2025年高考数学必刷题分类：第50讲、外接球、内切球、棱切球（学生版）

第50讲外接球、内切球、棱切球

知识梳理

知识点一：正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3、补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．

PA

（3）正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长a，如图3所示．

2

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1图2图3图4

知识点二：正四面体外接球

2

如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为a，

2

236

显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为Raa，即正四

224

6

面体外接球半径为Ra．

4

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱

相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．

b2c2m2

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则a2c2n2，三式相加可得

222

abt

m2n2t2

a2b2c2,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则

2

m2n2t2

a2b2c24R2，所以R．

8

知识点四：直棱柱外接球

如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面

可以是任意三角形）

图1图2图3

第一步：确定球心O的位置，O1是ABC的外心，则OO1平面ABC；

11

第二步：算出小圆O的半径AOr，OOAAh（AAh也是圆柱的高）；

1112121

hh

第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2()2r2Rr2()2，解出R

1122

知识点五：直棱锥外接球

如图，PA平面ABC，求外接球半径．

解题步骤：

第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接

PD，则PD必过球心O；

第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O1的半径O1Dr(三角

abc1

形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2r)，OOPA；

sinAsinBsinC12

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①

(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；

②22222．

RrOO1RrOO1

知识点六：正棱锥与侧棱相等模型

r2h2

1、正棱锥外接球半径：R．

2h

2、侧棱相等模型：

如图，P的射影是ABC的外心

三棱锥PABC的三条侧棱相等

三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶

点．

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；

r2h2

第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2(hR)2r2，解出R．

112h

知识点七：侧棱为外接球直径模型

方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．

知识点八：共斜边拼接模型

如图，在四面体ABCD中，ABAD，CBCD，此四面体可以看成是由两个共斜边

的直角三角形拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O为

公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，

OAOCOBOD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等，故点O就是四面体ABCD

外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径．

知识点九：垂面模型

如图1所示为四面体PABC，已知平面PAB平面ABC，其外接球问题的步骤如下：

（）找出△和的外接圆圆心，分别记为和．

1PAB△ABCO1O2

（）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．

2O1O2PABABCO

（）过作的垂线，垂足记为，连接，则．

3O1ABDO2DO2DAB

（）在四棱锥中，垂直于平面，如图所示，底面四边形

4ADO1OO2ADDO1OO22

DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．

图1图2

知识点十：最值模型

这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等

知识点十一：二面角模型

如图1所示为四面体PABC，已知二面角PABC大小为，其外接球问题的步骤

如下：

△

（1）找出PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O1和O2．

（2）分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．

（3）过O1作AB的垂线，垂足记为D，连接O2D，则O2DAB．

（4）在四棱锥ADO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如图2所示，底面四边形

DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．

知识点十二：坐标法

对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x,y,z)，利用

球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，

使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的

难度．

知识点十三：圆锥圆柱圆台模型

1、球内接圆锥

如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．通常在△OCB中，由勾股

定理建立方程来计算R．如图2，当PCCB时，球心在圆锥内部；如图3，当PCCB时，

球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的

方程是一样的，故无需提前判断．

h2r2

由图2、图3可知，OChR或Rh，故(hR)2r2R2，所以R．

2h

2、球内接圆柱

h

如图，圆柱的底面圆半径为r，高为h，其外接球的半径为R，三者之间满足()r2R2．

2

3、球内接圆台

2

r2r2h2

2221，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．

Rr2r1,r2,h

2h

知识点十四：锥体内切球

3V

方法：等体积法，即R体积

S表面积

知识点十五：棱切球

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

必考题型全归纳

题型一：外接球之正方体、长方体模型

例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为

例2．（2024·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为3，

则球的表面积为．

例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球O表面上，长方体中从一个顶点

出发的三条棱长分别为2，3，4则球O的表面积是

变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面

积为25，AB3，AD6，则长方体ABCDA1B1C1D1的体积为.

变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，BC23，

BB14，则长方体外接球的表面积为．

题型二：外接球之正四面体模型

例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为23，

且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为．

例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，

则该正四面体的棱长是．

例6．（2024·全国·高三专题练习）棱长为2的正四面体的外接球体积为.

变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体PBDE和边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1

有公共顶点B，D，则该正四面体PBDE的外接球的体积为.

变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体PABC中，其侧面积与

底面积之差为23，则该正四面体外接球的体积为.

题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型

例7．（2024·高一单元测试）在四面体ABCD中，若ABCD3，ACBD2，

ADBC5，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）

A．2B．4C．6D．8

例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，ABCD25，

ACBD29，ADBC41，则四面体ABCD外接球的体积为（）

155π455π

A．45πB．C．D．245π

22

例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥SABC中，SABC5，SBAC41，

SCAB34，则该三棱锥的外接球表面积是（）

A．50πB．100πC．150πD．200π

变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥PABC中，PABC3，PBAC2，

PCAB5，则三棱锥PABC外接球的体积为（）

A．2B．3C．6D．6

题型四：外接球之直棱柱模型

例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正

六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．

例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱

-

ABCA1B1C1的所有顶点都在一个表面积是40的球面上，且ABACAA1,BAC120，

则此直三棱柱的表面积是（）

A．1683B．8123C．8163D．16123

-

例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，

若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）

A．12πB．24πC．48πD．96π

变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为

33，则其外接球表面积的最小值为（）

A．12πB．6πC．16πD．8π

-

变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱ABCA1B1C1中，已知BCAB1,BCC190，

25

AB侧面BB1C1C，且直线C1B与底面ABC所成角的正弦值为,则此三棱柱的外接球的

5

表面积为（）

A．3B．4C．5D．6

变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为6，则此

三棱柱外接球的表面积为（）

A．48πB．60πC．64πD．84π

题型五：外接球之直棱锥模型

例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥PABC中，△ABC是边长为3的等边三

角形，侧棱PA⊥平面ABC，且PA4，则三棱锥PABC的外接球表面积为．

例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥PABC中，PA面ABC，ABC为等边

三角形，且PAAB3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为．

例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥PABC，其中PA平面

ABC,BAC120,PAABAC2，则三棱锥PABC外接球的表面积为.

变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥DABC中，ABC为等边三角

形，DC平面ABC，若ACCD6，则三棱锥DABC外接球的表面积的最小值为.

变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，

2

ABBCCA2，异面直线SC与AB所成角的余弦值为，则三棱锥SABC的外接球

4

的表面积为．

变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，

底面ABCD为菱形，PD底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD3，

π

APDBAD，则三棱锥PAOD的外接球的体积为.

3

变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥ABCDE中，AB平面BCDE，

BCCD，BEDE，CBE120，且ABBCBE2，则该四棱锥的外接球的表面

积为.

变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥PABC中,PA平面

π

ABC,PA4,BAC,BC3,则三棱锥PABC外接球的体积是．

3

题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型

例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥PABCD的底面边长为32，侧棱长

为6，则该四棱锥的外接球的体积为．

例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥P﹣ABC的顶点都

π

在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且PA23，则球O的表面积为

3

例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥PABC中，点

D在棱PA上，且满足PD2DA，CDPB，若AB32，则三棱锥PBCD外接球的表

面积为.

变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥PABC的侧棱与底面所成的角为

60，高为43，则该三棱锥外接球的表面积为.

变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥PABC

中，PA1，AB2，该三棱锥的外接球体积为．

变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台

--

ABCA1B1C1中，AB23，A1B16，AA142，则正三棱台ABCA1B1C1的外接球表面

积为（）

256π64π

A．64B．64πC．D．

33

变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶

点在同一球面上，则球的表面积为（）

A．32πB．33πC．34πD．35π

变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥PABCD的底面边长为6，

侧棱长为62，则该四棱锥外接球的表面积为．

变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥PABCD中，

256

2PA5AB，若四棱锥PABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为．

3

变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B1，

AA13．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）

3357

A．B．33C．D．57

22

题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型

例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥PABC中，PAPBPC23，

π

AB2AC6，BAC，则该三棱锥外接球的表面积为．

3

例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥SABC中，

SASBCACBAB2，二面角SABC的大小为60，则三棱锥SABC的外接球

的表面积为．

例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥PABC的各侧棱长均为23，

且AB3,BC3,AC23，则三棱锥PABC的外接球的表面积为.

变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P-ABC的四个顶

点在球O的球面上，PAPBPC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB

的中点，CEF90，则球O的体积为.

变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥SABC中，SASBSCAB2，

ACBC，则该三棱锥外接球的体积为

323433216

A．B．C．D．

27933

变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥ABCD中，ABBCACCD2，

BCD120，二面角ABCD的大小为120，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）

8280244

A．B．C．27D．

339

变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体ABCD中，ABACBCBDCD2，

AD6，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）

1620

A．B．5C．20sD．

33

题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型

例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥

的外接球的体积为.

例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，

侧面积为8，该圆锥内接于球O，则球O的表面积为.

例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直

径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.

变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的

500π

半径分别为3和4，球的体积为，则该圆台的侧面积为（）

3

A．60πB．75πC．35πD．352π

变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母

线长为52，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（）

250500100125

A．πB．πC．πD．π

3333

变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面

的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）

175π238π259π

A．B．75πC．D．

333

题型九：外接球之垂面模型

例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥ABCD中，平面ACD平面BCD，

ACD是边长为2的等边三角形，BDCD，BDC120.若A，B，C，D四点在某个球

面上，则该球体的表面积为.

例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正ABC边长为1，将ABC绕BC旋转至△DBC，

使得平面ABC平面BCD，则三棱锥DABC的外接球表面积为．

例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥PABC中，平面ABC平面

PAB,ACBC，点D是AB的中点，PDPB,PBPD2，则三棱锥PABC的外接球的

表面积为.

变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1ABBC．设

9

D为AC的中点，三棱锥DABC的体积为，平面A1BC平面ABBA，则三棱柱

1411

ABC-A1B1C1外接球的表面积为．

变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥PABC中,平面PAB平

面ABC,AB6,BC4,ABBC,PAB为等边三角形,则三棱锥PABC外接球的表面积

为．

变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD中，

π

ADBABC,BDBC4，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB平面BDC，

2

连接AC，得到三棱锥ABCD，则三棱锥ABCD外接球表面积的最小值为.

变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，

PAPB，且PAPB32，ABC是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．

4

变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形ABCD中，ABBC8，现沿

3

AC折起，使得平面ABC平面ADC，连接BD，得到三棱锥BACD，则其外接球的体

积为．

变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，

底面ABC是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π，则该三棱锥体积的

最大值为.

变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥PABC中，PAPCBABC2，平面

PAC平面ABC，则三棱锥PABC的外接球表面积的最小值为．

变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形ABCD中，

ADB90,ABC90,BDBC2，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB平面

BDC，得到三棱锥ABCD，则三棱锥ABCD外接球表面积的最小值为.

题型十：外接球之二面角模型

例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥DABC中，ABBC2，ADC90，

二面角DACB的平面角为30，则三棱锥DABC外接球表面积的最小值为（）

A．16231B．16233

C．16231D．16233

例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC中，PAPB，ABC是边长为2

的等边三角形，若二面角P-AB-C的大小为120，则四面体PABC的外接球的表面积为

（）

13π26π52π104π

A．B．C．D．

9999

例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥SABCD,SA平面

π

ABCD,ADDC,SA33,BC4，二面角SBCA的大小为.若点S,A,B,C,D均在球

3

O的表面上，则该球O的表面积为（）

152π160π

A．B．52πC．D．54π

33

变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体ABCD中，ABC与△BCD都

是边长为6的等边三角形，且二面角ABCD的大小为60，则四面体ABCD外接球的表

面积是（）

A．52πB．54πC．56πD．60π

变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角

三角形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条

直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，

使得点D到达点M的位置，得到三棱锥MABC，如图2．若二面角MACB的大小为

2

，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为（）

3

72142742

A．aB．4a2C．aD．a2

3327

变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在PBC中，PABC，AMPB，BC6，

PA4，沿PA将PAB折起，使得二面角BPAC为60°，得到三棱锥PABC，如图2，

若AMPC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）

A．32πB．36πC．64πD．80π

变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥DABC的所有顶点都在球O的球面上，

ADBD,ACBC,DABCBA30，二面角DABC的大小为60，若球O的表面

积等于36π，则三棱锥DABC的体积等于（）

273

A．3B．

8

27

C．7D．

3

变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥ABCD中，

ABBC,BCCD,CD2AB2BC4，二面角ABCD为60，则三棱锥ABCD外接

球的表面积为（）

A．16πB．24πC．18πD．20π

题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型

例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O

的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC

8

的体积为，则球O的体积为（）

3

2032

A．4B．C．6D．

33

1

例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥SABC的体积为，ACBC1，

2

ACB120，若SC是其外接球的直径，则球的表面积为（）

A．4B．6C．8D．16

例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥SABC的所有顶点

都在球O的球面上,SA为球的直径,ABC是边长为2的等边三角形,三棱锥SABC的体积

22

为,则球的表面积为()

3

82128

A．8B．C．16D．

33

变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥SABC各顶点均在球O上，SB为球O的直

2

径，若ABBC2，ABC，三棱锥SABC的体积为4，则球O的表面积为

3

A．120B．64πC．32D．16

变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥SABC的四个顶点都在球面上，SA是球的直

径，ACAB，BCSBSC2，则该球的表面积为()

A．4πB．6πC．9πD．12π

变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面

上，PC是球O的直径.若平面PCA平面PCB，PAAC，PBBC，三棱锥PABC的

体积为a，则球O的体积为

24

A．2aB．4aC．aD．a

33

变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥SABC的各顶点均在球O上，SC为该球

1

的直径，ACBC1,ACB120，三棱锥SABC的体积为，则球的表面积为

2

A．4B．6C．8D．16

变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为

16

该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则该三棱锥

3

的外接球的表面积为（）

16406480

A．B．C．D．

3333

变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知SC是球O的直径，A,B是球O

球面上的两点，且CACB1,AB3，若三棱锥SABC的体积为1，则球O的表面积为

A．4B．13C．16D．52

题型十二：外接球之共斜边拼接模型

例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，PB底

面ABCD，O是对角线AC与BD的交点，若PB1，APB，则三棱锥PBOC的外

3

接球的体积为（）

245

A．B．C．D．2

333

例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥PABC中，PA1，PB3，PC5，

AB22，CACB2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）

1428

A．B．C．9D．12

33

例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥ASBC中，

AB10,ASCBSC,ACAS,BCBS若该三棱锥的体积为15，则三棱锥

43

ASBC外球的体积为（）

A．B．C．5D．43

3

变式47．在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角

BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）

125125125125

A．B．C．D．

12963

变式48．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC，ABBC，

则三棱锥PABC的外接球的半径为

题型十三：外接球之坐标法模型

例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系Oxyz中，

A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,5),D(2,3,5),则四面体ABCD外接球体积是（）

108

A．25B．36C．D．288

3

例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长

为2（单位：m）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植

箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为m2

例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥ABCD中，

2

ADAB,ABAD2,ACD为等边三角形，三棱锥ABCD的体积为，则三棱锥

3

ABCD外接球的表面积为.

变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在RtABC中，C，ACBC2，D，

2

E分别为AC，AB的中点，将VADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1DCD，如图②.

若F是A1B的中点，则四面体FCDE的外接球体积是（）

222

A．2B．C．D．

3612

变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知

四棱锥EABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，AE面ABCD，EQ2QD，EP2PB，

1

ERRC，若RPRQ6，则四棱锥EABCD外接球表面积为（）

2

A．44B．54C．176D．216

变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中ABCDA1B1C1D1中，ABAA11，AD＝

2，M是棱B1C1的中点，过点B，M，D1的平面交棱AD于点N，点P为线段D1N上一动

点，则三棱锥PBB1M外接球表面积的最小值为．

变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，

F分别为棱A1D1､AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则三棱锥A1EFG的外接球

表面积的最小值为.

变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱

长为2，点P是线段B1D1上的动点，则三棱锥PABC