2025年天津市部分区高考数学质检试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年天津市部分区高考数学质检试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|−1<x≤1}，则A∩(∁RB)=A.{−1,0,1} B.{0,1} C.{−2,−1,1} D.{−2,−1,2}2.“lga=lgb”是“(12)aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列说法中，不正确的是(

)A.在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8

B.分类变量A与B的统计量χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大

C.根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为y​=b​x+a​，若b4.设a=(12)sinπ3，b=0.2−0.2，c=log1A.b<c<a B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a5.设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是(

)A.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n B.若m//α，n//α，则m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m//α，m⊥n，则n⊥α6.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且4a1,A.116 B.19 C.9 7.函数f(x)=2cos2x+3sin2x−m在区间[A.(−2,−1] B.[−2,1] C.(−1,0] D.[−1,0]8.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为8π，AB=BC=AC=OO1A.36π B.64π C.128π D.256π9.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，C上一点M(−3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2A.(−5,5) B.(−4,4) C.(−5,4) D.(−4,5)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，复数2+i1−i=11.在(x+2x2)6的展开式中，常数项为12.已知圆C的方程为x2+y2−2my−1=0(m∈R).当圆C的面积最小时，直线3x−4y+a=0(a>0)与圆C13.某中学组建了A，B，C，D，E五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响.记事件M为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A”，则P(M)=______；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A，则恰巧甲参加社团A的概率为______．14.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，且CE=13ED，BE=λBA+μBC，则λ+μ=______；若15.已知a>0，函数f(x)=−x2+3ax−a,x≤12,1x+alnx,x>1三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=7，c=1，B=π3．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)求sinA的值；

(Ⅲ)17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=2，AP=3，AB=1，E为棱PC的中点．

(Ⅰ)求证：BE//平面PAD；

(Ⅱ)求平面PAD与平面BDE夹角的余弦值；

(Ⅲ)求点P到平面BDE的距离．18.(本小题15分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点在抛物线y2=46x的准线上，且圆的短轴长为22．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)已知过原点的直线l1与椭圆相交于M19.(本小题15分)

已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，满足a1=1，且S3=2a2+2．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{bn}满足bn20.(本小题16分)

已知函数f(x)=xex−1，g(x)=a(x+lnx)，其中a>0．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；

(Ⅱ)是否存在a，使得函数ℎ(x)=g(x)−ax+1x在区间[1,e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)设x0是函数F(x)=f(x)−g(x)的极小值点，且参考答案1.D

2.A

3.D

4.B

5.A

6.A

7.C

8.C

9.B

10.1211.60

12.5

13.12125

214.54

−15.(0,316.解：(Ⅰ)因为b=7，c=1，B=π3，

所以由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，

即7=a2+1−2a×1×12，解得a=3或a=−2(舍去)．

(Ⅱ)由正弦定理有：asinA=bsinB，

所以sinA=asinBb=3×327=32114；

(Ⅲ)由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=7+1−92×7×1=−714，

所以cos2A=2cos2A−1=2×(−714)2−1=−1314，sin2A=2sinAcosA=2×32114×(−714)=−3314，

所以cos(B−2A)=cosBcos2A+sinBsin2A

=12×(−1314)+32×(−3314)=−1114．

17.解：(Ⅰ)证明：因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PA⊥AB，

又因为AD⊥AB，AD∩AP=A，AD，AP⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，即AB为平面PAD的一个法向量，

如图以点A为原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，

由E为棱PC18.解：(Ⅰ)因为y2=46x的准线方程为x=−6，

所以x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为(−6,0)，即c=6，

又因为短轴长为22，所以2b=22，即b=2，所以a2=b2+c2=8，

所以椭圆的方程为x28+y22=1；

(Ⅱ)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

当直线l1的斜率为0时，l1：y=0，

此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设M(−22,0)，N(22,0)，

要使△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形，则Q(0,22)，

所以|OQ|=22，|MN|=42，所以|OQ|=12|MN|，满足题意；

当直线l1的斜率存在且不为0时，设l1：y=kx(k≠0)，

由y=kxx28+y22=1，得(1+4k2)x2=8，

所以|x1|=|19.解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，

因为a1=1，且S3=2a2+2，

所以3a1+3d=2a1+2d+2，解得d=1，

所以an=n；

(Ⅱ)(i)证明：由(Ⅰ)可知，an=n，又因为bn=bn+1−an+1,n为奇数,an22,n为偶数,其中n∈N∗，

所以bn=bn+1−(n+1),n为奇数,n22,n为偶数,其中n∈N∗，

当n为奇数时，bn=bn+1−(n+1)=(n+1)22−(n+1)=n2−12，

所以cn=b2n−1=(2n−1)2−12=2n(n−1)，

所以cnn=2n−2，则cn+1n+1=−cnn=2，

所以数列{cnn}是以0为首项，2为公差的等差数列；

(ii)令dn=