2025年高考数学必刷题分类：第52讲、立体几何中的轨迹问题（学生版）

第52讲立体几何中的轨迹问题

知识梳理

立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：

1、定义法

2、交轨法

3、几何法

4、坐标法

5、向量法

必考题型全归纳

题型一：由动点保持平行求轨迹

例1．（2024·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体ABCDA1B1C1D1的

棱长为1，点E是棱A1B1的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

3

①如果AMBD1，则点M的轨迹所围成图形的面积为；

2

35

②如果B1M∥平面AEC1，则点M的轨迹所围成图形的周长为；

2

③如果EM∥平面D1B1BD，则点M的轨迹所围成图形的周长为22；

33

④如果EMBD1，则点M的轨迹所围成图形的面积为．

4

其中正确的命题个数为（）

A．1B．2C．3D．4

例2．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，

E在棱DD1上且满足D1EED，点F是侧面ABB1A1上的动点，且D1F//面AEC，则动点F

在侧面ABB1A1上的轨迹长度为．

例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体

ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面BCC1B1内（包括边界）一动

点，且D1P∥平面EFG，则P点的轨迹长度为

变式1．（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱

-

柱ABCA1B1C1中，ABAA1，D，E分别为AA1，AC的中点．若侧面BB1C1C的中心为O，

M为侧面AA1C1C内的一个动点，OM//平面BDE，且M的轨迹长度为32，则三棱柱

ABC-A1B1C1的表面积为．

变式2．（2024·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是

线段DD1的中点，点M是正方形B1BCC1所在平面内一动点，若D1M//平面A1BE，则M点

轨迹在正方形B1BCC1内的长度为.

变式3．（2024·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，

点E，F分别在线段DD1和线段AA1上，且D1E2ED，AF2FA1，点M是正方形B1BCC1

所在平面内一动点，若D1M//平面FBE，则M点的轨迹在正方形B1BCC1内的长度为.

变式4．（2024·全国·高三专题练习）在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是该正

方体表面及其内部的一动点，且BM//平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积

是．

变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E､F分

别是棱AA1,A1D1的中点，点P为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线D1P与

平面BEF无公共点，则点P在四边形ABCD内运动所形成轨迹的长度为.

变式6．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E､F分

别为AA1，AB的中点，点P是正方体表面上的动点，若C1P平面CD1EF，则点P在正方

体表面上运动所形成的轨迹长度为．

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知棱长为3的正四面体ABCD，E为AD的中点，动

点P满足PA2PD，平面经过点D，且平面//平面BCE，则平面截点P的轨迹所形

成的图形的周长为.

题型二：由动点保持垂直求轨迹

例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，

点P、Q分别是BD1，B1C1的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点

M所构成的轨迹的周长为.

例5．（2024·湖南长沙·长郡中学校考二模）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨

AB1AA14EDD1PC1PB1EP

迹的长为.

例6．（2024·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知N为正方体ABCDA1B1C1D1的内

85π

切球球面上的动点，M为B1C1的中点，DNMB，若动点N的轨迹长度为，则正方

5

体的体积是.

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为4，空间内

的点H满足HAHA1，且HBHC1，则满足条件的H所形成曲线的轨迹的长度为.

变式9．（2024·四川成都·三模）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一

π

点，已知AOC，OA2，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足BCCD0，

3

则点D的轨迹所围成图形的面积为．

变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆

π

周上一点，已知AOC,OA2，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足

3

BCAD，则点D的轨迹所围成图形的面积为．

变式11．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

BCCC13，AC4，ACBC，动点P在△A1B1C1内（包括边界上），且始终满足BPAB1，

则动点P的轨迹长度是.

变式12．（2024·山东枣庄·高一统考期末）M，N分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1

的棱CC1,A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，总有MPBN，则点P的轨迹所围成

图形的面积为.

变式13．（2024·四川广元·高二广元中学校考期中）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C

是下底面圆周上一点，已知AOC，OA2，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，

2

且满足BCAD，则点D的轨迹所围成图形的面积为．

变式14．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，

点M是棱B1C1的中点，点P是正方体表面上的动点．若DMC1P，则P点在正方体表面上

运动所形成的轨迹的长度为（）

A．25B．225

C．225D．2225

题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹

例7．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，

5

点Q为侧面BB1C1C内一动点（含边界），若DQ，则点Q的轨迹长度为．

12

例8．（2024·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体ABCDA1B1C1D1

V

的棱长为3，动点P在AB1C内，满足D1P14，则点P的轨迹长度为.

例9．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体ABCDABCD的

棱长为1，点P在该正方体的表面ABCD上运动，且PA2则点P的轨迹长度

是．

变式15．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点P在

该正方体的表面上运动，且PA42，则点P的轨迹长度是．

变式16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且AMB

为等边三角形，空间中的动点P满足PA2PB，当点P在AMB所在的平面内运动时，

点P的轨迹是；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为.

变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为16，E是棱BC

的中点，P是侧棱AA1上的动点，直线C1P交平面EB1D1于点P，则动点P的轨迹长度的最

小值为．

变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知棱长为8的正方体ABCDA1B1C1D中，平面ABCD

1

内一点E满足BECB，点P为正方体表面一动点，且满足PE22，则动点P运动的

4

轨迹周长为．

变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是

正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹

长度为．

变式20．（2024·河南许昌·高三统考阶段练习）三棱锥PABC的体积为43，底面三角形

ABC是边长为23的正三角形且其中心为O1，三棱锥PABC的外接球球心O到底面ABC

的距离为2，则点P的轨迹长度为.

变式21．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥PABC中，PAAB,PA4,PC2,AB3，

二面角P-AB-C的大小为30，在侧面PAB内(含边界)有一动点M，满足到PA的距离与

到平面ABC的距离相等，则动点M的轨迹的长度为．

题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹

例10．（2024·山东·高三专题练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DEAB，

DC8，DE6.沿着DE将VADE折起，使A到达点A的位置，且平面ADE平面ADE.

设P为ADE内的动点，若EPBDPC，则P的轨迹的长度为.

例11．（2024·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是线段BC

的中点，P是正方形DCC1D1（包括边界）上运动，且满足APDMPC，则P点的轨迹

周长为.

例12．（2024·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，

M为棱B1C1的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角

π

为，则动点N的轨迹的长度为．

3

变式22．（2024·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1的

棱长为2，点E为平面A1BD内的动点，设直线AE与平面A1BD所成的角为，若

310

sin，则点E的轨迹所围成的周长为．

10

变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知点P是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的表面

上一个动点，若使AP2的点P的轨迹长度为a；使直线AP∥平面BDC的点P的轨迹长

度为b；使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小

关系为．（用“＜”符号连接）

变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，AB23，点E为平

25

面A1BD内的动点，设直线AE与平面A1BD所成的角为，若sin，则点E的轨迹

5

所围成的面积为．

变式25．（2024·山西大同·高一统考期中）已知A,B,C,P是半径为2的球面上的四点，且

π

AB=AC=2,AB^AC．二面角PBCA的大小为，则点P形成的轨迹长度为．

4

变式26．（2024·贵州铜仁·高二统考期末）粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的

粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的

还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又

不失饱满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥PABC，其侧棱和底面

边长分别是8cm和6cm，O是顶点P在底面ABC上的射影．若D是底面ABC内的动点，且

239

直线PD与底面ABC所成角的正切值为，则动点D的轨迹长为．

3

变式27．（2024·广东佛山·高二校联考期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点

P为正方形A1B1C1D1内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60的点P的轨迹长

度为（）

333

A．B．πC．3D．π

362

变式28．在正方体ABCDA1B1C1D1中，动点M在底面ABCD内运动且满足DD1ADD1M，

则动点M在底面ABCD内的轨迹为（）

A．圆的一部分B．椭圆的一部分

C．双曲线一支的一部分D．前三个答案都不对

题型五：投影求轨迹

例13．（2024·安徽滁州·高三校考阶段练习）如图，在ABC中，ABC90，AB1，BC2，

D为线段BC（端点除外）上一动点.现将△ABD沿线段AD折起至VABD，使二面角

BADC的大小为120°，则在点D的移动过程中，下列说法错误的是（）

A．不存在点D，使得CBAB

B．点B在平面ABC上的投影轨迹是一段圆弧

10

C．BA与平面ABC所成角的余弦值的取值范围是,1

5

D．线段CB的最小值是3

例14．（2024·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）如图，在等腰RtABC中，

ABAC，BC2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段BM上一个动点（异于

两端点），ABD沿AD翻折至B1DDC，点A在平面B1CD上的投影为点O，当点D在线

段BM上运动时，以下说法不正确的是（）．

A．线段NO为定长B．AMOB1DA180

C．CO(1,2)D．点O的轨迹是圆弧

例15．（2024·江西赣州·高二南康中学校考阶段练习）在等腰直角ABC中，ABAC，BC2，

M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，ABD沿AD翻折使BDDC，点

A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是()

A．线段NO为定长B．AMOADB180

C．线段CO的长CO1,2D．点O的轨迹是圆弧

变式29．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O，

在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触

点为E，OE3．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率e．

变式30．（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在ABC中，AB7，AC10，

BC3.过AC的中点M的动直线l与线段AB交于点N.将AMN沿直线l向上翻折至

△AMN，使得点A在平面BCMN内的投影H落在线段BC上.则点A的轨迹长度

为.

变式31．（2024·北京·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC3，E为线

段BC上一动点，现将ABE沿AE折起得到ABE，当二面角BAED的平面角为120，

点B在平面ABC上的投影为K，当E从B运动到C，则点K所形成轨迹的长度为.

题型六：翻折与动点求轨迹

例16．（2024·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，E是AB的中点，AD1,AB2，将

VADE沿DE折起得到ADE，设AC的中点为M，若将ADE绕DE旋转90，则在此过

程中动点M形成的轨迹长度为.

例17．（2024·全国·高三专题练习）矩形ABCD中，AB2,AD3，E为AB中点，将△

ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在0，范围内变化时，点A'的轨迹

长度为

例18．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，

DEAB，DC8，DE6.沿着DE将VADE折起，使A到达点A的位置，且平面ADE

平面BCDE.若点P为ADE内的动点，且满足EPBDPC，则点P的轨迹的长度

为.

变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，ABC60.将菱形沿对

角线AC折叠成大小为60°的二面角BACD.设E为BC的中点，F为三棱锥BACD表

面上动点，且总满足ACEF，则点F轨迹的长度为.

变式33．（2024·江苏连云港·高二校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB3，AD1，点

E在CD上，现将△AED沿AE折起，使面AED面ABC，当E从D运动到C，求点D在

面ABC上的射影K的轨迹长度为（）

222ππ

A．B．C．D．

2323

变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的各边长为2,D60．如图所示，

将ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥SABC，此时

SB3．E是线段SA的中点，点F在三棱锥SABC的外接球上运动，且始终保持EFAC，

则点F的轨迹的周长为（）

2