2025年高考数学必刷题分类：第71讲、面积问题（学生版）

第71讲面积问题

知识梳理

1、三角形的面积处理方法

1

（1）S△底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）

2

111

（2）S△水平宽·铅锤高ABxx或S△CDyy

22ED2AE

（）在平面直角坐标系中，已知△的顶点分别为，，，，

3xOyOMNO(00)M(x1y1)

1

N(x，y)，三角形的面积为Sxyxy．

2221221

2、三角形面积比处理方法

（1）对顶角模型

1

OAOCsin

SOAOC

OAC2

S1OBOD

OBDOBODsin

2

（2）等角、共角模型

1

OAOCsin

SOAOC

OAC2

S1OBOD

OBDOBODsin

2

3、四边形面积处理方法

（1）对角线垂直

1

SACBD

2

（2）一般四边形

1

SACBDsin

2

（3）分割两个三角形

1

SAC(dd)

212

4、面积的最值问题或者取值范围问题

一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数

的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有

界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度

为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．

必考题型全归纳

1

题型一：三角形的面积问题之S△底·高

2

x2y2

例1．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为

a2b2

1

F(3,0)，且过点A3,.

12

(1)求C的方程；

(2)不过原点O的直线l与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.

（i）求l的斜率；

（ii）求△OPQ的面积的取值范围.

1

例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A(,0)，

2

1

点B在直线l:x上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.

2

(1)求动点M的轨迹E的方程；

(2)设点P是轨迹E上的动点，点R,N在y轴上，圆C:(x1)2y21内切于△PRN，求

△PRN的面积的最小值.

例3．（2024·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难

入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以

解决，已知曲线C上任意一点Px,y满足(x2)2y2(x2)2y22.

(1)化简曲线C的方程；

(2)已知圆O:x2y21（O为坐标原点），直线l经过点Am,0(m1)且与圆O相切，过点

A作直线l的垂线，交C于M,N两点，求OMN面积的最小值.

x2y2

变式1．（2024·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线1(a0,b0)实轴的一个端点是

a2b2

11

P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为,.

22

(1)求双曲线的方程；

1

(2)若直线ykx(0k1)与曲线C有两个不同的交点A、B,O是坐标原点，求OAB的

k

面积最小值.

变式2．（2024·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆

x2y2

E:1(ab0)过点M2,1，且左焦点为F12,0.

a2b2

(1)求椭圆E的方程；

(2)ABC内接于椭圆E，过点P4,1和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC

交于点Q，满足APQDAQPD，求ABC面积的最大值.

题型二：三角形的面积问题之分割法

4

例4．（2024·全国·高三专题练习）设动点M与定点Fc,0c0的距离和M到定直线l：x

c

c

的距离的比是．

2

(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)当c2时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：y24x相切，且与曲线交

于点A，B．求AOB面积的最大值．

例5．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为

1

坐标轴，焦点在y轴上，离心率e，且过点P3,2)．

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l与椭圆交于A，B两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，点M0,8)，求三角形MAB

面积的最大值．

x2y2

例6．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线1,(a0,b0)的离心率为2，

a2b2

右焦点F到渐近线的距离为3．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线l，直线l与双曲线的渐近线

分别交于M，N两点，求FMN的面积的最小值．

x2y2

变式3．（2024·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）过椭圆1的右焦点

43

F作两条相互垂直的弦AB，CD.AB，CD的中点分别为M，N.

(1)证明：直线MN过定点；

(2)若AB，CD的斜率均存在，求FMN面积的最大值.

题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化

2

2y

例7．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线C:x1的左右焦点分别为F1、F2，

3

若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足PF1PF28，过点P分别作双曲线C两

条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.

（1）求四边形OAPB的面积；

x2y2

（2）若对于更一般的双曲线C:1a0,b0，点P为双曲线C上任意一点，过

a2b2

点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.请问四

边形OAPB的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a、b表示该定值）；若不是定值，

请说明理由.

x2y2

例8．（2024·浙江·高三竞赛）已知直线l与椭圆C：1(ab0)交于A、B两点，

a2b2

直线AB不经过原点O.

（1）求OAB面积的最大值；

（2）设M为线段AB的中点，延长OM交椭圆C于点P，若四边形OAPB为平行四边形，

求四边形OAPB的面积.

2

x2

例9．（2024·全国·高三专题练习）F1,F2分别是椭圆于y1的左、右焦点.

4

若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；

(1)РPF1PF2

(2)设A2,0,B0,1是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、

F两点.求四边形AEBF面积的最大值.

变式4．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y24x

的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点（其中点A在第一象限），过点A作C的切线交

x轴于点P，直线PB交C于另一点Q，直线QA交x轴于点T.

(1)求证：AFATBFQT；

S3

(2)记AOP，△AFT，△BQT的面积分别为S1，S2，S3，当点A的横坐标大于2时，求

S2S1

的最小值及此时点A的坐标.

变式5．（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆E：

x2y22

1(ab0)的一个顶点为A0,1，离心率为，F为椭圆E的右焦点．

a2b22

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过F且斜率为k的直线与椭圆E交于D，G两点，若满足ADAG，求k的值；

(3)过点P2,0的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l：xt的垂线（点

B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记BMP，△MNP，CNP的面积分别为S1，

1

S，S，试问：是否存在常数t，使得S，S，S总成等比数列？若存在，求出t的值，

231223

若不存在，请说明理由．

2

变式6．（2024·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知圆C:x3y216，点G3,0，

圆周上任一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若过点1,0的动直线n与椭圆C相交于M,N两点，直线l的方程为x4.过点M作

MT^l于点T，过点N作NRl于点R.记GTR,GTM,GRN的面积分别为S，S1，S2.

问是否存在实数，使得S1S2S0成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明

理由.

变式7．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线：y24x的焦

点为F，经过x轴正半轴上点Mm,0的直线l交于不同的两点A和B.

(1)若FA3，求A点的坐标；

(2)若m2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；

(3)若FAFM，且直线l1//l，l1与有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存

在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面

积公式：在ABC中，设CAax1,y1，CBbx2,y2，则ABC的面积为

12221

Sababx1y2x2y1

22

△

变式8．（2024·四川眉山·高三校考阶段练习）在PF1F2中，已知点F13,0，F23,0，

△

PF1边上的中线长与PF2边上的中线长之和为6；记PF1F2的重心G的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)若圆O：x2y21，E0,1，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相交

于点A，B，直线EA，EB与曲线C的另一个交点分别是点M，N，求EMN面积的最大

值.

题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型

例10．（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线C:x22py(p0)，过点P(0,2)的直线l与C

交于A,B两点，当直线l与y轴垂直时，OAOB（其中O为坐标原点）.

(1)求C的准线方程；

(2)若点A在第一象限，直线l的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与y轴交于点T，连接TB

交C于另一点为D，直线AD与y轴交于点Q，求△APQ与ADT面积之比的最大值.

例11．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆

x2y2c

E:1(ab0),ca2b2，且过(2,0),1,两点．

a2b2a

(1)求椭圆E的方程和离心率e；

(2)若经过M(1,0)有两条直线l1,l2，它们的斜率互为倒数，l1与椭圆E交于A，B两点，l2与

椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：△OPQ与MPQ的面积之

比是否为定值？

若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

x2y2

例12．（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）设椭圆1(ab0)的左右顶点分别为

a2b2

A1,A2，右焦点为F，已知A1F3,A2F1．

(1)求椭圆方程及其离心率；

(2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面

积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．

变式9．（2024·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知定点F(2,0)，关于原点O对称的动

|PF||QF|

点P，Q到定直线l:x4的距离分别为dp，dQ，且，记P的轨迹为曲线C.

dpdQ

(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？

1

(2)已知点M，N是直线m:xy2与曲线C的两个交点，M，N在x轴上的射影分别

k

为M1，N1（M1，N1不同于原点O），且直线M1N与直线l:x4相交于点R，求RMN与

△RM1N1面积的比值.

变式10．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：y22pxp0上一点

5

Aa,aa0到焦点F的距离为．

2

(1)求抛物线C的方程；

2

(2)过点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点，直线OP,OQ与圆E：x2y24的另一

交点分别为M,N,O为坐标原点，求△OPQ与OMN面积之比的最小值．

y2x2

变式11．（2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆C:1(ab0)

a2b2

的左、右顶点分别为A,B，长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运动，且ABP面积的最大

值为8．

(1)求C的方程；

(2)若直线l经过点Q1,0，交C于M,N两点，直线AM,BN分别交直线x4于D，E两点，

试问△ABD与AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知A，B分别是椭圆C：

x2y21

1ab0的右顶点和上顶点，AB5，直线AB的斜率为.

a2b22

(1)求椭圆的方程；

(2)直线l//AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D.

（i）求OCM的面积与△ODN的面积之比；

22

（ⅱ）证明：CMMD为定值.

题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型

x2y2

例13．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆C:1ab0的离心率

a2b2

22

为，且C经过点1,．

22

(1)求椭圆C方程；

(2)直线ykx(k0)与椭圆C交于点M、N,F为C的右焦点，直线MF、NF分别交C于另

S

△、1

一点M1、N1，记FMN与FM1N1的面积分别为S1S2，求的范围．

S2

例14．（2024·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系xoy中，点B与点A1,1关于原点O

1

对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．

3

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)设直线AP和BP分别与直线x3交于点M，N,问：是否存在点P使得PAB与PMN的

面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

例15．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线的方程为

22

2xy

x2pyp0，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为1ab0，过F的直线l

a2b2

与抛物线交于M，N两点，反向延长OM，ON分别与椭圆交于P，Q两点．

(1)求kOMkON的值；

22

(2)若OPOQ5恒成立，求椭圆的方程；

S△OMN

(3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线的方程（其中S△OMN，SOPQ分别是

S△OPQ

OMN和△OPQ的面积）．

x2y2

变式13．（2024·四川·校联考一模）已知点2,0在椭圆C:1ab0上，点

a2b2

1

Mm,m0在椭圆C内．设点以A,B为C的短轴的上、下端点，直线AM,BM分别与

2

1

椭圆C相交于点E,F，且EA,EB的斜率之积为．

4

(1)求椭圆C的方程；

S

记，分别为，的面积，若，求AMF的取

(2)S△BMESAMFBMEAMFm3,11,3

SBME

值范围．

变式14．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点2,0在椭圆C：

x2y21

1(ab0)上，点Mm,m0在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端

a2b22

1

点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.

4

(1)求椭圆C的方程；

S1

△AMF

(2)记S△BME，SAMF分别为BME，AMF的面积，若，求m的值.

S△BME4

x2y2

变式15．（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆C:1ab0

a2b2

1

的左、右焦点为F,F，离心率为.点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线PF,PF分

12212

别与椭圆C交于点A,B，△PF1B的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

SS

△21

(2)设PF1F2，△PF1B，PAB的面积分别为S1,S2,S3.求证：为定值.

S3S2S2S1

题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型

x2y2

例16．（2024·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线E:1a0,b0的左、右焦点

a2b2

x

分别为F,F，FF25，且E的渐近线方程为y．

12122

(1)求E的方程；

(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四

边形ABCD面积的最小值．

x2y2

例17．（2024·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E：1(ab0)的左、右

a2b2

焦点分别为F1，F2，M为椭圆E的上顶点，MF1MF20，点N2,1在椭圆E上.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设经过焦点F2的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求

四边形ACBD的面积的最小值.

例18．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知直线l:xy10与抛物线C:x22py(p0)交

于A,B两点，AB8.

(1)求p；

(2)设抛物线C的焦点为F，过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E,G，求四边形AEBG

的面积.

题型七：四边形的面积问题之一般四边形

x2y2

例19．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆C:1ab0过

a2b2

36

1,和2,两点.

22

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线x4上运动时，直线AM，

BM分别交椭圆于两点P和Q.

（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；

（ii）求四边形APBQ面积的最大值.

x2y2

例20．（2024·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知椭圆C：1ab0经过点

a2b2

22

P,，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直

33

1

线l与直线OM的斜率乘积为.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.

x2y2

例21．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆C:1(ab0)

a2b2

xxyy

上的两个点Ax,y,Bx,y满足12120，则称A,B为该椭圆的一个“共轭点对”，

1122a2b2

记作A,B.已知椭圆C的一个焦点坐标为F122,0，且椭圆C过点A3,1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求“共轭点对”A,B中点B所在直线l的方程；

(3)设O为坐标原点，点P,Q在椭圆C上，且PQ//OA，（2）中的直线l与椭圆C交于两点

B1,B2，且B1点的纵坐标大于0，设四点B1,P,B2,Q在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形

B1PB2Q的面积小于83.

x2y2

变式16．（2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆C1：1（ab0）

a2b2

2

左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2:y8x的焦点，P(2,2)为椭圆C1上一点.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)已知A，B为椭圆C1上不同两点，且都在x轴上方，满足F1AF2B.

（ⅰ）若3，求直线F1A的斜率；

2

（ⅱ）若直线F1A与抛物线yx无交点，求四边形F1F2BA面积的取值范围.

x2y2

变式17．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知椭圆E:1ab0的离

a2b2

2

心率e，且经过点2,1.

2

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线l:ykxm与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形OAMB

为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形OAMB的

面积；若不是定值，请说明理由.

变式18．（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆C：

x2y2

1（ab0）中有如下性质：不过椭圆中心O的一条弦PQ的中点为M，当PQ，

a2b2

b2x2y2

OM斜率均存在时，kk，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆E：1，

PQOMa2819

直线OP与椭圆E交于A，B两点，且OA3OP，其中O为坐标原点.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)过点P作直线CD交椭圆E于C，D两点，使PCPD0，求四边形ACBD的面积.

变式19．（2024·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知抛物线E：y=x2与圆M：

2

x2y4r2r0相交于A，B，C，D四个点．

(1)当r2时，求四边形ABCD的面积；

(2)四边形ABCD的对角线交点是否可能为M，若可能，求出此时r的值，若不可能，请说

明理由；

(3)当四边形ABCD的面积最大时，求圆M的半径r的值．

2

x2

变式20．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆C1：y1（a1）与椭圆C2：

a2

x2y2

1（0b23）的离心率相同，且椭圆C2的焦距是椭圆C1的焦距