2025年高考数学必刷题分类：第20讲、三次函数的图象和性质（学生版）

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第20讲三次函数的图象和性质

知识梳理

1、基本性质

设三次函数为：f(x)ax3bx2cxd(a、b、c、dR且a0)，其基本性质有：

性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单

调性和图像：

a0a0

0000

图像

性质2：三次方程f(x)0的实根个数

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来

解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)

其导函数为二次函数:f(x)3ax22bxc(a0)，

判别式为：△22，设的两根为、，结合函数草图易

=4b12ac4(b3ac)f(x)0x1x2

得：

(1)若b23ac0，则f(x)0恰有一个实根；

2

(2)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)0恰有一个实根；

2

(3)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)0有两个不相等的实根；

2

(4)若b3ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)0有三个不相等的实根.

说明:(1)(2)f(x)0含有一个实根的充要条件是曲线yf(x)与x轴只相交一次，即

f(x)在R上为单调函数（或两极值同号），所以b23ac0（或b23ac0，且

）

f(x1)f(x2)0;

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(5)f(x)0有两个相异实根的充要条件是曲线yf(x)与x轴有两个公共点且其中之

一为切点，所以2，且

b3ac0f(x1)f(x2)0;

(6)f(x)0有三个不相等的实根的充要条件是曲线yf(x)与x轴有三个公共点，即

有一个极大值，一个极小值，且两极值异号所以2且

f(x).b3ac0f(x1)f(x2)0.

性质3：对称性

bb

（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(，f())；

3a3a

（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2、常用技巧

b

（1）其导函数为f(x)3ax22bxc0对称轴为x，所以对称中心的横坐标

3a

也就是导函数的对称轴，可见，yf(x)图象的对称中心在导函数yfx的对称轴上，

且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；

（2）yf(x)是可导函数，若yf(x)的图象关于点(m,n)对称，则yf(x)图象关

于直线xm

对称.

（3）若yf(x)图象关于直线xm对称，则yf(x)图象关于点(m,0)对称.

（）已知三次函数32的对称中心横坐标为，若存在两个

4fxaxbxcxdx0fx

fxfx

极值点，，则有12a22

x1x2x1x2fx0.

x1x223

必考题型全归纳

题型一：三次函数的零点问题

例1．（2024·全国·高三专题练习）函数fxx3ax2存在3个零点，则a的取值范围是

（）

A．,2B．,3C．4,1D．3,0

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例2．（2024·江苏扬州·高三校考阶段练习）设a为实数，函数fxx33xa．

（1）求fx的极值；

（2）是否存在实数a，使得方程fx0恰好有两个实数根?若存在，求出实数a的值；若

不存在，请说明理由．

例3．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数

f(x)ax3bx23x(a,bR)，且f(x)在x1和x3处取得极值.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)f(x)t，若g(x)f(x)t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.

变式1．（2024·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知fxax3bx24a，

a,bR.

（1）当ab1，求yfx的极值；

（2）当a0，b2，设gxx2lnx1，求不等式fxgx的解集；

b

（3）当a0时，若函数fx恰有两个零点，求的值.

a

变式2．（2024·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数f(x)x33x23x.

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（1）求函数fx的图象在点x0处的切线方程；

（2）若f(x)1x3m在x0,2上有解，求m的取值范围；

（3）设fx是函数fx的导函数，fx是函数fx的导函数，若函数fx的零点为

x0，则点x0,fx0恰好就是该函数fx的对称中心.试求

1220182019

ffff的值.

1010101010101010

变式3．（2024·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数

f(x)x3bx2cxd(a,b,cR)过点(3,0)，且函数f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线

y0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)9xm1，若函数yf(x)g(x)在区间[2,1]上有两个零点，求实数m的

取值范围.

1

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x3ax，gxx2aaR．

3

(1)若函数F(x)f(x)g(x)在x[1,)上单调递增，求a的最小值；

(2)若函数G(x)f(x)g(x)的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

题型二：三次函数的最值、极值问题

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11

例4．（2024·云南·高三统考期末）已知函数f(x)x3x22ax，g(x)x24.

32

（1）若函数f(x)在0,上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

（2）设G(x)f(x)g(x).若0a2，G(x)在1,3上的最小值为ha，求ha的零点.

11

例5．（2024·高三课时练习）已知函数f(x)x3x22ax，g(x)x24.

32

（1）若函数f(x)在0,上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

1

（2）设G(x)f(x)g(x).若0a2，G(x)在1,3上的最小值为，求G(x)在1,3上取

3

得最大值时，对应的x值.

例6．（2024·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)=x3ax2a2x1，

其中a>0.

(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；

1

(2)若曲线y=f(x)在点a,fa处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+的最小值.

a

1

变式5．（2024·广东珠海·高三校联考期中）已知函数fxx3ax2a21xb（a，

3

bR），其图象在点1,f1处的切线方程为xy30．

(1)求a，b的值；

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(2)求函数fx的单调区间和极值；

(3)求函数fx在区间2,5上的最大值．

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x3ax2x，aR，且f(1)0．

(1)求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值．

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x33bx2cxd在(,0)上是增函数，

在(0,2)上是减函数，且f(x)0的一个根为b

（1）求c的值；

（2）求证：f(x)0还有不同于b的实根x1、x2，且x1、b、x2成等差数列；

（3）若函数f(x)的极大值小于16，求f(1)的取值范围

1

变式8．（2024·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数f(x)x3ax2(a2)x1(其

3

中a0).

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，求f(x1)f(x2)的取值范围.

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题型三：三次函数的单调性问题

例7．（2024·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数

1

fxx34m1x215m22m7x2在R上是增函数，则m的取值范围是()

3

A．m<2或m>4B．－4<m<－2C．2<m<4D．2≤m≤4

例8．（2024·全国·高三专题练习）三次函数f(x)mx3x在(,)上是减函数，则m的

取值范围是（）

A．m0B．m1C．m0D．m£1

1m11

例9．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数f(x)x3-x2，g(x)mx，m

323

是实数.

（1）若f(x)在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下,函数h(x)f(x)g(x)有三个零点，求m的取值范围.

变式9．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知三次函数f(x)ax3bx3在

x1处取得极值，且在(0,3)点处的切线与直线3xy0平行.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若函数g(x)f(x)mx在区间(1，2)上单调递增，求m的取值范围.

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1

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx32ax4在1,2上单调递增，则a

3

的取值范围为______．

题型四：三次函数的切线问题

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x3x．

(1)求曲线yf(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；

(2)设常数a0，如果过点P(a,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求m的取值范围．

例11．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知函数fxx33x2x1.

（1）求曲线yfx在点Pt,ft处的切线方程；

（2）设m1，若过点Qm,n可作曲线yfx的三条切线，证明:2mnfm.

11

例12．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数fxx3ax2a1x2aR，f(x)满

32

足f(x)f(x)4，已知点M是曲线yf(x)上任意一点，曲线在M处的切线为l.

(1)求切线l的倾斜角的取值范围；

4

(2)若过点P(1,m)m可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

3

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1

变式11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知函数fxx3x2mx3，在x0处取得

6

极值．

（1）求m的值；

（2）若过2,t可作曲线yfx的三条切线，求t的取值范围．

变式12．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数fxax3bx2在点1,f1处的切

线方程为3xy10．

（1）求实数a，b的值；

（2）若过点1,mm4可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．

1

变式13．（2024·全国·高三专题练习）设函数fxx3ax2bxca0在x0处取得极值

3

1．

(1)设点Aa,fa，求证：过点A的切线有且只有一条，并求出该切线方程；

(2)若过点0,0可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围；

(3)设曲线yfx在点x1,fx1、x2,fx2x1x2处的切线都过点0,0，证明：

fx1fx2．

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题型五：三次函数的对称问题

例13．（2024·全国·高三专题练习）给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是

函数yf(x)的导函数.若方程f(x)0有实数解xx0，则称x0,fx0为函数yf(x)的

“拐点”.经研究发现所有的三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)都有“拐点”，且该“拐点”

也是函数yf(x)的图象的对称中心.若函数f(x)x33x2，则

12340444045

fffff（）

20232023202320232023

A．8088B．8090C．8092D．8096

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数yx33x2x的图象C上存在一定点P满足：

,

若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点Mx1,y1Nx2,y2，就恒有y1y2的定值

为y0，则y0的值为______.

例15．（2024·新疆·统考二模）对于三次函数fxax3bx2cxda0，给出定义：设

fx是yfx的导数，x是yfx的导数，若方程x0有实数解x0，则称点

x0,fx0为曲线yfx的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数

32122022

gx2x3x4x3，则ggg_____________.

202320232023

变式14．（多选题）（2024·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期末）对于三次函数

fxax3bx2cxda0，给出定义：fx是函数yfx的导数，fx是函数

fx的导数，若方程fx0有实数解x0，则称x0,fx0为函数yfx的“拐点”.某同

学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”

249

就是对称中心.若函数fxx3x212x，则下列说法正确的是（）

36

137

A．fx的极大值为

6

B．fx有且仅有2个零点

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1

C．点,2是fx的对称中心

2

1232023

D．ffff4046

2024202420242024

变式15．（多选题）（2024·广东佛山·高三南海中学校考期中）定义：设fx是fx的导

函数，fx是函数fx的导数.若方程fx0有实数解x0，则称点x0,fx0为函数

yfx的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像

5

的对称中心，已知函数fxax3bx2ab0的对称中心为1,1，则下列说法中正确

3

的有（）

1

A．a，b=-1

3

B．函数fx有三个零点

5

C．过3,可以作两条直线与yfx图像相切

3

D．若函数fx在区间t6,t上有最大值，则0t3

变式16．（多选题）（2024·安徽阜阳·高三安徽省太和中学校考竞赛）定义：设fx是fx

的导函数，fx是函数fx的导数，若方程fx0有实数解x0，则称点x0,fx0为

函数yfx的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数

5

图像的对称中心.已知函数f(x)ax3bx2(ab0)的对称中心为1,1，则下列说法中正

3

确的有（）

1

A．a，b=-1

3

12198199

B．ffff的值是199.

100100100100

C．函数fx有三个零点

1

D．过1,可以作三条直线与yfx图像相切

3

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题型六：三次函数的综合问题

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx3bx2cxd在,0上是增函数，

在0,2上是减函数，且方程fx0有3个实数根，它们分别是，，2，则22的

最小值是（）

A．5B．6C．1D．8

例17．（2024·陕西西安·高三西安中学校考期中）已知函数fxax3bx2cxda0，

fxgx，给出下列四个结论，分别是：①a0；②fx在R上单调；③fx有唯一

零点；④存在x0，使得gx00．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是（）

A．①B．②C．③D．④

例18．（2024·全国·高三专题练习）已知f(x)x36x29xabc，abc，且

fafbfc0，现给出如下结论：

①f(x)1；②f(x)3；③f0f10；

④f0f30；⑤abc4．

其中正确结论的序号是__．

变式17．（2024·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知

9

f(x)x3x26xabc,a＜b＜c,且f(a)f(b)f(c)0，现给出如下结论：

2

①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(2)＞0；④f(0)f(2)＜0.

其中正确结论的序号为（）

A．②③B．①④C．②④D．①③

变式18．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）函数yfx的图象关于坐标原点成中心对称

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图形的充要条件是函数yfx为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数yfx的

图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是函数yfxab为奇函数.已知函数

fxx3ax2bx1.

(1)若函数yfx的对称中心为(-1,2)，求函数yfx的解析式.

(2)由代数基本定理可以得到：任何一元n(nN*)次复系数多项式fx在复数集中可以分解

为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）.如设实

2

系数一元二次方程a2xa1xa00a20，在复数集内的根为x1，x2，则方程

22

a2xa1xa00可变形为a2xx1xx20，展开得：a2xa2x1x2xa2x1x20则有

a

1

x1x2

aaxxa2

1212，即，

aaxxa

0212xx0

12

a2

类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系，

333

①若a0，方程fxk在复数集内的根为x1、x2、x3，当k0,1时，求x1x2x3的最

大值；

111

②若a3，b2，函数yfx的零点分别为x1、x2、x3，求222的值.

x1x2x3

变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x3bx2cxd在(,0]上为增函数，

在0,6上为减函数，且方程fx0的三个根分别为1,x1,x2．

（1）求实数b的取值范围；

22

（2）求x14x1x2x2的取值范围．

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变式20．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）给出定义：设f(x)是函数yf(x)

的导函数，f(x)是函数yf(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称x0,fx0为

函数yf(x)的.“固点”.经研究发现所有的三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)都有“固

点”，且该“固点”也是函数yf(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问

题：已知函数f(x)x3(3a3)x2(6a9a2)x5a(aR).

(1)当a1时，试求yf(x)的对称中心.

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)当a2时，f(x)m有三个不相等的实数根x1x2x3，当x1x3取得最大值时，求m的

值.

题型七：三次函数恒成立问题

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知三次函数f(x)的导函数f'(x)3x23且f(0)1，

a

g(x)xlnx(a1)．

x

（1）求f(x)的极值；

（2）求证：对任意x1,x2(0,)，都有f(x1)g(x2)．

例20．（2024·全国·高三专题练习）设a为实数，函数fxx33x2a，gxxlnx.

(1)求fx的极值；

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1

(2)对于x1,3，x,e，都有fx1gx2，试求实数a的取值范围.

12e

例21．（2024·四川泸州·高三泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知三次函数

fxax3bx23xa,b,cR．

（1）若函数fx在点1,f1处的切线方程是y20，求函数fx的解析式；

（2）在（1）的条件下，若对于区间2,3上任意两个自变量的值x1，x2，都有

fx1fx2m，求出实数m的取值范围．