D．4

2

x1,x0

【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx，若方程fxa

log2x,x0

1

xxx

有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4，则3122的取值范围是（）

x3x4

A．1,1B．1,1C．1,1D．1,1

【对点训练32】（2024·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数

logx,0x3

3

，若方程有四个不同的实根x，x，，，满足

fx1210fxm12x3x4

xx8,x3

33

x33x43

x1x2x3x4，则的取值范围是（）

x1x2

A．0,3B．0,4C．3,4D．1,3

x

1

1,x1

2

【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝，若互不相

1

x1,x1