2025年高考数学必刷题分类：第41讲、等差数列及其前n项和（教师版）

第41讲等差数列及其前n项和

知识梳理

知识点一．等差数列的有关概念

（1）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为

（常数）*．

anan－1d(nN，n2)

（2）等差中项

ab

若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A=．

2

知识点二．等差数列的有关公式

（1）等差数列的通项公式

如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．

{an}a1dana1(n1)d

（2）等差数列的前n项和公式

n(n1)n(a1an)

设等差数列{a}的公差为d，其前n项和Snad．

nn122

知识点三．等差数列的常用性质

已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．

{an}dSnn

（）通项公式的推广：*．

1anam(nm)d(n，mN)

（）在等差数列中，当时，，，，*．

2{an}mnpqamanapaq(mnpqN)

特别地，若，则*．

mn2taman2at(m，n，tN)

（），，，仍是等差数列，公差为*．

3akak＋mak＋2m…md(k，mN)

（），－，－，也成等差数列，公差为2．

4SnS2nSnS3nS2n…nd

（）若，是等差数列，则也是等差数列．

5{an}{bn}{panqbn}

S

（6）若{a}是等差数列，则{n}也成等差数列，其首项与{a}首项相同，公差是{a}

nnnn

1

公差的．

2

S

（）若项数为偶数，则；；奇an．

72nS2nn(a1a2n)n(anan1)S偶－S奇＝nd

S偶an1

S

（）若项数为奇数，则；－=；奇n．

82n1S2n－1(2n1)anS奇S偶an

S偶n1

am

（）在等差数列中，若，，则满足的项数使得取得最大

9{an}a10d0mSn

am1

am

值；若，，则满足的项数使得取得最小值．

Sma10d0mSnSm

am1

知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系

d2d

Sn(a)n．数列{a}是等差数列SAn2Bn（A、B为常数）．

n212nn

⇔

知识点五．等差数列的前n项和的最值

公差为递增等差数列，有最小值；

d0{an}Sn

公差为递减等差数列，有最大值；

d0{an}Sn

公差为常数列．

d0{an}

特别地

a10

若，则S有最大值（所有正项或非负项之和）；

d0n

a10

若，则S有最小值（所有负项或非正项之和）．

d0n

知识点六．其他衍生等差数列．

若已知等差数列，公差为，前项和为，则：

{an}dnSn

①等间距抽取ap,apt,ap2t,ap(n1)t,为等差数列，公差为td．

②等长度截取为等差数列，公差为2．

Sm,S2mSm,S3mS2m,md

SSSd

③算术平均值1,2,3,为等差数列，公差为．

1232

【解题方法总结】

（）等差数列中，若，则．

1{an}anm,amn(mn,m,nN)amn0

（）等差数列中，若，则．

2{an}Snm,Smn(mn,m,nN)Smn(mn)

（）等差数列中，若，则．

3{an}SnSm(mn,m,nN)Smn0

（）若与为等差数列，且前项和为与，则amS2m1．

4{an}{bn}nSnTn

bmT2m1

必考题型全归纳

题型一：等差数列的基本量运算

例1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列an满足：a11，且满足

*

anan1n(nN)，则a2023（）

A．1012B．1013C．2022D．2024

【答案】A

【解析】因为anan1n，所以an1an2n1，两式相减，得：an2an1，

所以数列an中的奇数项是以a11为首项，1为公差的等差数列，

所以a20231110111012.

故选：A.

n

例2．（2024·河北·统考模拟预测）已知等差数列{an}的前项和是Sn,a31,S73a6，则S3

（）

A．1B．1

C．3D．3

【答案】D

76

【解析】由已知设等差数列的公差为d，则a3a12d1，7ad3(a5d)，

121

解得a13，d2，所以S33a13d3．

故选：D.

例3．（2024·四川凉山·三模）在等差数列an中，a2a42，a53，则a9（）．

A．3B．5C．7D．9

【答案】C

【解析】由题设a2a42a32，则a31，而a53，

aa

若等差数列公差为d，则d531，

2

所以，an通项公式为ana3(n3)dn2，故a97.

故选：C

n

变式1．（2024·江西新余·统考二模）记Sn是公差不为0的等差数列an的前项和，若a2S3，

a1a3S4，则数列an的公差为（）

A．2B．1C．2D．4

【答案】A

【解析】由a2S3可得：a1d3a13d①，

43

由a1a3S4可得：aa2d4ad②，

1112

由①②可得：d2或d0(舍去).

故选：A.

变式2．（2024·广西·统考模拟预测）设an为等差数列，若a32a11,a45，则公差d（）

A．－2B．－1C．1D．2

【答案】D

3a12d1a1

【解析】由题意得解得1，

d2

a13d5

故选：D.

n

变式3．（2024·山西·高三校联考阶段练习）记Sn为等差数列an的前项和，若

S3a5,a3a18，则a7（）

A．30B．28C．26D．13

【答案】C

【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，

32

3a1da14d

则2，a12，d4，

a12da18

所以a7a16d26.

故选：C

【解题方法总结】

等差数列基本运算的常见类型及解题策略：

（1）求公差d或项数n．在求解时，一般要运用方程思想．

（）求通项．和是等差数列的两个基本元素．

2a1d

（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．

（4）求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．

【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性

与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思

想，使运算更加便捷．

题型二：等差数列的判定与证明

例4．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列an的前n项和为

1

S,Sn2a，且a11.

nn3n

a

(1)求证：数列n是等差数列；

n

1

n

(2)求数列的前项和Tn.

an

【解析】（1）数列an中，3Sn(n2)an，当n2时，3Sn1(n1)an1，

anan1

两式相减得3an(n2)an(n1)an1，即(n1)an(n1)an1，则，

n1n1

aaaaa1

于是nn1，因此数列{n}是常数列，则n1，

(n1)nn(n1)(n1)n(n1)n212

n(n1)an1aa1

从而a，即n,n1n，

n2n2n1n2

a1

所以数列n是以1为首项，为公差的等差数列.

n2

1211

（2）由（1）知，2，

annn1nn1

111111112n

所以Tn2[(1)()()].

a1a2an223nn1n1

例5．（2024·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末）记Sn为数列{an}的

前n项和．

(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{an}是等差数列；

Sna1

①数列n是等差数列；②n*

SnnN

n2

n

n

(2)若数列{an}为等差数列，且a11，a35，求数列的前项和Tn．

(n2)Sn

na1

【解析】（）选择条件①：n*，

1SnnN

2

2Snnann,2Sn1n1an1n1，

两式相减可得2an1n1an1nan1，

即nan1n1an1，

n1an11nan2，

两式相减可得n1an1nannan2n1an1，

化简可得2nan1nan2an，

2an1an2an，数列{an}是等差数列．

S

选择条件②：设数列n的首项为b，公差为p，

n1

Sn2

则b(n1)pnpbp，故Snpnb1pn，

n11

当n2时，anSnSn1

22

pnb1pnpn1b1pn1

b12n1p，

当n1时，a1S1b1，anb12n1p，

又an1anb12npb12(n1)p2p．

数列{an}是等差数列．

a3a1

（2）数列{an}是等差数列，且公差d2，

2

n(n1)n(n1)

Snadn2n2．

n122

n1111

，

n2Snnn22nn2

11111111111

故Tn1

232242352nn2

11111111

1

232435nn2

1111

(1)

22n1n2

311132n3

()．

42n1n242(n1)(n2)

2a2*

annN

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1，n1．

32an3

1

(1)证明：是等差数列，并求出an的通项an．

an1

1

(2)证明：a1a2a3an．

n1

an21an

【解析】（1）由an1，可得an11，

2an32an3

132a2a11111

∴nn2，即2，

an11an1an1an1an11an1

21

3

∵a1，即，

3a11

1

∴是以3为首项，2为公差的等差数列，

an1

12n

2n1

∴，即an．

an12n1

242n

（2）令Taaaa①，

n123n352n1

2n2n1352n1

∵，∴T②，

2n12n2n462n2

21

①×②得T2，

n2n2n1

11

∴T，即a1a2a3an．

nn1n1

变式4．（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列an满足，

an1,n2k1

an1,kN，a1=1.

an2,n2k

(1)若数列bn为数列an的奇数项组成的数列，证明：数列bn为等差数列；

(2)求数列an的前50项和.

【解析】（1）由题，bn1a2n1a2n2a2n112a2n11bn1，

1

且b1a11，所以数列bn是首项为1，公差为的等差数列；

（2）设cn为数列an的偶数项组成的数列，注意到c1a2a112，

cn1a2n2a2n11a2n21a2n1cn1，

所以数列cn是首项为2，公差为1的等差数列，

结合(1)可知，an的奇数项和偶数项都是以1为公差的等差数列，

所以S50a1a2a3....a50a1a3....a49+a2a4....a50

25242524

12512251525.

22

aSS0

变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列n的前n项和为nn，数列Sn的前

*

n项积为Tn，且满足SnTnSnTnnN．

1

(1)求证：为等差数列；

Sn1

1

(2)记bn2，求数列bn的前2024项的和M．

nSn

*

【解析】（1）因为SnTnSnTnnN，

2

当n1时，S1T1S1T12a1a1，解得a12或a10，

又Sn0，所以a10，故a12，

Sn

由SnTnSnTn，可得Sn1，所以Tn，

Sn1

S

n1

当n2时，Tn1．

Sn11

TnSnSn11SnSn11

所以，即Sn，

Tn1Sn1Sn1Sn1Sn1

1S111

所以n11，所以1

Sn1Sn11Sn11Sn1Sn11

11

所以是以1为首项，1为公差的等差数列.

S1

Sn11

1n1

1n11n

（2）所以，则Sn，

Sn1n

1111

因为bn2，

nSnnn1nn1

111112023

故M1．

223202320242024

变式6．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知数列an中，a11，当n2时，

n2

其前项和Sn满足：SnanSn1，且Sn0，数列bn满足：对任意nN*有

bbbn1

12nn122.

S1S2Sn

1

(1)求证：数列是等差数列；

Sn

(2)求数列bn的通项公式；

2n13

n

(3)设Tn是数列的前项和，求证：Tn.

b2nbn2

2

【解析】（1）SnanSn1，anSnSn1(n2)，

2

SnSnSn1Sn1，即Sn1SnSn1Sn①

由题意Sn1Sn0，

11

将①式两边同除以Sn1Sn，得1，

SnSn1

111

数列是首项为1，公差为1的等差数列.

Sa

Sn11

11

（2）由（1）可知1(n1)n,Sn.

Snn

b

1

当n1时，2，即b12，

S1

bbb

当n2时，12nn12n12②，

S1S2Sn

bbb

则12n1n22n2③，

S1S2Sn1

b

nn1nnn

②③，n12n22n2，即bn2，

Sn

n

因为b12满足bn2，

n

所以bn2.

2n12n12n1

（3）由（2）可知，2nnnn

b2nbn22221

13

当n1时，T，

122

2n12n12n12n111

当n2时，2nnnnn1nn1n，

b2nbn2222121212121

1111111

所以T

n22112212212312n112n1

113

1.

22n12

3

所以T.

n2

【解题方法总结】

判断数列an是等差数列的常用方法

*

（1）定义法：对任意nN,an1an是周一常数．

*

（2）等差中项法：对任意n2,nN，湍足2anan1an1．

*

（3）通项公式法：对任意nN，都满足anpnq(p,q为常数）．

*2

（4）前n项和公式法：对任意nN，都湍足SnAnBn(A,B为常数）．

题型三：等差数列的性质

例7．（2024·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列{an}满足a2a4a6π，则

cosa1a7（）

1123

A．B．C．D．

2222

【答案】A

【解析】因为数列{an}是等差数列，

π

所以a2a4a63a4π，即a，

43

2π1

所以cosaacos2acos，

17432

故选：A

n

例8．（2024·陕西榆林·统考模拟预测）设Sn为等差数列an的前项和，若S21105，则a11

（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】A

21a1a21

【解析】由等差数列性质和的求和公式，可得S21a105，所以a115.

21211

故选：A.

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足2an1anan2，其前n项和为Sn，

若S918，则a5（）

A．2B．0C．2D．4

【答案】C

9a1a9

【解析】根据题意2an1anan2，可得数列an为等差数列，所以S18，

92

所以a1a94，

所以2a54，所以a52.

故选：C．

变式7．（2024·全国·高三专题练习）如果等差数列an中，a3a4a512，那么

a1a2a7（）

A．14B．12C．28D．36

【答案】C

【解析】∵a3a4a512，∴3a412，则a44，又a1a7a2a6a3a52a4，

故a1a2a77a428.

故选:C.

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列an是等差数列，若a1a9a177，则a3a15

等于（）

A．7B．14C．21D．7(n-1)

【答案】B

【解析】因为a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以a3a152a92714.

故选：B

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列an中，a2a46，则

a1a2a3a4a5（）

A．30B．15C．56D．106

【答案】B

【解析】∵数列an为等差数列，a2a42a36，所以a33

∴a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a35a315.

故选：B

【解题方法总结】

如果为等差数列，当时，，，，*．因此，出

{an}mnpqamanapaq(mnpqN)

现，，等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；

am－namam＋nam

1

若求a项，可由a=(a－a＋)转化为求am－n＋an＋m的值．

mm2mnmn

题型四：等差数列前n项和的性质

例10．（2024·全国·高三专题练习）两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已

S7n2a

知n，则7______．

Tnn3b7

93

【答案】

16

1313

aa2a

S1137a

【解析】由题意可知，13227，

T1313b

13bb2b7

211327

aS713293

所以713.

b7T1313316

93

故答案为:.

16

例11．（2024·全国·高三专题练习）设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且

S3n1a

n，则8______.

Tnn3b5b11

112

【答案】/1

99

【解析】等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，

15a1a15

a12a1aa11S1315111

所以88115215.

b5b112b5b112b1b15215b1b152T1521539

2

11

故答案为：

9

例12．（2024·全国·高三专题练习）若两个等差数列an，bn的前n项和分别是Sn，Tn，

S3n1a

已知n，则3______.

Tn2n3b3

162

【答案】/2

77

aa

155

a32a3a1a52S5

【解析】因为an，bn为等差数列，所以，

b2bbbb1b5T

331555

2

S3n1aS16

因为n，所以35.

Tn2n3b3T57

16

故答案为：.

7

变式10．（2024·高三课时练习）已知数列an与bn均为等差数列，且前n项和分别为Sn

S3n2a

n5

与Tn，若，则______．

Tnn1b5

29

【答案】

10

Saa3n2Saa29a29

【解析】由等差数列的求和公式得n1n，所以9195，

Tnb1bnn1T9b1b910b510

29

故答案为：

10

n

变式11．（2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）设等差数列{an}的前项和为Sn，若

S39，S636，则a4a5a6_________

【答案】27

【解析】a4a5a6S6S336927.

故答案为：27.

变式12．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列an的前

n项和为Sn，若S1020，S3090，则S20___________

【答案】50

【解析】由题设S10,S20S10,S30S20成等差数列，

所以2(S20S10)S10S30S20，则3S203S10S30150，

所以S2050.

故答案为：50

n

变式13．（2024·全国·高三专题练习）等差数列an中，a12020，前项和为Sn，若

S12S10

2，则S2022______.

1210

【答案】2022

na1anSna1an

【解析】设an的公差为d0，由等差数列的性质可知，因为S，故，

n2n2

SSaaaadSS

故nn11n1n10为常数，所以n为等差数列，设n公差为d

nn1222nn

S

a2020，12020，

11

SS

12102d2，

1210

d1，

S

202220202021(1)1，则S2022

20222022

故答案为：2022

1

n

变式14．（2024·全国·高三对口高考）已知等差数列an的前项和为Sn，若公差d，

2

S100145；则a1a3a5a99的值为__________.

【答案】60

【解析】设Pa1a3a5a97a99，Qa2a4a6a98a100，

1

因为数列an是等差数列，且公差d，S100145，

2

QPS145

所以100，解得P60，Q85，

QP50d25

L

所以a1a3a5a9960.

故答案为：60.

变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列an的项数为奇数，且奇数项的和为40，

偶数项的和为32，则a5______.

【答案】8

*

【解析】设等差数列{an}有奇数项k1项，(kN)，偶数项为k项，公差为d．

奇数项和为40，偶数项和为32，40a1a3a2k1，32a2a4a2k，

(k1)(aa)kaa

4012k1(k1)a22k

k1，32ka

22k1

40k1

即，解得：k4

32k

a1a99

即等差数列{an}共9项，且S9a72

955

a58

故答案为：8

变式16．（2024·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）在等差数列an中，前m项（m

为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且a1am12，则an的通项公式为an______.

【答案】2n18

【解析】设等差数列an的公差为d

m1a1amm1

S奇a1a3amam140

2222

m1a2am1m1

S偶a2a4am1am130

2222

S奇m14

，解得m7，且a410

S偶m13

a1a712

a13d10a16

，解得1

d2

a1a16d12

an162(n1)2n18

故答案为：2n18

【解题方法总结】

S

在等差数列中，S，S－S，S－S，…仍成等差数列；{n}也成等差数列．

n2nn3n2nn

题型五：等差数列前n项和的最值

n

例13．（2024·全国·高三专题练习）已知Sn为等差数列an的前项和，且S235，

n

a2a3a439，则当Sn取最大值时，的值为___________.

【答案】7

2a1d35,

【解析】方法一：设数列an的公差为d，则由题意得，

a2a3a43a33a12d39,

a19,

解得1

d3,

2

nn132413411681

则Sn19n3nnn.又nN，∴当n7时，Sn取

2222624

得最大值.

方法二：设等差数列an的公差为d.∵a2a3a43a339，∴a313，

∴2a3S2a3a2a3a13d9，解得d3，

则ana3n3d223n，

223n0,

令

223n10,

1922

解得n，又nN，

33

∴n7，即数列an的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，

故当Sn取得最大值时，n7.

故答案为：7.

n

例14．（2024·全国·高三专题练习）设等差数列an的前项和为Sn，已知S120，S130，

则以下选项中，最大的是（）

A．S12B．S7C．S6D．S1

【答案】C

a1a1212a6a712

【解析】因为S120，所以=0，所以a6a70，

22

a1a13132a713

又因为S130，所以=0，所以a70，

22

又a6a70，所以a60，

所以an为递减数列，且前6项为正值，从第7项开始为负值，

所以SnmaxS6，

故选：C.

n2

例15．（2024·四川·模拟预测）在数列an中，若a121，前项和Sn2nbn，则Sn的

最大值为______．

【答案】66

22

【解析】S1a1211b=21，解得b23，故Sn2n23n，属于二次函数，

23

对称轴为5.75，故当n5或6时取得最大值，

4

22

S52523565，S62623666，S6S5，

故Sn的最大值为66.

故答案为：66.

变式17．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知等差数列an的各项

均为正整数，且a92020，则a1的最小值是________

【答案】4

【解析】若等差数列an的各项均为正整数，则数列an单增，则公差dN，

故a1a98d20208d为正整数，a1关于d单减，

202025284，则当d252时，故a1取得最小值为4，

故答案为：4

n><

变式18．（2024·全国·高三专题练习）设Sn是等差数列an的前项和，若S250，S260，

S

则数列nnN,n25中的最大项是第______项.

an

【答案】13

【解析】由已知可得数列{an}是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数

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