2025年高考数学必刷题分类：第19讲、原函数与导函数混合还原（学生版）

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第19讲原函数与导函数混合还原

知识梳理

1、对于xf(x)f(x)0(0)，构造g(x)xf(x)，

2、对于xf(x)kf(x)0(0)，构造g(x)xkf(x)

f(x)

3、对于xf(x)f(x)0(0)，构造g(x)，

x

f(x)

4、对于xf(x)kf(x)0(0)，构造g(x)

xk

5、对于f(x)f(x)0(0)，构造g(x)exf(x)，

6、对于f(x)kf(x)0(0)，构造g(x)ekxf(x)

f(x)

7、对于f(x)f(x)0(0)，构造g(x)，

ex

f(x)

8、对于f(x)kf(x)0(0)，构造g(x)

ebx

9、对于sinxf(x)cosxf(x)0(0)，构造g(x)f(x)sinx，

f(x)

10、对于sinxf(x)cosxf(x)0(0)，构造g(x)

sinx

11、对于cosxf(x)sinxf(x)0(0)，构造g(x)f(x)cosx，

f(x)

12、对于cosxf(x)sinxf(x)0(0)，构造g(x)

cosx

13、对于f(x)f(x)k(0)，构造g(x)ex[f(x)k]

f(x)

14、对于f(x)lnx0(0)，构造g(x)lnxf(x)

x

15、f(x)c[f(x)cx]；f(x)g(x)[f(x)g(x)]；f(x)g(x)[f(x)g(x)]；

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)

16、f(x)g(x)f(x)g(x)[f(x)g(x)]；[]．

g2(x)g(x)

必考题型全归纳

题型一：利用xnf(x)构造型

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例1．（安徽省马鞍山第二中学2024学年高三上学期10月段考数学试题）已知f(x)的定义

域为(0,+¥)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)xf(x)，则不等式

fx1x1fx21的解集是（）

A．(0,1)B．(2,+¥)C．(1,2)D．(1,+¥)

例2．（河南省温县第一高级中学2024学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数fx

的定义域为0,，且满足fxxfx0（f¢(x)是fx的导函数），则不等式

x1fx21fx1的解集为（）

A．,2B．1,C．(1,2)D．(-1,2)

例3．（黑龙江省大庆实验中学2024届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知

函数fx的定义域为0,，fx为函数fx的导函数，若x2fxxfx1，f10，

则不等式f2x3的解集为（）

A．0,2B．log23,2C．log23,D．2,

变式1．（2024届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在R上的偶函数

xfxfx

yfx的导函数为yfx，当x0时，0，且f21，则不等式

x

2

f2x1的解集为（）

2x1

133

A．,,B．,

222

131113

C．,D．,,

222222

变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在0,

33

上的函数fx满足2xfx+x2fx<0，f2，则关于x的不等式fx的解集为

4x2

（）

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A．0,4B．2,C．4,D．0,2

变式3．（河南省豫北重点高中2024学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函

数fx的定义域为0,，其导函数是fx，且2fxxfxx．若f21，则不

4

等式3fxx0的解集是（）

x2

A．0,2B．2,

22

C．0,D．,

33

变式4．（广西15所名校大联考2024届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已

知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f(x),f(1)4，且3f(x)xf(x)3，则不等

3

式f(x)1的解集为（）

x3

A．(,1)(1,)B．(1,0)(0,1)C．(0,1)D．(1,)

【解题方法总结】

1、对于xf(x)f(x)0(0)，构造g(x)xf(x)，

2、对于xf(x)kf(x)0(0)，构造g(x)xkf(x)

题型二：利用f(x)构造型

xn

例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2024学年高三上学期9月月考数学试题）已知定义

在(0,+¥)的函数fx满足：x0,,fxxfx0，其中f¢(x)为fx的导函数，

则不等式(2x3)f(x1)(x1)f2x3的解集为（）

3

A．,4B．4,

2

C．1,4D．,4

例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，

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fx

若g(x)＝，则不等式g(x)<g(1)的解集是（）

x2

A．(－∞，1)B．(－1,1)

C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)

例6．（江苏省苏州市2024届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数fx是定义在R上

的奇函数，f20，当x0时，有xfxfx0成立，则不等式xfx0的解集是

（）

A．，22，B．2，02，

C．，20，2D．2，

变式5．（西藏昌都市第四高级中学2024届高三一模数学试题）已知函数fx是定义在

(-ト，0)(0，+)的奇函数，当x0，时，xfxfx，则不等式

5f2x+x2f5<0的解集为（）

A．，33，B．3，00，3

C．3，00，7D．，32，7

【解题方法总结】

f(x)

1、对于xf(x)f(x)0(0)，构造g(x)，

x

f(x)

2、对于xf(x)kf(x)0(0)，构造g(x)

xk

题型三：利用enxf(x)构造型

例7．（河南省2024学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数fx

满足fxfx0，且有f33，则fx3e3x的解集为（）

A．3,B．1,C．,3D．,1

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例8．（河南省2024学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在R上的函数fx满

111x

足fxfx0，且有f1，则2的解集为（）

222fxe

A．,2B．1,

C．,1D．2,

例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2024届高三模拟仿真数学试题）已知fx是

函数yfxxR的导函数，对于任意的xR都有fxfx1，且f02023，

则不等式exfxex2022的解集是（）

A．2022,B．,02023,

C．,0U0,D．0,

变式6．（宁夏吴忠市2024届高三一轮联考数学试题）函数fx的定义域是R，f02，

对任意xR，fxfx1，则不等式：exfxex1的解集为（）

A．xx0B．xx0

C．xx1或x1D．xx1或0x1

【解题方法总结】

1、对于f(x)f(x)0(0)，构造g(x)exf(x)，

2、对于f(x)kf(x)0(0)，构造g(x)ekxf(x)

题型四：用f(x)构造型

enx

例10．（安徽省六安市第一中学2024学年高二下学期期末数学试题）定义在(2,2)上的函数

f(x)的导函数为fx，满足：fxe4xfx0，f1e2，且当x0时，f(x)2f(x)，

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则不等式e2xf(2x)e4的解集为（）

A．(1,4)B．(2,1)C．(1,)D．(0,1)

例11．（广东省汕头市2024届高三三模数学试题）已知定义在R上的函数f(x)的导函数为

1

f'(x)，且满足f'(x)f(x)0，f(2021)e2021，则不等式flnxex的解集为（）

e

A．e2021,B．0,e2021C．e2021e,D．0,e2021e

例12．（陕西省安康市2024届高三下学期4月三模数学试题）已知函数fx的定义域为R，

且对任意xR，fxfx0恒成立，则exfx1e4f2x3的解集是（）

A．4,B．1,4

C．,3D．,4

变式7．（新疆克拉玛依市2024届高三三模数学试题）定义在R上的函数f(x)的导函数为

11

f(x)，f(1)，对于任意的实数x均有ln3f(x)f(x)成立，且yf(x)1的图像关

32

1

于点（，1）对称，则不等式f(x)3x20的解集为（）

2

A．（1，+∞）B．（1，+∞）C．（∞，1）D．（∞，1）

变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R

上的函数f(x)的导函数为f(x)，且满足fxfx,f2022e2022，则不等式

13

flnxx的解集为（）

3

A．0,e6066B．0,e2022

C．e2022,D．e6066,

变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2024学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）

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1

设fx是函数fx的导函数，且fx3fxxR，fe（e为自然对数的底数），

3

则不等式flnxx3的解集为（）

11

A．0,B．,C．(0,3e)D．(3e,)

33

变式10．（四川省绵阳市南山中学2024学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在R上

的可导函数fx的导函数为fx，满足fxfx，且fxf2x，f21，

则不等式fxex的解集为（）

A．,2B．2,C．1,D．0,

变式11．（山东省烟台市2024届高三二模数学试题）已知函数fx的定义域为R，其导函

1

数为fx，且满足fxfxex，f00，则不等式e2x1fxe的解集为

e

（）．

11

A．1,B．,e

ee

C．1,1D．1,e

变式12．（江西省九江十校2024届高三第二次联考数学试题）设函数f(x)的定义域为R，

其导函数为fx，且满足f(x)f(x)1，f(0)2023，则不等式exf(x)ex2022（其

中e为自然对数的底数）的解集是（）

A．(2022,)B．(,2023)C．(0,2022)D．(,0)

【解题方法总结】

f(x)

1、对于f(x)f(x)0(0)，构造g(x)，

ex

f(x)

2、对于f(x)kf(x)0(0)，构造g(x)

ebx

题型五：利用sinx、tanx与f(x)构造型

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ππ

例13．（江西省2024届高三教学质量监测数学试题）定义在区间,上的可导函数fx

22

π

关于y轴对称，当x0,时，fxcosxfxsinx恒成立，则不等式

2

π

fx

2的解集为（）

fx0

tanx

πππππππ

A．,B．,C．,D．0,

4443422

例14．（天津市南开中学2024届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数fx是定义在

πππ

,上的奇函数．当x0,时，fxfxtanx0，则不等式

222

π

cosxfxsinxfx0的解集为（）

2

ππππππ

A．,B．,0C．,D．,0

266244

例15．函数yf(x)对任意的x,满足x2f(x)f(x)sin2xex1(其中f(x)是函

22

数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是（）

A．f3fB．3f3f

4364

5

C．23ffD．3f23f

124312

πππ

变式13．已知可导函数fx是定义在,上的奇函数．当x0,时，

222

π

fxfxtanx0，则不等式cosxfxsinxfx0的解集为（）

2

ππππππ

A．,B．,0C．,D．,0

266244

【解题方法总结】

1、对于sinxf(x)cosxf(x)0(0)，构造g(x)f(x)sinx，

f(x)

2、对于sinxf(x)cosxf(x)0(0)，构造g(x)

sinx

3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型

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题型六：利用cosx与f(x)构造型

ππ

例16．（重庆市九龙坡区2024届高三二模数学试题）已知偶函数fx的定义域为,，

22

π

其导函数为fx，当0x时，有fxcosxfxsinx0成立，则关于x的不等式

2

π

fx2fcosx的解集为（）

3

ππππ

A．,B．,

3332

πππππππ

C．,,D．,0,

2332332

例17．已知偶函数f(x)的定义域为,，其导函数为f(x)，当0x时，有

222

f(x)cosxf(x)sinx0成立，则关于x的不等式f(x)2fcosx的解集为（）

4

A．,B．,,

422442

C．,00,D．,0,

44442

例18．设函数fx在R上存在导数fx，对任意的xR，有fxfx2cosx，且

在0,上有fxsinx，则不等式fxfxcosxsinx的解集是（）

2

A．,B．,C．,D．,

4466

【解题方法总结】

1、对于cosxf(x)sinxf(x)0(0)，构造g(x)f(x)cosx，

f(x)

2、对于cosxf(x)sinxf(x)0(0)，构造g(x)

cosx

3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型

题型七：复杂型：en与af(x)bg(x)等构造型

例19．（广西柳州市2024届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数f(x)的导函

数为f(x)，若对任意的xR，都有f(x)f(x)1．且f(x)2022为奇函数，则不等式

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f(x)2021ex1的解集为（）

A．,0B．0,C．,eD．e,

例20．（河南省多校联盟2024届高考终极押题（C卷）数学试题）已知函数fx的导函数

为fx，若对任意的xR，都有fxfx2，且f12022，则不等式

fx2020ex12的解集为（）

1

A．0,B．,C．1,D．,1

e

例21．（2024届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数fx与gx定义域都为

x1gx

R，满足fx，且有gxxgxxgx0，g12e，则不等式fx4

ex

的解集为（）

A．1,4B．0,2C．,2D．1,

变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题）已

知定义在(3,3)上的函数f(x)满足f(x)e4xf(x)0,f(1)e2,f(x)为f(x)的导函数，当

x[0,3)时，f(x)2f(x)，则不等式e2xf(2x)e4的解集为（）

A．(2,1)B．(1,5)C．(1,)D．(0,1)

变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三上学期期中考试数学试题）设函数f(x)

在R上的导函数为f(x)，若f(x)f(x)1，f(x)f(6x)2，f(6)5，则不等式

f(x)2ex10的解集为（）

A．(,0)B．(0,)C．(0,3)D．(3,6)

变式16．（新疆新源县第二中学2024学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R上的函

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数f(x)满足：fxf'x1，f04，则不等式exfxex3的解集为（）

A．(0,+¥)B．(－,0)3,

C．(－,0)0,D．3,

变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2024届高三下学期第十二次适应性考试数

学试题）定义在R上的函数fx满足fx2fx80，且f02，则不等式

fx2e2x4的解集为（）

A．0,2B．0,C．0,4D．4,

【解题方法总结】

对于f(x)f(x)k(0)，构造g(x)ex[f(x)k]

题型八：复杂型：(kxb)与f(x)型

例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常考

点专题突破）已知定义在R上的函数fx满足f2xf2x，且当x2时，有

1

xfxfx2fx,若f11，则不等式fx的解集是（）

x2

A．(2,3)B．,1

C．1,22,3D．,13,

例23．（辽宁省实验中学2024届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数fx是定义在R

上的可导函数，其导函数为fx，若对任意xR有fx1，f1xf1x0，且

f02，则不等式fx1x1的解集为（）

A．4,B．3,

C．2,D．0,

[在此处键入]

[在此处键入]

例24．（山东省泰安肥城市2024届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义在

(1，+¥)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)x22x对任意x(1,)恒成

立.若f(2)3，则不等式f(x)x2x1的解集为（）

A．1,2B．2，

C．1,3D．3，

【解题方法总结】

写出ykxb与yf(x)的加、减、乘、除各种形式

题型九：复杂型：与ln(kxb)结合型

例25．（2024届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数fx的定义域为0,，导函

数为fx，且满足fxxfxlnx0，则不等式fx2020lnx20200的解集为（）

A．,20202021,B．0,2021

C．2020,2021D．2021,2022

例26．（华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数fx的定

义域为R，图象关于原点对称，其导函数为fx，若当x0时fxxlnxfx0，则

不等式4|x|fx4fx的解集为（）

A．,10,B．1,00,

C．,10,1D．1,01,

例27．（2024届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知fx是定义在R上的奇函数，

¢1fx

f(x)是fx的导函数，f0，且fxln2x0，则不等式

2x

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x2x2fx0的解集是（）

11

A．,10,2,B．1,0,2

22

C．1,02,D．,10,2

变式18．（广东省梅州市2024届高三二模数学试题）已知fx是定义在R上的奇函数，

fx1

fx是fx的导函数，当x0时，fxln2x0，且f0，则不等式

x2

x2fx0的解集是（）

A．,00,2B．0,2C．2,D．,02,

1

变式19．定义在(0，)上的函数f(x)满足xfx1＞0,f2ln，则不等式

2

f(ex)x0的解集为（）

A．(0，2ln2)B．(0,ln2)C．(ln2，1)D．(ln2，)

【解题方法总结】

f(x)

1、对于f(x)lnx0(0)，构造g(x)lnxf(x)

x

2、写出yln(kxb)与yf(x)的加、减、乘、除各种结果

题型十：复杂型：基础型添加因式型

例28．（辽宁省名校联盟2024届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f（x）为定义在R上

的偶函数，当x0,时，fx2x，f24，则不等式xfx12x2x3x的解集

为（）

A．1,03,B．1,13,

C．,10,3D．1,3

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例29．定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)ex0（e为自然对数的底数），其中f(x)

为f(x)的导函数，若f(3)3e3，则f(x)xex的解集为（）

A．(,2)B．(2,)

C．(,3)D．(3,)

2

例30．定义在R上的函数fx满足fx2fx60，且f1e3，则满足不等式

fxe2x3的x的取值有（）

A．1B．0C．1D．2

变式20．已知在定义在R上的函数fx满足fxfx6x2sinx0，且x0时，

π3ππ

fx3cosx恒成立，则不等式fxfx6x2cosx的解集为（）

224

π

A．0,B．,C．,D．,

4466

【解题方法总结】

在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度

题型十一：复杂型：二次构造

例31．（福建省福州第一中学2024学年高二下学期期中考试数学试题）函数f(x)满足：

1xx12

ef(x)ef'(x)x，f，则当x0时，f(x)（）

22e

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值

例32．（江西省百所名校2024学年高三第四次联考数学试题）已知函数fx的定义域为

14

1,，其导函数为fx，x22fxxfxxfx对x1,恒成立，且f5，

25

2

则不等式x3fx32x10的解集为（）

A．1,2B．,2C．2,3D．2,2

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例33．（河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数fx1为定

lnx1

义域在上的偶函数，且当时，函数满足，，

Rx1fxxfx2fx2fe

x4e

则4efx1的解集是（）

A．,2ee,B．2e,e

C．,2ee,D．2e,e

变式21．（宁夏平罗中学2024届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在R上的连续

f(x)

偶函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)0，且f(2)3，则不等式

x

6

f(2x1)的解集为（）

2x1

1313

A．,,B．,

2222

31113

C．,D．,,

22222

变式22．（江西省九江市2024届高三三模数学（理）试题）已知fx是定义在0,上的

可导函数，fx是fx的导函数，若xfxx2fxex，f1e，则fx在0,上

（）

A．单调递增B．单调递减C．有极大值D．有极小值

变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024学年高二下学期期中理

211

科数学试题）定义在0,上的函数fx满足xfxfxxlnx，且f，

e2e

则fx（）

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值

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变式24．（福建省泉州市2024学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）设

e

函数fx满足：xfx2fxxex，f1，则x0时，fx（）

2

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值

变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2024学年高三上学期11月月考数学试题）函

11

数fx满足：2exfxexfxx，f()．则x0时，fx

222e

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值

变式26．设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)xexxf(x)，f(1)，f(2)，则当

2

x0时，f(x)

A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值

C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值

【解题方法总结】

二次构造：f(x)r(x)g(x)，其中r(x)xn,enx,sinx,cosx等

题型十二：综合构造

例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2024学年高二下学期期

中联考数学试题）已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，若f(x)满足

f(x)f(x)f(x)fx2x

，关于直线对称，则不等式的解集是（）

0yxx12f(0)

x1eexx

A．(-1,2)B．1,2

C．1,01,2D．,01,

例35．（贵州省铜仁市2024届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在R上的函数fx，

[在此处键入]

[在此处键入]

fx为其导函数，满足①fxfx2x，②当x0时，fx2x10.若不等式

f2x13x23xfx1有实数解，则其解集为（）

22

A．,B．,0,

33

2

C．0,D．,0,

3

例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知fx

是定义在R上的偶函数，fx是fx的导函数，当x0时，fx2x0，且f13，

则fxx22的解集是（）

A．1,01,B．,11,

C．1,0U0,1D．,10,1

变式27．（贵州省绥阳县育才中学2024届高三信息压轴卷数学试题）已知函数fx的定义

fxfxx