2025年高考数学必刷题分类：第42讲、等比数列及其前n项和（学生版）

第42讲等比数列及其前n项和

知识梳理

知识点一．等比数列的有关概念

（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为

零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，

a

定义的表达式为n1=q．

an

（2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

2

即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列Gab．

知识点二．等比数列的有⇔关公式⇒

（1）等比数列的通项公式

设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式

{an}a1q(q0)

a

aaqn1cqn(c1)(a,q0)．

n1q1

推广形式：n－m

anamq

（2）等比数列的前n项和公式

na1(q1)

等比数列的公比为，其前项和为n

{an}q(q0)nSna1(1q)a1anq

(q1)

1q1q

注①等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公

比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q1

与q1两种情况讨论求解．

n

②已知（项数），则利用a1(1q)求解；已知，则利用

a1,q(q1),nSa1,an,q(q1)

n1q

aaq

S1n求解．

n1q

n

③a1(1q)a1na1n，为关于n的指数型函数，

Sqkqk(k0,q1)Snq

n1q1q1q

且系数与常数互为相反数．

知识点三．等比数列的性质

（1）等比中项的推广．

2

若mnpq时，则amanapaq，特别地，当mn2p时，amanap．

（）①设为等比数列，则（为非零常数），，m仍为等比数列．

2{an}{an}{an}{an}

②设与为等比数列，则也为等比数列．

{an}{bn}{anbn}

（）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．

3{an}a1q

a10a10

当或时，{a}为递增数列；

q10q1n

a10a10

当或时，{a}为递减数列．

0q1q1n

（4）其他衍生等比数列．

若已知等比数列，公比为，前项和为，则：

{an}qnSn

①等间距抽取

t

ap,apt,ap2t,ap(n1)t,为等比数列，公比为q．

②等长度截取

为等比数列，公比为m（当时，不为偶数）．

Sm,S2mSm,S3mS2m,qq1m

【解题方法总结】

2

*＝＝

（1）若mnpq2k(m，n，p，q，kN)，则amanapaqak．

（）若，（项数相同）是等比数列，则，1，2，，

2{an}{bn}{an}(0){}{an}{anbn}

an

a

{n}仍是等比数列．

bn

（）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即

3{an}

，，，为

anan＋kan＋2kan＋3k

等比数列，公比为qk．

（）公比不为－的等比数列的前项和为，则，，仍成等

41{an}nSnSnS2nSnS3nS2n

比数列，其公比为qn．

TT

（）为等比数列，若＝，则，2n，3n，成等比数列．

5{an}a1a2anTnTn

TnT2n

a

（6）当q0，q1时，Sk－k·qn(k0)是{a}成等比数列的充要条件，此时k1．

nn1q

（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，

还等于中间

项的平方．

（）若为正项等比数列，则为等差数列．

8{an}{logcan}(c0,c1)

（）若为等差数列，则an为等比数列．

9{an}{c}(c0,c1)

（）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．

10{an}{an)

必考题型全归纳

题型一：等比数列的基本运算

例1．（2024·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列an中，a13，a1a2a39，

则a4a5a6等于（）

A．9B．72C．9或70D．9或72

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列an中，前3项的和为7，前3

项的积为8，则a4的值为（）

A．2B．4C．6D．8

例3．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，

公比为q，且Snan11，则（）

A．a12B．S22C．q1D．q=2

变式1．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）在等比数列{an}中，若a24，a532，

则公比q应为（）

11

A．B．2C．D．－2

22

变式2．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若

a11，S55S34，则S4（）

1565

A．B．C．15D．40

88

变式3．（2024·全国·高三对口高考）已知数列an是等比数列，a1a22,a7a8128，

则该数列的S10以及a1依次为（）

222

A．682，B．，C．682，或D．，或

368223268232

变式4．（2024·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若

a4a53a8,S339，则a4=（）

A．64B．81C．128D．192

变式．（·江西·校联考模拟预测）已知等比数列a的前项和为，，

52024n430a1a515

则a7（）

11

A．B．C．1D．2

42

【解题方法总结】

等比数列基本量运算的解题策略

（）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，

1a1

，，，，

nqanSn

一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．

（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论：

n

当时，；当时，a1(1q)a1anq．

q1Snna1q1S=

n1q1q

题型二：等比数列的判定与证明

例4．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种

溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称

为一次调和．记a110%，b120%，经n1次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别

为an，bn．

(1)试用an1，bn1表示an，bn．

(2)证明：数列anbn是等比数列，并求出an，bn的通项．

n*

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足4Sn2an2，nN，其中Sn为

an的前n项和．证明：

a1

(1)n是等比数列．

2n6

1111

1

(2)n．

6a136a236a336an31

例6．（2024·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙

包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，

n*

设第（nN）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an，在丙手中的方法数为bn.

(1)求证：数列an1an为等比数列，并求出an的通项；

(2)求证：当n为偶数时，anbn.

11

变式6．（2024·广东东莞·校考三模）已知数列an和bn，a12，1，an12bn.

bnan

1

(1)求证数列1是等比数列；

an

n

n

(2)求数列的前项和Tn.

bn

1

a,n为偶数

2n

变式7．（2024·全国·高三专题练习）设数列an的首项a1a，且a，

n11

a,n为奇数

n4

1

记ba,n1,2,3....

n2n14

(1)求a2,a3；

(2)判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；

L

(3)求b1b2bn.

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an、bn满足4an13anbnt，

4bn13bnant，tR，nN，且a11，b10.

(1)求证：anbn是等比数列；

(2)若an是递增数列，求实数t的取值范围.

n*

变式9．（2024·全国·高三专题练习）数列{an}的前和Sn满足Sn2annnN，

(1)求a1的值及an与an1的关系；

(2)求证：an1是等比数列，并求出{an}的通项公式.

7an8*4

变式10．（2024·云南·校联考三模）已知数列an有递推关系an1nN,an，

3an43

69rbn

b

a1，记anbnk(kZ)，若数列bn的递推式形如n1（p,q,rR且p,r0），

29pbnq

也即分子中不再含有常数项.

(1)求实数k的值；

13

(2)证明：为等比数列，并求其首项和公比.

bn5

a2

n*

变式11．（2024·福建厦门·统考模拟预测）已知数列an满足a11,an1,nN．

an

a2

(1)证明n是等比数列；

an1

3

(2)若bn，求bn的前n项和Sn．

an1

变式12．（2024·山东潍坊·三模）已知数列an和bn满足

a13,b12,an1an2bn,bn12anbn．

ab

(1)证明：anbn和nn都是等比数列；

(2)求anbn的前n项和Sn．

【解题方法总结】

等比数列的判定方法

若an1（为非零常数，*或an（为非零常数且，*），则

=qqnN=qqn2nN{an}

定义法anan1

是等比数列

若数列中，且2*，则是等比数列

中项公式法{an}an0an1=anan2(nN){an}

*

若数列{a}的通项公式可写成ac·qn1（c，q均为非零常数，nN），则{a}是等

通项公式法nnn

比数列

前项和公式法若数列的前项和n（为非零常数，，），则是等比数列

n{an}nSnk·q-kkq01{an}

题型三：等比数列项的性质应用

n1

例7．（2024·全国·高三对口高考）已知等比数列an的前n项和为Sn3c，则

c__________.

例8．（2024·山东泰安·统考二模）若m，n是函数fxx2pxqp0,q0的两个

不同零点，且m，n，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，

则pq__________.

a

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列n中，a10，amnamanm,nN，且

2

a3、a11是函数fx2x19x20的两个零点，则a7___________.

1

变式13．（2024·高三课时练习）已知等比数列an的公比q，该数列前9项的乘积

2

为1，则a1______．

2

变式14．（2024·江西·校联考二模）在正项等比数列an中，a3与a8是方程x30x100

的两个根，则lga1lga2lga10_________.

变式15．（2024·全国·高三专题练习）等比数列an中，a1a9256，a4a640，则公比

q的值为_____________.

变式16．（2024·全国·高三专题练习）在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等

比数列，则中间三个数的积等于_____________.

变式17．（2024·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列an是等比

数列，且a1a7a138，则a3a11__________．

变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列an是公比不等于1的等比数列，且

2

lga1lga20230，若fx，则fa1fa2fa2023__________.

1x2

变式．（·四川成都·统考二模）已知等比数列a的首项为，且，

192024n1a6a42a3a1

则a1a2a3a7__________.

，

变式20．（2024·重庆·高三阶段练习）在等比数列an中，a1a230a3a460，则

a7a8______________．

【解题方法总结】

（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若

＝＝2

mnpq2k，则amanapaqak．”，可以减少运算量，提高解题速度．

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此

外，解题时注意设而不求思想的运用．

题型四：等比数列前n项和的性质

例10．（2024·全国·高三对口高考）已知数列an为等比数列，Sn为其前n项和.若S3013S10，

S10S30140，则S20的值为__________.

例11．（2024·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S32，

S66，则S24______.

例12．（2024·高三课时练习）已知Sn是正项等比数列an的前n项和，S1020，则

S302S20S10的最小值为______．

变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和，且S615，

S18195，则S24______.

变式22．（2024·全国·高三专题练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若S410S2，

S

则6的值为______.

S2

变式23．（2024·全国·高三专题练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，且

1010q

2S3021S20S100，则公比__________.

变式24．（2024·重庆·高三统考阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn，S67，

aa

13

a2a53，则___________.

a2

变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若S34，

S19，则S，的等差中项为

96S9__________.

变式26．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，

若S43，S89，则S16的值为_______

【解题方法总结】

（）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比

1{an}S奇S偶

为q．

SSa

①若共有2n项，则偶q；②若共有2n1项，奇1q．

S奇S偶

（）等比数列中，表示它的前项和．当时，有，－，－，

2{an}Skkq1SkS2kSkS3kS2k

也成等比数列，公比为qk．

题型五：求数列的通项

an

例13．（2024·广西玉林·统考三模）记数列an的前n项和为Sn，已知向量man1,Sn，

n1,2，若a12，且m∥n，则an通项为________．

例14．（2024·内蒙古包头·高三统考期末）已知数列an和bn满足a11，b12，

，则数列的通项

an13anbn4bn13bnan4.anbnanbn______.

3

例15．（2024·上海浦东新·高三校考开学考试）设幂函数fxx，数列an满足：a12021，

*

且an1fan（nN），则数列an的通项an__．

变式27．（2024·江苏·高三专题练习）写出一个满足前5项的和为31，且递减的等比数列

的通项an___________．

变式28．（2024·山西太原·统考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn且满足Snan2，

则数列{an}的通项an_______．

变式29．（2024·上海·高三专题练习）数列an的前n项和为Sn,a11,an12Sn，则数列

的通项an___________．

变式30．（2024·内蒙古包头·高三统考期中）已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间

满足关系Sn23an,则an=__________

n

变式31．（2024·上海·高三专题练习）数列an的通项an3n1,bn的通项bn2，由an

与bn中公共项，并按原顺序组成一个新的数列cn，求cn的前n项和.

【解题方法总结】

（1）等比数列的通项公式

设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式

{an}a1q(q0)

a

aaqn1cqn(c1)(a,q0)．

n1q1

推广形式：n－m

anamq

（2）等比数列的前n项和公式

na1(q1)

等比数列的公比为，其前项和为n

{an}q(q0)nSna1(1q)a1anq

(q1)

1q1q

题型六：奇偶项求和问题的讨论

例16．（2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列an满足a13，且

2an,n是偶数,

a

n1是奇数

an1,n.

(1)设bna2na2n1，求数列bn的通项公式；

(2)设数列an的前n项和为Sn，求使得不等式Sn2023成立的n的最小值．

1

a,n为奇数,

2n

例17．（2024·河北·模拟预测）已知数列an满足a12，a

n11

a,n为偶数.

n2

(1)记bna2n1a2n1，证明：数列bn为等比数列；

1

(2)记ca，求数列ncn的前n项和Tn．

n2n2

例18．（2024·山东济宁·统考二模）已知数列an的前n项和为

*

Sn,an1an12ann2,nN，且a11,S515．

(1)求数列an的通项公式;

a，n为奇数

若n，求数列b的前项和．

(2)bnan2nT2n

2n1，n为偶数

变式32．（2024·天津南开·统考二模）设an为等比数列，bn为公差不为零的等差数列，

且a1b33，a2b9，a3b27.

(1)求an和bn的通项公式；

T1

n

(2)记an的前n项和为Sn，bn的前n项和为Tn，证明：；

Sn3

an1

2,n为奇数

2n

bn2

(3)记cn，求ci.

ani1

2,n为偶数

bn1bn1

变式33．（2024·湖南邵阳·统考三模）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a35,S981，

n1

数列{bn}满足a1b1a2b2a3b3anbnn133.

(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；

b,n为奇数

n

数列c满足c，为偶数，求c前项和T

(2){n}n1为偶数n{n}2n2n.

,n

anan2

变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等比数列an满足

n*

anan116,nN.

(1)求数列an的通项公式；

an,n为奇数

(2)设b11，b，求数列bn的前2n项和S2n.

n1为偶数

bnn,n

变式35．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知数列an满足：a12，且对

a

n是奇数

n,n,

任意的nN*，an12

n1是偶数

2an2,n.

2

(1)求a2，a3的值，并证明数列a2n1是等比数列；

3

(2)设bna2n1nN*，求数列bn的前n项和Tn.

1为奇数

ann1,n

变式36．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足a11，an12，

为偶数

an2n,n

记bna2n，求数列an的通项公式．

【解题方法总结】

求解等比数列的前n项和Sn，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注

意其项数n的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从n为奇数、偶数进

行分类．

题型七：等差数列与等比数列的综合应用

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an为等差数列，a11，a3421，

Sn

前n项和为Sn，数列bn满足b，求证：

nn

(1)数列bn为等差数列；

(2)数列an中任意三项均不能构成等比数列.

例20．（2024·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）在等差数列an中，

a1a612,a2a716．

(1)求等差数列an的通项公式；

(2)设数列2anbn是首项为1，公比为2的等比数列，求数列bn的前n项和Sn．

例21．（2024·全国·高三专题练习）已知Sn为等差数列an的前n项和，且a11，

2

___________.在①a2，S3，a14成等比数列，②S2n2Sn2n，③数列Sn为等差数列，

这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：

(1)求an；

a,n为奇数

n

若b，求数列bn的前+项和T

(2)n1为偶数2n12n1.

,n

anan2

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

变式37．（2024·四川资阳·统考一模）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S3m，S9m，

*

S6m（其中mN）成等差数列．问：a2m，a8m，a5m是否成等差数列？并说明理由．

变式38．（2024·江苏·高考真题）已知an是等差数列，bn是公比为q的等比数列，a1b1，

a2b2a1，记Sn为数列bn的前n项和.

(1)若bkam（m，k是大于2正整数），求证：Sk1(m1)a1；

(2)若b3ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列bn中每一项都是数列an中的项；

(3)是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，

并加以说明；若不存在，请说明理由.

变式39．（2024·河南开封·高三校考阶段练习）公差不为0的等差数列an中，a7a92，

且a8,a9,a12成等比数列.

(1)求数列an的通项公式；

(2)若Sn为等差数列an的前n项和，求使Sn0成立的n的最大值.

20

变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知an是递增的等比数列，且a32，aa．

243

(1)求数列an的通项公式；

n

(2)在an与an1之间插入个数，使这n2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列dn中

是否存在3项dm,dk,dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的3项；若不

存在，请说明理由．

变式41．（2024·全国·高三专题练习）设数列an的前n项和为Sn，a10，a21，

nSn1(2n1)Sn(n1)Sn110(n2).

(1)证明：an为等差数列；

an

(2)设bn2，在bn和bn1之间插入n个数，使这n2个数构成公差为dn的等差数列，求

1

的前n项和.

dn

【解题方法总结】

（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，

正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．

（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列

为非零常数数列．

题型八：等比数列的范围与最值问题

例22．（2024·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列an为等比数列，首项a10，

公比q1,0，则下列叙述不正确的是（）

A．数列an的最大项为a1B．数列an的最小项为a2

aa

C．数列nn1为严格递增数列D．数列a2n1a2n为严格递增数列

例．（·全国·高三专题练习）设a是公比为的等比数列，其前n项的积为，并

232024nq．Tn

a1

99

且满足条件：a11，a99a10010，0．给出下列结论：①0q1；②T1981；

a1001

③a99a1011；④使Tn1成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（）

A．①②③B．①④C．②③④D．①③④

1

例24．（2024·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列an满足a8,a4a，则

811124

a1a2an取最大值时n的值为（）

A．8B．9C．10D．11

变式42．（2024·陕西西安·统考三模）已知数列an是无穷等比数列，若a1a20，则数

列an的前n项和Sn（）．

A．无最大值，有最小值B．有最大值，有最小值

C．有最大值，无最小值D．无最大值，无最小值

1

变式43．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足a10，aa，则数列an

n12n

是（）

A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定

变式44．（2024·全国·高三专题练习）已知an是递增的等比数列，且a20，则其公比

q满足（）

A．q1B．1q0

C．q1D．0q1

变式45．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列an的各项均为正数且公比大于

1，前n项积为Tn，且a3a5a4，则使得Tn1的n的最小值为（）

A．5B．6C．7D．8

变式46．（2024·全国·高三专题练习）设无穷等比数列an的前n项和为Sn，若a1a2a1，

则（）

A．Sn为递减数列B．Sn为递增数列

C．数列Sn有最大项D．数列Sn有最小项

变式47．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，并

且满足条件a11,a7a81,a71a810，则下列结论正确的是（）

A．a7a91B．0q1C．a6a8a7a9D．Sn的最大值为S8

变式48．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前

a1

2019

n项积为Tn，并满足条件a11,a2019a20201，0，则下列结论正确的是（）

a20201

A．S2019S2020B．T2020是数列Tn中的最大值

C．a2019a202110D．数列Tn无最大值

变式49．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）设公比为q的等比数列an的前n项和

a1

2021

为Sn，前n项积为Tn，且a11，a2021a20221，0，则下列结论正确的是（）

a20221

A．q1B．S2021S202210

C．T2022是数列Tn中的最大值D．数列Tn无最大值

变式50．（2024·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学校考期中）设等比数列an的公比为

q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a11，a2020a20211，a20201a202110，

则下列选项错误的是（）

A．0q1B．S20201S2021

C．T2020是数列Tn中的最大项D．T40411

变式51．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并

a1

2019

且满足条件：a11，a2019a20201，0，给出下列结论：①0q1；②a2019a202110；

a20201

③T2019是数列{Tn}中的最大项；④使Tn1成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的

序号为（）

A．①②B．①③