2025年高考数学必刷题分类：第90讲、事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（学生版）

第90讲事件的相互独立性、条件概

率与全概率公式

知识梳理

知识点1、条件概率

（一）定义

P(AB)

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条

P(A)

件下，事件B发生的条件概率．

注意：（1）条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件；（2）若P(A)0，表示条件A不可能

发生，此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(A)0的

情况下进行．

（二）性质

（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1．

（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．

（3）如果B与C互斥，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)．

注意：（1）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)P(B|A)；

（2）已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看

nAB

nABnPAB

作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)．

nAnAPA

n

知识点2、相互独立与条件概率的关系

（一）相互独立事件的概念及性质

（1）相互独立事件的概念

对于两个事件A，B，如果P(B|A)P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B发生

P(AB)

的概率．设P(A)0，根据条件概率的计算公式，P(B)P(B|A)，从而

P(A)

P(AB)P(A)P(B)．

由此我们可得：设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相

互独立．

（2）概率的乘法公式

由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A)．我

们称上式为概率的乘法公式．

（3）相互独立事件的性质

如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

（4）两个事件的相互独立性的推广

*

两个事件的相互独立性可以推广到n(n2，nN)个事件的相互独立性，即若事件A1，

A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2An)P(A1)(A2)P(An)．

（二）事件的独立性

（1）事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)P(A)P(B)．

（2）当P(B)0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)P(A)．

P(AB)P(A)P(B)

（3）如果P(A)0，A与B独立，则P(B|A)P(B)成立．

P(A)P(A)

知识点3、全概率公式

（一）全概率公式

（1）P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)；

（2）定理1若样本空间中的事件A1，A2，…，An满足：

①任意两个事件均互斥，即AiAj，i，j1，2，，n，ij；

②A1A2An；

③，．

PAi0i1，2，，n

则对中的任意事件B，都有BBA1BA2BAn，且

nn

．

P(B)P(BAi)P(Ai)P(B|Ai)

i1i1

注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干

简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．

（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可

能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．

（二）贝叶斯公式

（1）一般地，当0P(A)1且P(B)0时，有

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

P(AB)

P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

，，，

（2）定理2若样本空间中的事件A1A2An满足：

①任意两个事件均互斥，即AiAj，i，j1，2，，n，ij；

②A1A2An；

③0PAi1，i1，2，，n．

则对中的任意概率非零的事件B，都有BBA1BA2BAn，

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

且P(AB)jjjj

jP(B)n

P(Ai)P(B|Ai)

i1

注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻

找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法

就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之

为后验概率．

（2）贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|A)，P(AB)之

P(AB)

间的转关系，即P(A|B)，P(AB)P(A|B)P(B)P(B|A)P(A)，

P(B)

P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)之间的内在联系．

必考题型全归纳

题型一：条件概率

例1．（2024·云南大理·统考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩

第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，

但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数

学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；

小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家

心目中每个小孩是诚实的概率是0.9．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是

（）

3579

A．B．C．D．

571014

例2．（2024·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科

技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每

次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的

概率为（）

1127

A．B．C．D．

410512

例3．（2024·广西柳州·统考模拟预测）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾

的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为

0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为（）

A．0.5B．0.625C．0.8D．0.9

变式1．（2024·河南南阳·高三南阳中学校考开学考试）袋子中装有大小､形状完全相同的

2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到

红球的概率为（）

1123

A．B．C．D．

2334

变式2．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）有首歌道“大理三月好风光，蝴蝶泉边好

梳妆”，近年来大理州一直致力开发旅游事业，吸引着大批的游客前往大理旅游.现有甲、乙

两位游客慕名来到大理，准备从苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五个景点中随

机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择蝴蝶泉”，事件B为“甲和乙选择的

景点不同”，则PB∣A（）

385

A．B．C．2D．

592

变式3．（2024·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）从1、2、3、4、5、6、7这7

个数中任取5个不同的数，事件A：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件B：“取出的

5个不同的数的平均数是4”，则PBA（）

1913

A．B．C．D．

73537

【解题方法总结】

用定义法求条件概率P(BA)的步骤

（1）分析题意，弄清概率模型；

（2）计算P(A)，P(AB)；

P(AB)

（3）代入公式求P(B|A)．

P(A)

题型二：相互独立事件的判断

例4．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知A，B，C为三个随机事件且PA，PB，

PC>0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

例5．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知事件A，B满足0PA1，

0PB1，则不能说明事件A，B相互独立的是（）

A．PABPABB．PABPA

C．PBAPBD．PBAPBA

例6．（2024·福建南平·高三福建省政和第一中学校考阶段练习）甲箱中有5个红球，2

个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入

乙箱中，分别以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中

随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）

25

A．PBB．PBA1

511

C．事件B与事件A1不相互独立D．A1，A2，A3两两互斥

变式4．（2024·全国·高三专题练习）某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能

且相互独立的．记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件B：该家庭最多有一个男孩；事

件C：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是（）

A．事件B与事件C互斥但不对立B．事件A与事件B互斥且对立

C．事件B与事件C相互独立D．事件A与事件B相互独立

变式5．（2024·全国·高三专题练习）随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要

重视足球教育．某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，

开设了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四类足球体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意

挑选两门课程学习，设事件A“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B“甲乙两人所选

课程完全不同”，事件C“甲乙两人均未选择‘5人制’课程”，则（）

A．A与B为对立事件B．A与C互斥C．A与C相互独立

D．B与C相互独立

变式6．（2024·四川宜宾·统考三模）同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件甲表示“第

一枚骰子向上的点数为奇数”，事件乙表示“第二枚骰子向上的点数为偶数”，事件丙表示“两

枚骰子向上的点数之和为6”，事件丁表示“两枚骰子向上的点数之和为7”，则（）

5

A．事件甲与事件乙互斥B．P丙|乙

72

C．事件甲与事件丁相互独立D．事件丙与事件丁互为对立事件

【解题方法总结】

判断事件是否相互独立的方法

（1）定义法：事件A，B相互独立P(AB)P(A)P(B)．

（2）由事件本身的性质直接判定两个⇔事件发生是否相互影响．

（3）条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断．

题型三：相互独立事件概率的计算

例7．（2024·天津·校联考一模）某产品的质量检验过程依次为进货检验（IQC）、生产过

4

程检验（IPQC）、出货检验（OQC）三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为，IPQC

5

3

的单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一

4

次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立，则

一件该产品能进入OQC环节的概率为．

例8．（2024·全国·高三专题练习）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，

选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题

的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下

一轮的概率为.

例9．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投

且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概

11

率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为.

32

变式7．（2024·全国·校联考模拟预测）已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛，比

赛规则如下：①每场比赛有两位选手参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的选手与未参加此

场比赛的选手进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一位选手首先获胜两场，则本次比赛结

1

束，该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率

3

31

为，乙胜丙的概率为，且甲与乙先参加比赛，则甲获得第一名的概率为.

42

变式8．（2024·山东·高三专题练习）无症状感染者被认为是新冠肺炎疫情防控的难点之

一．国际期刊《自然》杂志中一篇文章指出，30%~60%的新冠感染者无症状或者症状轻微，

但他们传播病毒的能力并不低，这些无症状感染者可能会引起新一轮的疫情大爆发．我们把

与病毒携带者有过密切接触的人群称为密切接触者．假设每名密切接触者成为无症状感染者

1

的概率均为，那么4名密切接触者中，至多有2人成为无症状感染者的概率为．

3

变式9．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）某电视台的夏日水上闯关节目

3

一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为2，．只有通过前一关才能进入下一关，每

34

一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关

的概率为．

变式10．（2024·浙江·高三专题练习）2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国

家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成

为“最美逆行者”．武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似

的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，

强化网格化管理，不落一户､不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的

密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，

则将该小区确定为“感染高危小区”．假设每人被确诊的概率均为p0p1且相互独立，

若当pp0时，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大值，则

p0．

【解题方法总结】

（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤

①首先确定各事件之间是相互独立的．

②求出每个事件的概率，再求积．

（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个

事件是相互独立的．

题型四：相互独立事件概率的综合应用

例10．（2024·河南焦作·高三统考开学考试）小李参加某项专业资格考试，一共要考3个

科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2

相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过

关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（0p1），且每个科目每次考试的结果

互不影响．

(1)记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为fp，求fp的最大值点p0．

(2)以（1）中确定的p0作为p的值．

（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；

（ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求EX．

例11．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）某猎人发现在距离他100米处的

3

位置有一只猎物，如果直接射击，则只射击一次就击中猎物的概率为，为了有更大的概率

5

击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相互独立，猎人每次射击击中猎物的

概率与他和猎物之间的距离成反比.

(1)如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受

到惊吓奔跑，使得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50米；如果第二次射击仍然没

有击中猎物，则第三次射击时猎物和他之间的距离又增加了50米，如此进行下去，每次射

击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他之间的距离都会增加50米，当猎人击中猎物或

发现某次射击击中的概率小于2时就停止射击，求猎人停止射击时射击次数的概率分布列与

9

数学期望.

(2)如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距

离保持不变，如果希望至少击中猎物一次的概率超过98%，至少要连续射击多少次?

附:ln20.693,ln31.099,ln51.609.

例12．（2024·河北沧州·校考三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由

两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，

按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经

过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛

1

甲胜概率为1，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为2，每局比赛相互独立且

233

每局比赛没有平局.

(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；

(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.

变式11．（2024·贵州·校联考模拟预测）某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动

中举办了“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一

局比赛中甲组获胜的概率为p0p1，且甲组最终获得冠军的概率为1（每局比赛没有

2

平局）.

(1)求p；

(2)已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如

果比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，请问按此方案，甲组、乙组

分别可获得多少个篮球?

变式12．（2024·河南郑州·统考模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手

工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白

描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序B，工序C.

123

经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣

234

体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参

与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工

序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技

术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.

(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；

(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.

变式13．（2024·广东阳江·高三统考阶段练习）部分高校开展基础学科招生改革试点工作

（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已

知A,B两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考

2

生报考A大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考B大学，每门科目达到优秀

5

12

的概率依次为，，n，其中0n1.

45

1

(1)若n，分别求出该考生报考A,B两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

3

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期

望为依据作出决策，该考生更有希望进入A大学的面试环节，求n的范围.

【解题方法总结】

1、求复杂事件的概率一般可分三步进行

（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；

（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；

（3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．

2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，

考查原事件的对立事件，用间接法处理．

题型五：全概率公式及其应用

例13．（2024·江西·高三校联考阶段练习）某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同

3

学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮

4

2

球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率

3

为.

例14．（2024·江苏南京·高三统考开学考试）某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占

10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦

种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为．

例15．（2024·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）某篮球队教练对近两年队员甲参加

过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场

30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计

概率，则甲参加比赛时，该该球队某场比赛获胜的概率为.

变式14．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产

的占40%，乙工厂生产的占60%.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为3%，

2%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是.

变式15．（2024·江苏镇江·高三统考开学考试）现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､

2个黑球，2号罐子中装有4个红球､2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐

子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为.

变式16．（2024·福建·校联考模拟预测）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中

随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是.

变式17．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知

PA0.4,PBA0.2,PBA0.3，则PB．

【解题方法总结】

n

全概率公式在解题中体现了化整为零、各个击破的转化思想，

P(B)P(Ai)P(B|Ai)“”

i1

可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．

题型六：贝叶斯公式及其应用

例16．（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，

甲厂加工的次品率为6%，乙厂加工的次品率为5%，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分

别占当地市场总数的45%，55%，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件、则买到的零

件是次品，且是甲厂加工的概率为．

例17．（2024·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考开学考试）有3台车床加工同一

型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品

率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的

10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车

床加工出来的概率为．

29．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题

3

的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回

5

答正确，则他确实会答该题的概率是.

29．（2024·河南安阳·统考二模）学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两

份，第1份占总数的40％，次品率为5％，第2份占总数的60％，次品率为4％．若李老师

分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为．

30．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上

班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，

111

坐公交车，骑共享单车的概率分别为,,，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概

333

111

率分别为,,，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是．

456

31．（2024·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）有三个笼子，里面分别放有两只雄

兔一只雌兔、两只雄兔两只雌兔、以及三只雌兔.如果在从一个笼子里拿出一只雄兔之后，

那么再从这个笼子里取出雄兔的概率为.

32．（2024·全国·高三专题练习）某人下午5：00下班，他所积累的资料如表所示

到家时间5：35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54晚于5：54

乘地铁到家的概

0.100.250.450.150.05

率

乘汽车到家的概

0.300.350.200.100.05

率

某日他抛一枚硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，结果他是5：47到家的，则他是乘地铁

回家的概率为．

【解题方法总结】

1、利用贝叶斯公式求概率的步骤

n

第一步：利用全概率公式计算，即；

P(A)P(A)P(Bi)P(A|Bi)

i1

第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)P(B)P(A|B)求解；

P(AB)

第三步：代入P(B|A)求解．

P(A)

P(AB)

2、贝叶斯概率公式反映了条件概率P(B|A)，全概率公式

P(A)

n

及乘法公式之间的关系，即

P(A)P(Bi)P(A|Bi)P(AB)P(B)P(A|B)

i1

P(BA)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)

P(BA)jjjjj．

jP(A)P(A)n

P(Bi)P(A|Bi)

i1

题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用

例18．（2024·福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，

促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一

个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制

采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是

否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，

3

根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余4名

4

1

队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）

2

(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率；

(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.

例19．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知外形完全一样的某品牌电

1

子笔6支装一盒，每盒中的电子笔次品最多一支，每盒电子笔有次品的概率是.

10

(1)现有一盒电子笔，抽出两支来检测.

①求抽出的两支均是正品的概率；

②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率.

(2)已知甲乙两盒电子笔均有次品，由于某种原因将两盒笔完全随机的混合在了一起，现随

机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中次品的数目，求的分布列和期望.

例20．（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）甲，乙，丙三个厂家生产的手机充

电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，

80%．

(1)当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为X，

求X的概率分布列，期望和方差；

(2)现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生

产的概率．

变式18．（2024·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）英国数学家贝叶斯（1701-1763）

在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出

了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式

为：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且PAi0，i1,2,,n，

PAiPBAiPAiPBAi

则对任意的事件B，PB0，有PAiBn，

PBPAPBA

k1kk

i1,2,,n.现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，每加工一个零

件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分

钟，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，

30%，45%.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X（分钟）的分布列和数学期望.

变式19．（2024·全国·高三专题练习）为提升学生的综合素养能力，学校积极为学生搭建

平台，组织学生参与各种社团活动.在学校辩论队活动中，甲同学积极参与.为了更好的了解

每个同学的社团参与情况和能力水平，对每位参与辩论队的同学进行跟踪记录.社团老师了

解到，甲自加入辩论队以来参加过100场辩论比赛：甲作为一辩出场20次，其中辩论队获

胜14次；甲作为二辩出场30次，其中辩论队获胜21次；甲作为三辩出场25次，其中辩论

队获胜20次；甲作为四辩出场25次，其中辩论队获胜20次.用该样本的频率估计概率，则：

(1)甲参加比赛时，求该辩论队某场比赛获胜的概率；

(2)现学校组织6支辩论队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获

胜才可晋级.社团老师决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在辩论队顺利晋级，记其获胜的

场数为X，求X的分布列和数学期望.

变式20．（2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）某兴趣小组为研究一种地方性

疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设A=“患有地方

312

性疾病”，B=“卫生习惯良好”.据临床统计显示，P(A|B)，P(B|A)，该地人群中卫

413

4

生习惯良好的概率为.

5

(1)求P(A)和P(A|B)，并解释所求结果大小关系的实际意义；

(2)为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为

m(mN*)的样本，利用独立性检验，计算得K22.640.为提高检验结论的