2025年高考数学必刷题分类：第21讲、极值点偏移（学生版）

第21讲极值点偏移

知识梳理

1、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函

数图像没有对称性。若函数f(x)在xx0处取得极值，且函数yf(x)与直线yb交于

xxxx

A(x,b),B(x,b)两点，则AB的中点为M(12,b)，而往往x12。如下图所示。

12202

图1极值点不偏移图2极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数yf(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f(x)

xx

的解分别为x、x，且axxb，（1）若12x，则称函数yf(x)在区间

121220

xx

(x,x)上极值点x偏移；（2）若12x，则函数yf(x)在区间(x,x)上极值点

1202012

xx

x左偏，简称极值点x左偏；（3）若12x，则函数yf(x)在区间(x,x)上极

002012

值点x0右偏，简称极值点x0右偏。

2、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)

定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点

x0.

2

(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)f(x)f(2x0x)，若证x1x2x0，

2x

则令F(x)f(x)f(0).

x

(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．

(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0x)的大

小关系．

(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0x)的大小关系转化为x与

2x0x之间的关系，进而得到所证或所求．

x1x2x1x2

【注意】若要证明f的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得

22

xx

出12所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．

2

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，

它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无

关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难

为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧

和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解

题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，

有着非凡的功效

x1x2x1x2

3、应用对数平均不等式x1x2证明极值点偏移：

lnx1lnx22

①由题中等式中产生对数；

xx

②将所得含对数的等式进行变形得到12；

lnx1lnx2

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数

的单调性证明题中的不等式即可.

必考题型全归纳

题型一：极值点偏移:加法型

x2ax

例1．（2024·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数fx，aR

ex

(1)若a2，求fx的单调区间；

lnx1

(2)若a1，x，x是方程fx的两个实数根，证明：x1x22．

12ex

例2．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数fxx2lnxaaR.

(1)求函数fx的单调区间；

2

(2)若函数fx有两个零点x、x，证明1x1x2.

12e

例3．（2024·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数fxlnx.

(1)讨论函数gxfx﹣axaR的单调性；

1

(2)①证明函数F(x)f(x)（e为自然对数的底数）在区间1,2内有唯一的零点；

ex

x

②设①中函数Fx的零点为x，记m(x)minxf(x),（其中min{a,b}表示a,b中的较小

0ex

值），若mxn(nR)在区间1,内有两个不相等的实数根x1,x2x1x2，证明：

x1x22x0.

变式1．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数

π

fxxsinxalnx,x1为其极小值点．

2

(1)求实数a的值；

(2)若存在x1x2，使得fx1fx2，求证：x1x22．

23

变式2．（2024·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知函数fxxlnxa，

2

a为实数．

(1)求函数fx的单调区间；

(2)若函数fx在xe处取得极值，fx是函数fx的导函数，且fx1fx2，x1x2，

证明：2x1x2e

x1alnx

变式3．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数fx

x

(1)若函数fx在定义域上单调递增，求a的最大值；

(2)若函数fx在定义域上有两个极值点x1和x2，若x2x1，ee2，求x1x2的最

小值．

aex

变式4．（2024·全国·模拟预测）已知函数fxlnxxaR．

x

(1)讨论函数fx的极值点的个数；

(2)若函数fx恰有三个极值点x1、x2、x3x1x2x3，且x3x11，求x1x2x3的最

大值．

变式5．（2024·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知函数

f(x)lnxax．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a1时，若f(x1)f(x2)(x1x2)，求证：x1x22

变式6．（2024·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数

13

fxx3x2logxa0,a1．

32a

(1)若fx为定义域上的增函数，求a的取值范围；

1

(2)令ae，设函数gxfxx34lnx9x，且gxgx0，求证：xx311．

31212

变式7．（2024·全国·高二专题练习）已知函数fxlnxax2（aR）．

(1)试讨论函数fx的单调性；

3

(2)若函数fx有两个零点x，x（x1x2），求证：x3xa2．

1212a

变式8．（2024·全国·高二专题练习）已知函数fxax2a2xlnxaR.

(1)讨论fx的单调性；

2

(2)若fx有两个零点x1,x2，证明：xx.

12a

kx2

变式9．（2024·全国·高三专题练习）设函数fxlnx1.

x

(1)若fx0对x2,恒成立，求实数k的取值范围；

lnx11

(2)已知方程有两个不同的根x1、x2，求证：x1x26e2，其中e2.71828

x13e

为自然对数的底数.

变式10．（2024·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数fx3alnxa3x，aR.

π

(1)当a1时，求曲线gxfx3lnxsinx在x处的切线方程；

2

(2)设x1，x2是hxfx3a2lnx3x的两个不同零点，证明：ax1x24.

变式11．（2024·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数f(x)lnxx(x3).

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若存在x1,x2,x3(0,)，且x1x2x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)，求证：2x1x2x3.

题型二：极值点偏移:减法型

1

例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数fxxe1exex2e2x．

2

(1)求函数fx的单调区间与极值．

x3x1

(2)若fx1fx2fx3x1x2x3，求证：e1．

2

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxex2xa1，

gxx2a1xa2（其中e2.71828是自然对数的底数）

(1)试讨论函数fx的零点个数；

(2)当a1时，设函数hxfxgx的两个极值点为x1、x2且x1x2，求证：

ex2ex14a2.

1

例6．（2024·四川成都·高二川大附中校考期中）已知函数f(x)x2axlnx(aR).

2

（1）若f(x)在定义域上不单调，求a的取值范围；

1

（2）设ae,m,n分别是f(x)的极大值和极小值，且Smn，求S的取值范围.

e

题型三：极值点偏移:乘积型

例7．（2024·全国·高三统考阶段练习）已知函数

lnx

fxxexax1,x1,,a0,gxbx．

x

(1)当b1，fx和gx有相同的最小值，求a的值；

(2)若gx有两个零点x1，x2，求证：x1x2e．

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxlnx.

(1)证明：fx1x.

=1

(2)若函数hx2xfx，若存在x1x2使h(x1)h(x2)，证明：xx.

12e2

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxxsinxtanxalnxb，x0,.

2

(1)求证：2xsinxtanx，x0,；

2

x1x2

(2)若存在x1、x20,，且当x1x2时，使得fx1fx2成立，求证：1.

2a2

变式12．（2024·全国·高二专题练习）已知函数f(x)exxlnxx2ax．

(1)证明：若ae1，则f(x)0；

(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x21．

变式13．（2024·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数fxxlnxa，

fx

gxaax．

x

(1)当x1时，fx≥lnx2恒成立，求a的取值范围．

xx2

(2)若gx的两个相异零点为1，2，求证：x1x2e．

变式14．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知f(x)2xsinxalnx．

(1)当a1时，讨论函数f(x)的极值点个数；

(2)若存在x1，x2(0x1x2)，使f(x1)f(x2)，求证：x1x2a．

a

变式15．（2024·北京通州·统考三模）已知函数fxaxlnx(a0)

x

(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为yx1，求实数a的值；

(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.

a

(3)已知gxfx有两个零点x，x，求实数a的取值范围并证明xxe2.

x1212

题型四：极值点偏移:商型

例10．（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数f(x)2exlnx，其

中e2.71828为自然对数的底数.

（1）讨论函数f(x)的单调性；

11

（2）若x1,x20,1，且x2lnx1x1lnx22ex1x2lnx1lnx2，证明：2e2e1.

x1x2

例11．（2024·全国·统考高考真题）已知函数fxx1lnx.

（1）讨论fx的单调性；

11

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：2e.

ab

例12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx1lnx.

(1)讨论fx的单调性；

11

(2)设a，b为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：2.

ab

1

变式16．（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数fxaxa1lnx，

x

aR．

(1)讨论函数fx的单调性；

1

(2)若关于x的方程fxxexlnx有两个不相等的实数根x、x，

x12

（ⅰ）求实数a的取值范围；

ex1ex22a

（ⅱ）求证：．

x2x1x1x2

题型五：极值点偏移:平方型

例13．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数fxlnxax2.

(1)讨论函数fx的单调性：

22

(2)若x1,x2是方程fx0的两不等实根，求证：x1x22e；

lnx

例14．（2024·全国·高二专题练习）已知函数fxax.

x

(1)若fx1，求实数a的取值范围；

2212

(2)若fx有2个不同的零点x1,x2（x1x2），求证：2x3x.

125a

1lnx

例15．（2024·全国·高二专题练习）已知函数fx，a0．

ax

(1)若fx≤1，求a的取值范围；

xx22

(2)证明：若存在1，2，使得fx1fx2，则x1x22．

1lnx

变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx

ax

(1)讨论f(x)的单调性；

若x2x1，且，，，证明22

(2)ex1ex2x10x20x1x2:x1x22.

变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxxsinxcosxalnx，aR.

（1）当a0时，求曲线yf(x)在点,f处的切线方程；

22

（2）若f(m)f(n)，0mn，求证：m2n2|a|.

题型六：极值点偏移:混合型

a1x

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)(x0)（e为自然对数的底数，

ex

aR）．

(1)求f(x)的单调区间和极值；

4a

(2)若存在xx，满足fxfx，求证：xx．

121212a2

1

例17．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)xaa,aR.

x

(1)若f（1）=2，求a的值；

(2)若存在两个不相等的正实数x1,x2，满足f(x1)f(x2)，证明：

①2x1x22a；

x2

②2a1.

x1

a

例18．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)xlnxx2xa(aR)，在其定义域

2

内有两个不同的极值点.

(1)求a的取值范围；

1

(2)记两个极值点为x1，x2，且x1x2，当1时，求证：不等式x1x2e恒成立.

1x

变式19．（2024·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知f(x)ex,g(x)a(x1)．

1x

（1）求yf(x)的单调区间；

2

（2）当a0时，若关于x的方程f(x)g(x)0存在两个正实数根x1,x2x1x2，证明：ae

且x1x2x1x2．

变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)xex(xR)．

（1）判断函数f(x)的单调性；

（2）若方程f(x)2a23a10有两个不同的根，求实数a的取值范围；

（3）如果x1x2，且f(x1)f(x2)，求证：ln(x1x2)ln2．

变式21．（2024·天津河西·统考二模）设kR，函数f(x)lnxkx．

（1）若k2，求曲线yf(x)在P(1,2)处的切线方程；

（2）若f(x)无零点，求实数k的取值范围；

（3）若f(x)有两个相异零点x1,x2，求证：lnx1lnx22．

变式22．（2024·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数

fxx1alnx，aR.

(1)讨论f（x）的单调性；

1

(2)若x0,时，都有fx1，求实数a的取值范围；

2

1lnxx

22

(3)若有不相等的两个正实数x1，x2满足，证明：x1x2ex1x2.

1lnx1x1

变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxexax2bx1，其中a，b为常数，e

为自然对数底数，e2.71828．

(1)当a0时，若函数fx0，求实数b的取值范围；

(2)当b2a时，若函数fx有两个极值点x1，x2，现有如下三个命题：

①7x1bx228；②2ax1x23x1x2；③x11x212；

请从①②③中任选一个进行证明．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

变式24．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数

fxalnx2xaR.

(1)讨论f(x)的单调性和最值；

x21mx1x22

(2)若关于x的方程eln(m0)有两个不等的实数根x1,x2，求证：ee.

mmx2m

变式25．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数hxxalnxaR.

(1)若hx有两个零点，a的取值范围；

2

xx1x2e

(2)若方程xealnxx0有两个实根x1、x2，且x1x2，证明：e.

x1x2

变式26．（2024·广东佛山·高二统考期末）已知函数fxxexalnxa，其中a0．

(1)若a2e，求fx的极值：

xxx1x2

(2)令函数gxfxaxa，若存在1，2使得gx1gx2，证明：x1ex2e2a．

变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx1alnx,a0.

(1)讨论fx的单调性；

1

(2)若x0,时，都有fx1，求实数a的取值范围；

2

1lnxx

22

(3)若有不相等的两个正实数x1,x2满足，求证：x1x2ex1x2.

1lnx1x1

题型七：拐点偏移问题

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)2lnxx2x.

（1）求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

（2）若正实数x1,x2满足f(x1)f(x2)4，求证：x1x22.

例20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2lnxx2a1xa，(aR)，当x1

时，f(x)0恒成立．

(1)求实数a的取值范围；

(2)若正实数x1、x2(x1x2)满足f(x1)f(x2)0，证明：x1x22．

1

例21．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数f(x)x23x2lnx.

2

(1)求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)（ⅰ）若对于任意x1,x2[1,3]，都有f(x1)f(x2)2m2，求实数m的取值范围;

127