2025年高考数学必刷题分类：第74讲、存在性问题的探究（学生版）

第74讲存在性问题的探究

知识梳理

题型一：存在点使向量数量积为定值

例1．（2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x

2

轴上，椭圆的左顶点坐标为2,0，离心率为e．

2

1求椭圆E的方程；

2过点1,0作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MPMQ

为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

x2y2

例2．（2024·山西大同·高二统考期末）已知椭圆1(ab0)的一个焦点与抛物线

a2b2

y243x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使

PEQE恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

例3．（2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆C的中心在坐标原

点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为23.点P在椭圆C上，且满足PF1F2

的周长为6.

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一定点M，

使得MAMB恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由.

x2y22

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，椭

a2b22

2

圆经过点A1,.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点(1,0)作直线l交C于M,N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PMPN

为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由.

x2y2

变式2．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知F1､F2为双曲线E:1(a0,b0)的左、

a2b2

右焦点，E的离心率为5,M为E上一点，且MF2MF12.

(1)求E的方程；

(2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的A､B两点，且点M在以线段AB为直径的

圆上，过M作MCAB，垂足为C，是否存在点D，使得CD为定值？若存在，求出点D

的坐标；若不存在，请说明理由.

x2y22

变式3．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆C:1ab0的离心率为，

1a2b22

2

且直线yxb是抛物线C2:y4x的一条切线．

(1)求椭圆C1的方程；

1

(2)过点S0,的动直线L交椭圆C1于A,B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个

3

定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理

由．

x2y2

变式4．（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆C:1(ab0)的左顶点为A，

a2b2

过右焦点F且平行于y轴的弦PQAF3．

(1)求△APQ的内心坐标；

(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足

MRNDMDRN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．

题型二：存在点使斜率之和或之积为定值

例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知为O坐标原点，A2,0,B0,1,C0,1,D2,1，

OEOA,DFDA,01，CE和BF交点为P.

(1)求点P的轨迹G；

1

(2)直线yxm(m0)和曲线G交与M，N两点，试判断是否存在定点Q使kk？

MQNQ4

如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由.

例5．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点A2,0，B2,0，Px,y

3

是异于A，B的动点，kAP，k分别是直线AP，BP的斜率，且满足kk.

BPAPBP4

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)在线段AB上是否存在定点E，使得过点E的直线交P的轨迹于M，N两点，且对直线

x4上任意一点Q，都有直线QM，QE，QN的斜率成等差数列.若存在，求出定点E，若

不存在，请说明理由.

x2y2

例6．（2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线C:1(a0,b0)的右焦点F为

a2b2

425

圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q,

33

(1)求C的方程.

(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于

A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明

理由.

变式5．（2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为

x2y28mx(6m2)y6m10(mR,m0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.

（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；

（2）判断直线4x3y30与圆C的位置关系，并证明你的结论；

（3）当m2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；

在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线QA，QB的

斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.

x2y2

变式6．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：1ab0的左、右焦

a2b2

点分别为F1，F2，焦距为2，实轴长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点F1不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在一

个点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

变式7．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆

22

xy1

C:1ab0的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，

a2b22

△

且PF1F2的周长是6.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存

在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存

在，请说明理由.

x2y22

变式8．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆C：（1a＞b＞0)的离心率是，过点

a2b22

P0,1的动直线L于椭圆相交于A,B两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截得弦

长为22．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）在y上是否存在与点P不同的定点Q，使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在，

求Q的坐标；若不存在，说明理由．

题型三：存在点使两角度相等

2

x2、

例7．（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆C:y1(a1)的左右焦点分别为F1F2，

1a2

A,B分别为椭圆C1的上，下顶点，F2到直线AF1的距离为3．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)直线xx0与椭圆C1交于不同的两点C,D，直线AC,AD分别交x轴于P,Q两点．问：y

π

轴上是否存在点R，使得ORPORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明

2

理由．

x2y2

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1ab0经过点A2,0且两个

a2b2

焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，

且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得AMEEFM？

若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.

2

例9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆C:x1y216上的任意一点，点F1,0，

线段AF的垂直平分线交AC于点P．

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)若过点G3,0且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点

B2,0．问：x轴上是否存在定点T，使得MTONTB恒成立．若存在，请求出点T的

坐标，若不存在，请说明理由．

x2y2

变式9．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆C:1(a0)经过点

a23

3

（1,），过点T3,0的直线交该椭圆于P，Q两点.

2

(1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；

(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点Ss,0使得PSTQST恒成立？若存在，

求出s的值；若不存在，说明理由.

变式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆

x2y22

过点1,，且上顶点与右顶点的距离为．

C:221ab03

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点P3,0的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得PQAPQBπ，

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

变式11．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，动点M

到点D2,0的距离等于点M到直线x1距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

1

(2)已知直线l：yxtt2与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P,Q满足

2

APBAQB90，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.

题型四：存在点使等式恒成立

2

例10．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知R是圆M：x3y28上的动点，点

N3,0，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨

迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若过点P2,0的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴

上是否存在定点Q，使得QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.

x2y2

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆:1(ab0)的左、右焦点分别为F,F，

a2b212

过点B0,b且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D，且2F1F2F2D0．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若过B、D、F2三点的圆恰好与直线l:x3y60相切，求椭圆Γ的方程；

(3)设a2．过椭圆右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是

点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线？若存

在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

例12．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近

线的距离为3，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，

1

且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与

2

椭圆交于另一点N．

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；

(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得xP4xT(其中xP，xT为点P，T的横坐标)，

若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

变式12．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆

22

xy2129

E:1的左顶点和右焦点分别为A,F，动点P满足|PA||PF|，记动点P的

4322

轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)设点Q在E上，过Q作C的两条切线，分别与y轴相交于M,N两点.是否存在点Q，使得

MN等于E的短轴长？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

3

变式13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点F0,的距离比它到直线l：y=2

2

1

的距离小，记动点M的轨迹为E.

2

(1)求E的方程；

(2)若过点F的直线交E于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，

使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且AB3CD？若存在，请求出P点坐标，若不

存在，请说明理由.

x2y2

变式14．（2024·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆E:1(ab0)的焦距为

a2b2

2，长轴长为4.

(1)求椭圆E的方程及离心率；

(2)过点M3,0且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x轴的

对称点为B.问：平面内是否存在定点P，使得B恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐

标；若不存在，说明理由.

题型五：存在点使线段关系式为定值

223

例13．（2024·全国·高三专题练习）椭圆E经过两点1,，,，过点P的动直线l

222

与椭圆相交于A，B两点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜

率为k2，求证：k1k20；

(3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同

QAPA

的定点Q，使得恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明．

QBPB

2y2

例14．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C与双曲线x1有相同的渐近线，

123

且过点A(22,1).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点D(2,0)，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且DE·DF0，DGEF于点G，

证明:存在定点H，使GH为定值.

x2y2

例15．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C：1ab0的离心率为

a2b2

1

，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，AB3．

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当直线l的斜率为kk0时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点

到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

变式15．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆E的中心为坐标原点，

3

对称轴为坐标轴，且过点A2,0，B1,.直线xt（不经过点B）与椭圆E交于M,N两

2

点，Q1,0，直线MQ与椭圆E交于另一点C，点P满足QPNC0，且P在直线NC上.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线NC过定点，且存在另一个定点R，使PR为定值.

变式16．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线

x2y2

C:1a0,b0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF1，点M在线

a2b2

段AB上，且满足BM3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.

(1)求双曲线C的方程.

(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点

E，使得EPFQEQFP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.