8.3 祖暅原理与柱体锥体的表面积和体积 课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

8.3祖暅原理与柱体锥体的体积

晋城一中数学组

李菲菲情境导入

左球体是直径为30cm的西瓜，右球体是地球，两个球体各钻出一个高度为20cm的位于中心位置的圆柱体，剩下的立体形状称为餐巾环（即球减去圆柱再减去两个球冠）。你认为这两个餐巾环的体积是否相等？

餐巾环问题可以追溯到江户日本，数学家关孝和（SekiKowa，1642-1708）最早用积分形证明了左右两个餐巾环体积相等。

祖暅：

祖暅（456年—536年）,字景烁，祖冲之之子，范阳郡遒县（今河北省涞水县）人，南北朝时代的伟大科学家，祖氏父子著有《缀术》。祖冲之祖暅祖暅原理：幂势既同，则积不容异。节选自《缀术》祖暅原理：幂势既同，则积不容异。节选自《缀术》探究物体形状变化前后，体积是否发生改变？祖暅原理：幂势既同，则积不容异。节选自《缀术》含义：(1)两个几何体高度相同；

(2)被任意同高度的平面所截，截得的两个截面面积总相等。则两个几何体的体积相等。祖暅原理：幂势既同，则积不容异。节选自《缀术》相同高度且等高处截面面积处处相同构建可计算的几何体来代替复杂几何体从而计算其体积任务1：掌握利用祖暅原理推导柱体的体积公式.

如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？口述即可。

归纳总结V柱体＝Sh.

任务2：掌握利用祖暅原理推导锥体的体积公式.

如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，它们的体积相等吗？说一说你的思路.

思路：只需要证明圆柱和棱柱被任意同高度的平面所截，截得的两个截面面积总相等.

归纳总结等底等高时，V圆锥＝V棱锥任务3：掌握用柱体推导锥体的体积公式.底面积为S，高为h的三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥吗？小组讨论，并说明。

任务3：掌握用柱体推导锥体的体积公式.底面积为S，高为h的三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥吗？小组讨论，并说明。归纳总结

任务4：掌握利用祖暅原理推导球体的体积公式或者餐巾环问题（任选其一作答）.（1）完成球体体积公式的证明。

任务4：掌握利用祖暅原理推导球体的体积公式或者餐巾环问题（任选其一作答）.（1）完成球体体积公式的证明。

任务4：掌握利用祖暅原理推导球体的体积公式或者餐巾环问题（任选其一作答）.（1）完成球体体积公式的证明。

任务4：掌握利用祖暅原理推导球体的体积公式或者餐巾环问题（任选其一作答）.（1）完成球体体积公式的证明。

任务4：掌握利用祖暅原理推导球体的体积公式或者餐巾环问题（任选其一作答）.（1）完成球体体积公式的证明。

归纳总结

任务5：掌握利用祖暅原理推导球体的体积公式或者餐巾环问题（任选其一作答）.（2）解决餐巾环问题：左球体是半径为R（R>5）的西瓜，右球体是半径为R’（R’>5）的地球，两个球体各钻出了高度为20cm的位于中心位置的圆柱体，剩下的立体形状称为餐巾环（即球减去圆柱再减去两个球冠），请你证明这两个餐巾环的体积相等。能够说服你的直觉吗？课堂小结一、数学知识二、数学思想1、类比归纳2、转化与化归课后作业1、根据球的截面对应