高考第三轮复习立体几何

高考数学三轮复习精选立体几何

③色）〶卷③③

空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间儿何体

的表面积和体积是高考的重点与热点。儿何体的表面积与体积与多个结合

体结合是主要的命题形式，有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的

表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想。考

生在复习时，不仅要对空间几何体的基本结构了如指掌，还应加强几何体

表面积和体积的多种方法训练。

在高考数学中，空间点、直线、平面之间的位置关系主要分两方面进行

考查，一是空间线面关系的命题的真假的判断，以选择题、填空题的形式

考查，属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合

命题，一般以选择题、填空题或解答题的第(1)问的形式考查，属于中档

题。

空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点，在2023年的高考中依

1日是命题的热点方向。通常在多选题及解答题的第2小问考查，难度中等。

在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。

有关多面体外接球和内切球的问题，是立体儿何的一个重点和难点，也

是高考考查的一个热点，要求学生具有较强的空间想象能力和准确的计算

能力。一般在选择题中出现，难度中上。

预测分值：17-27分

超必考指数：★★★★★

©

满分技巧

一、立体图形的直观图的画法

斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直

观图.

(1)“斜”：在已知图形的X。，平面内与X轴垂直的线段，在直观图中均

与/轴承45。或135。

(2)“二测”：两种度量形式，即在直观悭中，平行于犬轴或z'轴的线段

长度不变；平行于:/轴的长度变成原来的一半.

二、常见几何体的外接球

1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为小b,c,外接

球的半径为R,

3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的

中I占八、、

4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心

在高线上。

R=4

（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长〃，外接球的半径4.

R=­a

（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为。，外接球半径

三、能补形为长方体的类型

1、墙角模型：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）?即

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖膈

2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱

构成长方体的三组对面的对角线。

推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（A8=CD,

AD=BC,AC=BD）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;

第二步：设出长方体的长宽高分别为a"，c,

AD=BC=xfAB=CD=yfAC=BD=zfyijA

<b2+c2=y2

c2+az=z2

222

/er*」2I2->X+》~+Z

（2/?）-=a-+/?-+r=----------------

V.BCD=abc--abcx4=-cibc

补充：63

2R=J,2+b»J（2+yF2

第三步：根据墙角模型，、2,

）夕2I~2~T

-x+y+Z

8,V8,求出R,

四、最短路径问题解题思路

1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面

2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面

化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两

点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。

五、共面、共线、共点问题的证明

1、证明点线共面问题的两种方法

（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

（2）辅助平面法：先证有关点、线共平面。，再证其他点、线共平面夕最

后证平面重合.

2、证明点共线问题的两种方法

（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

（2）直接证明这些点都在一条特定直线上.

3、证明三线共点问题的步骤

第一步：先证其中两条直线交于一点；

第二步：再证交点在第三条直线上.

证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。

六、线线平行的证明方法

1、定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；

2、利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形

等关于平行的性质；

3、利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.

七、线面平行的判定方法

1、利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；

2、利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直

线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行=线面平行”）

3、利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有

直线都平行于另一个平面。（简记为“面面平行二线面平行”）

八、面面平行的判定方法

1、面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合（不常用）；

2、面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个

平面，那么这两个平面平行（主要方法）；

3、垂直于通一条直线的两个平面平行（客观题可用）；

4、平行于同一个平面的两个平面平行（客观题可用）.

九、直线与平面垂直的判定方法

1、利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线

垂直于这个平面（不常用）：

2、利用线面垂直的判定定理：如果一条直线加一个平面内的两条相交直线

垂直，那么这条直线就和这个平面垂直（常用方法）；

3、可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平

面，那么另一条也垂直于这个平面（客观题常用）；

4、面面垂直的性质定理：如果两个平阿敏垂直，那么在一个平面内垂直于

它们交线的直线垂直于另一个平面（常用方法）；

5、面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则

这条直线也垂直于另一个平面（客观题常用）；

6、面面垂直的性质：若两相交平:面同时垂直于第三个平面，则这两个平面

的交线垂直于第三个平面（客观题常用）.

十、几何法求异面直线夹角

1、求异面直线所成角一般步骤；

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或

两条成为相交直线.

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

定一

（4）取舍：因为异面直线所成角6的取值范围是I2」，

所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.

2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

（1）直接平移法（可利用图中已有的平行线）；

（2）中位线平移法；

（3）补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行

线）.

十一、几何法求直线与平面夹角

1、垂线法求线面角（也称直接法）：

（D先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点

A,过点A向平面。做垂线，确定垂足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面。上的投影；投影B0与斜线AB之

间的夹角为线面角；

（3）把投影B0与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定

理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正

弦公式进行求解。

公式为：sinQ=p其中6是斜线与平面所成的角，力是垂线段的长，，是斜

线段的长。

十二、确定二面角的平面角的方法

1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律

（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作

垂直于棱的射线.

（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱。上的任意一点。为端点，

在两个面内分别作垂直于〃的两条射线OA,0B,则NAOB为此二面隹的

平面角

2、三垂线法（面上一点双垂线法）一最常用

（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱

作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的

连线所夹的角，即为二面角的平面角

（2）具体演示：在平面a内选一点A向另一个平面/?作垂线AB,垂足为B,

再过点B向棱。作垂线B0,垂足为。，连接A。，则NA08就是二面隹的

平面角。

3、垂面法（空间一点垂面法）

（1）方法；过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条

射线所成的角就是二面角的平面角。

（2）具体演示：过二面角内一点A作于3,作于C,

4、射影面积法求二面角§

方法：已知平面£内一个多边形的面积为S,它在平面。内的射影图形的

面积为S射影,

平面a和平面,所成的二面角的大小为。，蛆cose=芈.这个方法对于无

棱二面角的求解很简便。

十三、点面距的求解方法

1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出

垂线段的长度；

2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离;

3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直

线上的点到面的距离.

十四、向量法求空间角与空间距离

1、异面直线所成角：若丁公分别为直线44的方向向量，°为直线44的

夹角，

COS®=COS<〃i，〃2>=

4斗

则

2、直线与平面所成角：设/是直线/的方向向量，丐是平面。的法向量,

sin0=cos<〃],%>

直线与平面的夹角为，则

3、平面与平面的夹角：若%％分别为平面图4的法向量，夕为平面仪尸

的夹角，

4、点到平面的距离：已知平面。的法向量为〃，A是平面。内的任一点,

尸是平面a外一点，过点P作则平面a的垂线/,交平面。于点。，则点尸到

注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

ABn

d=--------

直线。与平面。之间的距离：旧1，其中〃是平面。的

法向量。

AB”

d=--------

两平行平面％夕之间的距离：，其中〃是平面。

的法向量。

十五、常见几何体的外接球

1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三三条棱长分别为。，b,C,外接

球的半径为几

则2/?=

接球半径为七则2A=病

2O、正方体的外接球：正方体的;棱长为Q,外

当

长方体的外接球正方体的外接球

3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的

中点

4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投t影为底面多边形的外心，球心

在高线上。

R=^-a

（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长外拮W球的半径4.

R=—a

（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为a,外・接球半径2

十六、能补形为长方体的类型

1、墙角模型

找三条两两垂直的线段，直接用《A式（2H）2=〃+〃+。2,即

222

2R=yJa+b+cf求出R

图1图2图3

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖嚅

2、对棱相等

对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的

三组对面的对角线。

十七、直棱柱外接球的求法…・•汉堡模型

1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体

相同

2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理

例如：直三棱柱内接与一球（棱柱的上下底面为直角三角形）

此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边

的一般，

勾股定理：°1+4斤=。吐则V12J

注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球。

十八、侧面垂直与底面一切瓜模型

对于平面PAC_L平面比4C,AB工BC（AC为小圆直径）、

第一步：由图知球心°必为C的外心，即步AC在大圆面上，先求小圆

面直径AC的长；

=27?

第二步：在“AC中，可根据正弦定理sinA,解出R

十九、棱长即为直径型：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的

图中两个直角三角形心/由和AQAB,其中ZAP3=/4QB=90,求外接圆

半径

“ccOP=-AB=OA=OB=OQ

取斜边A8的中点。，连接°P，°Q,则2-

所以°点即为球心，然后在AP°Q中解出半径R

二十、棱锥的内切球

1、方法：一般采用等体积法

2、结论：

（1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V,表面积为S,则

内切球的半径为R=1

（2）若正四面体的棱长为a,则其内切球的半径为

【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。

真题回顾

一.选择题

1.（2022•全国）底面积为21，侧面枳为6乃的圆锥的体枳是（）

A.84B.—C.24D.—

33

2.（2022•新高考1）己知正四棱锥的侧棱长为,,其各顶点都在同一球面上.若

该球的体积为36万，且3利3石，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.|18,27J

44443

3.（2022•乙卷）已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在

球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.-C.—D.—

3232

4.（2022•乙卷）在正方体相8-4gGA中，E,尸分别为AB,8C的中点，则

（）

A.平面用石/"L平面B.平面与EF_L平面片区。

C.平面4b〃平面AACD.平面4痔//平面AG。

5.（2022•甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为酎,

侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为％和〃.若券=2,则*=（）

s乙V乙

A.x/5B.2x/2C.MD.

4

6.（2022•新高考II）己知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和4、行，

其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.100乃B.128乃C.1444D.192〃

7.（2022•新高考1）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中

一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5帆时，相应水面的面积为

\AO.Ohri2；水位为海拔1575〃时，相应水面的面积为180.05『.将该水库在这两个

水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5,〃上升到157.5〃?时，增加

的水量约为（疗力265）（）

A.l.OxlO9/??B.1.2x109〃C.1.4x109/D.1.6x10°w3

8.（2022•甲卷）在长方体A3CO-A/CQ中，已知与。与平面ABCD和平面

所成的角均为30。，则1）

A.AB=2AD

B.44与平面48co所成的角为30。

C.AC=CB\

D.BQ与平面附£C所成的角为45。

二.多选题

9.（2022•新高考I）已知正方体ABCO-AgCQ，则（）

A.直线8G与。A所成的用为90。

R.直线町与eq所成的角为90。

C.直线8cl与平面所成的角为45。

D.直线5G与平面A5CD所成的角为45。

10.（2022•新高考H）如图，四边形A4C/）为正方形，£D_L平面八48,FB//ED,

.记三棱锥E-ACZ）,F-ABC.尸-ACE的体积分别为匕，匕，匕，

则（)

C.匕=匕+匕D.2匕=3M

三.填空题

11.（2022•全国）在正三棱柱ABC-A8c中，A8=l,则异面直线明

与8G所成角的大小为.

四.解答题

12.（2022•浙江）如图，已知438和CDb都是直角梯形，ABHDC,DCUEF,

/W=5,DC=3,EF=1，N皿）=NC£＞石=60。，二面角/一7X7-A的平面角为60。.设

M,N分别为AE,BC的中点.

（I）证明：FNA.AD;

（II）求直线8M与平面4犯所成角的正弦值.

13.(2022•甲卷)在四棱锥P-ABCZ)中，PD_L底面A3CQ,CD//AB,

AD=DC=CB=T,AB=2,DP=6

(1)证明：BgPA;

（2）求PD与平面以8所成的角的正弦值.

p

14.(2022•北京)如图，在三棱柱ABC-AKG中，侧面BCC再为正方形，平面

8CC|B|_L平面人网AB=BC=2,M,N分别为人与，AC的中点.

(I)求证：MN//平面3CCM；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线"与平面

所成角的正弦值.

条件①：ABA.MN\

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

BiMA.

15.(2022•新高考H)如图，PO是三棱锥尸-ABC的高，PA=PB,ABA.AC,E

为P8的中点.

(1)证明：平面。AC；

(2)若NAAO=NC4O=30°,00=3,%=5,求二面角C-4£一A的正弦值.

16.（2022•新高考I）如图，直三棱柱人AC-的体积为4,△人放?的面积为

2>/2.

（1）求A到平面A8C的距离;

（2）设。为AC的中点，/V\=A8,平面48。_L平面A叫A，求二面角八-4Q-C

的正弦值.

17.（2022•乙卷）如图，四面体48CD中，ADA.CD,AD=CDfZADBMBDC,

E为AC的中点.

（1）证明：平面庞D_L平面AC£）;

（2）设AB=BD=2,46=60°,点尸在斑）上，当AAPC的面积最小时，求C/7

与平面AM所成的角的正弦值.

区域模拟

一.选择题

1.（2023•江西模拟）已知一正三棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面匕若

该球的表面积为16〃，且2划20,则该正三棱锥体积的取值范围是（)

A.［苧,2折D.哼,3"

B.巫2向C.小3向

2.（2023•中卫一模）在棱长为1的正方体48。。-4囱。力1中，M,N分别为

B。1,BiG的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足A/P〃平面CM>,

则下列说法正确的是（）

线段的最大值为返

A.点尸可以是棱的中点B.MP

2

C.点尸的轨迹是正方形D.点尸轨迹的长度为2刊行

3.（2023•乌鲁木齐模拟）已知四边形A8CO的对角线AC,9的长分别为2G和

6,且垂直平分AC,把AACD沿AC折起，使得点。到达点P,则三棱锥ABC

体积最大时，其外接球半径为（）

A.2B.75C.x/10D.—

2

4.（2023•贵州模拟）如图,圆柱的底面直径AB与母线AD相等,E是弧的中

点，则4E与期）所成的角为（）

5.（2023•江西模拟）在三棱锥P-ABC中，已知

PA=BC=2瓜AC=BP=E,CP=AB=晒,则三棱锥P-ABC夕卜接球的表面积为（

)

A.77几B.64/rC.10舐D.72i

6.（2023•广西一模）如图，在正方体中，AB=2,0是正方形ABC/）

内部（含边界）的一个动点，则（）

A.有且仅有一个点P,使得QPJ.BC

B.小4//平面CPC1

C.若DP=¥）B，则三棱锥P-四C外接球的表面积为16乃

D.M为OR的中点，若例「与平面AHCO所成的角为?，则点夕的轨迹长为

71

2

7.（2023•广州二模）木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如

图为一升制木升，某同学制作了一个高为40c/〃的正四棱台木升模型，已知该正四

棱台的所有顶点都在一个半径为的球O的球面上，且一个底面的中心与球O

的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）

A.巫B.2C.述D.2

3355

8.（2023•长春模拟）已知点P为平面直角坐标系屹y内的圆f+），2=16上的动点,

定点4T2）,现将坐标平面沿），轴折成,的二面角，使点A翻折至4,则4,

夕两点间距离的取值范围是（)

A.[V13,35/5]B.14-V13,7JC.[4-713,3^]D.[V13,7]

9.（2023•江西模拟）如图，正方体的棱长为6,AM=yME＞点

乙

P是底面ABCD内的动点，且P到平面ADDiAi的距离等于线段PM的长度,

则线段HP长度的最小值为（)

2713C.3^6D.3VI3

二.多选题

10.（2023•广州二模）已知正四面体4-的长为2,点M,N分别为A4BC和

AAB/）的重心，P为线段GV上一点，则下列结论正确的是（）

A.若AP+8P取得最小值，则CP=PN

B.若CP=3PN,则Z）P_L平面ABC

C.若/）P_L平面ABC,则三棱锥P-45C外接球的表面积为步

2

D.直线例/V到平面八C7J的距离为亚

9

11.（2023•佛山二模）四面体人4c。中，AB上BD,CD±BDt八4=3,4/）=2,

CD=4,平面与平面BCD的夹角为王，则4C的值可能为（）

3

A.V17B.V23C.V35D.而

三.填空题

12.（2023•西安模拟）空间四边形"S中，AC与9）是四边形的两条对角线，

M,N分别为线段AB，CZ）上的两点，且满足人朋=2八8,DN=-DC.若点G在

34

线段MN上，且满足MG=3GN,若向量4G满足AG=xAB+p4C+z/m,则

x+y+z=.

13.（2。23•湖北模拟）已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为号'若上、

下底面的半径分别为1和2,则母线长为—.

14.（2023•安徽模拟）已知正四棱台AACO-AACO内接于半径为1的球O,且

球心O是四边形人AC?）的中心，若该棱台的侧棱与底面/WCO所成的角是60。，则

该棱台的体积为—.

15.（2023•邵阳一模）在正方体ABCD-A禺CR中，点?满足

BFiA+yBC+zBR,且x+y+z=l,直线耳P与平面AC.所成角为?，若二面

角P-AO-g的大小为。，则lan。的最大值是.

四.解答题

16.（2023•河南模拟）如图，在三棱柱4?C-A4c中，AABC是边长为2的等边

三角形，ACJ.8C,平面A4,GC_L平面/WC.

（1）证明：AA=A8；

（2）若石为AG的中点，直线与平面A3C所成的角为45。，求直线BC与平面

ME所成的角的正弦值.

17.（2023•安徽二模）如图，在四棱锥Q-ABCO中，点、E,“分别在棱Q4,QC

上，且三棱锥石-钻。和尸-38均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点、0.

（1）求证：OQ_L平面A4c£＞；

（2）求平面与平面30所成角的余弦值.

18.（2023•江苏模拟）如图，在三棱锥A-3CO中，NAC3=9（）°,平面ACO_L

平面ABC,AC=BC=4fDC=2,40=2近.

（1）证明：AO_L平面BCD.

（2）设点E在线段AB上，直线。E与直线3c所成的角为三，求平面。CE

4

与平面ACO所成的锐二面角的余弦值.

19.（2023•江西模拟）如图，已知菱形ABCQ中，A8=4,NBAD=60°,点E

为边CD的中点，沿8E将△C8E折起，得到△P8E且二面角尸・BE-A的

大小为120°,点/在棱弘上，PE〃平面BDF.

（1）求黑的值；

FP

（2）求二面角A-FD-B的余弦值.

20.（2（）23•广西模拟）在三棱锥〜人AC•中，底面人AC是边长为2。的等边三角

形’点。在底面由上的射影为棱席的中点且总与底面的所成角为?

点M为线段。。上一动点.

（1）求证：BCLAM;

⑵是否存在点M,使得二面角P3f的余弦值为噜，若存在，求出点

M的位置；若不存在，请说明理由.

一.选择题

1.在正方体ABCO-ABIGDI中，已知A4=7,点。在棱A4上，且A0=4,

则正方体表面上到点。距离为5的点的轨迹的总长度为()

1571cL-17兀er~

A.B.(4+3&7T)C.D.(4+3V3)7r

2.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的

一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三

棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臃”指四个

面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”人丹G,其中

AC.LBC,若A4=A8=4,则“阳马”体积的最大()

A.—B.—C.16D.32

33

二.填空题

3.如图，长方体AB=a,BC=BB尸b,ci>b,P是棱AB上

的一个动点，若点P运动到棱AB靠近A的一个三等分点时，恰有PCxLPD,

求此时PC.与平面ABCD所成的角.

三.解答题

4.如图，在四棱锥。中，底面A8C。为菱形，M,N分别为PC和A。

的中点，已知ND4B=60°,AB=2,PA=PD,MN=MB=41.

(1)证明：平面方O_L平面A3C。；

(2)求平面PCQ和平面P3C所成角的余弦值.

5.如图，在四棱锥P-4BC。中，%_L平面A8CD,底面ABC。是菱形，AB=

2,ZBAD=60°.

(1)求证：8。，平面雨。；

(2)若以=A8,求二面角A・PC-8的平面角的余弦值.

A

B

1.【答案】B

【解答】解：设圆锥的底面半径为小母线长为/,

由题意可得卜,=2”解得“四，/=3夜,

nrl-6)

二.圆锥的rWj/?=V/2-r2=J(3>/5)2-(0)2=4.

二.圆锥的体积是V=-x2^-x4=—.

33

故选：B.

2.【答案】C

【解答】解：如图所示，正四棱锥P-A8CD各顶点都在同一球面上，连接AC与

BD交于点、E,连接尸E,则球心O在直线正上，连接OA,

设正四棱锥的底面边长为。，高为人

在RtAPAE中，P#=AE?+PE?,即广=(回了+川△/+/产,

22

•.•球O的体积为36万，.••球O的半径R=3,

在RtAOAE中，OA2=OE2+AE2,即2=(力一3尸+(孚＞,

一白？+/1—6/J=0»—a?+fj~-6h,

22

.•.广=6〃，又3蒯3&,-^h2,

22

.••该正四棱锥体积V(/i)='/力=1(12/z-2//)//=--/+4/r,

333

V\h)=-2A2+8/i=2A(4-h),

血心时，口(6)<0,V(/7)单调递

，当y<4时,VW>0,叭/0单调递增;当4V

2

减，

./(，?)〃—⑷斗

又？屋)上,咯卫,且乙以

242444

即该正四棱锥体积的取值范围是苧学，

故选：C.

I,"子黑会

3.【答案】C

【解答】解：对于圆内接四边形，如图所示，

Srq边形ABC。=—ACBDsin。、,—2r-2r-sin900=2广，

22

当且仅当AC,8。为圆的直径，且AC_L8O时，等号成立，此时四边形A8CD为

正方形，

・•・当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为。，底面所在圆

的半径为，，

则.当，

该四棱锥的高

该四极锥的体积

丫工”=器《.』4，同二迪，

3V23V4423V产33V327

当且仅当《=>4，即时，等号成立，

423

「.该四棱锥的体积最大时，其高h=5^=R4,

【解答】解：对于A，由于E，〃分别为4?,3C的中点，则瓦'//AC,

又AC_L3O,AC1DD,,BD[}DDy=D,且8D,DRu平面BDR,

.•.ACJ_平面80〃，则所_L平面8£>〃，

又所u平面线所，

・•・平面司EFJ_平面BDQ,选项A正确；

对于8,由选项A可知，平面用石尸1平面孔>口，而平面BDRC平面人用。=尔），

在该正方体中，试想仅运动至A时，平面用石厂不可能与平面48力垂直，选项吕

错误；

对于C,在平面上，易知叫与々E必相交，故平面勺所与平面AAC不平

行，选项C错误；

对于。，易知平面4B1C〃平面AG。，而平面4BC与平面勺石/有公共点用，故平

面4）与平面AG。不可能平行，选项。错误.

故选：A.

5.【答案】C

【解答】解：如图,

甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3,

甲、乙两个圆锥的底面半径分别为小高分别为九，4,

则=4兀,2万弓=2兀，解得q=2,弓=1,

由勾股定理可得4=石，4=2上，

辛I,—-Trr^h.阿

乙一仃9%

3'■

故选：C.

6.【答案】A

【解答】解：当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径

为酒方=3,下底面所在平面截球所得圆的半径为君绘=4,如图，

2sin6002sin60°

设球的半径为R,则轴截面中由几何知识可得犷万-^/F=不=l,解得R=5,

二•该球的表面积为44尸=44x25=100;r.

当球心在台体内时，如图,

综上，该球的表面积为1(XW.

故选：A.

7.【答案】C

［解答］解：140hn2=140xl06m2,180W=180xI06m2，

140X106+180X106+>/|40XI06XI80X106

根据题意，增加的水量约为x(l57.5-148.5)

3

(140+18Q+60V7)X10^9

3

»(320+60x2.65)x106x3=1437x106®1.4x109w3.故选：C.

8.【答案】D

【解答】解：如图所示，连接A8-BD,不妨令例=1,

所以NBQB和NDB^A分别为与。与平面A8CD和平面A4/避所成的角,

即NBpB=NDBiA=30。,

所以在RdBDB1中，84=M=1，BD=6、B\D=2,

在RtAADB|中，DB,=2,4。=1,的=6，

所以48=夜，CB、=®,AC=6

故选项A,C错误，

由图易知I,4?在平面148co上的射影在A4上，

所以/耳48为A8与平面48C。所成的角，

RRIn

在RtAABB］中，sinZR/iB=—L=-^=—,

'1做63

故选项。错误，

则耳。在平面BB©C上的射影为B.C,

所以ZDB.C为耳。与平面BB£C所成的角,

在中，B〈=C=DC,所以/力BC=45。,

所以选项。正确，

故选：D.

二.多选题

9.【答案】AI3D

【解答】解：如图,

连接Gc,由A4//OC,A4=DC,得四边形DA4c为平行四边形,

可得D4,//BC，BG_片。，.•.直线g与/M,所成的角为90°，故A正确；

Ag1Bq,8G±BXC,斗N。qc=q,BC,1平面。4片。，而u平面0Age，

/.BC.±C/\,即直线6cl与CA所成的角为90。，故6正确；

设AGrpQ=O,连接30,可得C0_L平面BBQ。，即/。出0为直线与平面

33Q。所成的角，

•••sinNGB0=空＞=」,直线g与平面网.£＞所成的角为30°,故C错误;

BC12

CGJ.底面A3CQ,.•.第8c为直线3G与平面A8c。所成的角为45。，故。正确.

故选：ABD.

10.【答案】CD

【解答】解：设AB=ED=2FB=2,

14

V＜=-X5MCDX|ED|=-,

%=gxSM8cX|「3|=g'

如图所示,

连接区D交4c于点连接石”、FM,

则尸M=X/5,EM=匹,EF=3,

故S2MF=：xGx#=,

4J

V.=1sAfciW,xAC=lx^x2V2=2,

故C、。正确，A、4错误.

故选：CD.

三.填空题

11.【答案】90°.

【解答】解：如图所示，分别取3C、BC的中点。、0、，由正三棱柱的性质可得

AO、80、。0产两两垂直,

建立空间直角坐标系.

/.cos<AB、，BC\>=0,

，异面直线A%与BC\所成角的大小为90。.

12.【答案】（I）证明见解析；（II）豆.

14

【解答】证明：（/）由于CO_LCB,CD±CFt

平面ABC0C平面CO印=8,bu平面CDQ,Cfiu平面A3C£）,

所以为二面角厂-QC-4的平面角，

则/斤8=60。，。。_1_平面。3产，则6_1,硒.

又CF=瓜CD-EF）=2瓜CB=石（A8-CD）=26,

则ABCF是等边三角形，则CB上FN,

因为£>C_LFC,DCLBC,FC[}BC=C,尸Cu平面/<8,BCu平面产C8,

所以DC_L平面/CB,因为内Nu平面尸CB,所以DCJ_EV,

又因为DCu平面A8CD,C8u平面A3CD,

所以尸\_1_平面八月8,因为ADu平面八庆刀，故&VJ./W）;

解：（H）由于FN_L平面ABC。，如图建系：

于是B(0,6,0),A(5,石,0)1(0,0,3),旦1,0,3),。(3,一百,0),则M(3,^,1),

BM=(3,--,-),DA=(2.2x/3,0).DE=(-2,x/5,3),

22

设平面ADE的法向量n=（x,y,z）,

nJ〃・£)A=O2x+2\/3y=0人rnilr

则,,.，令x=G，贝【Jy―1,z—>/3，

nDE=0l-2x+J3y+3z=0

平面ADE的法向量〃=（G,-1,G）,

设BW与平面4无所成角为e,

则加〃=侬辿=侦.

|BM||n|14

13.【答案】（1）证明过程见解答；（2）正.

5

【解答】解：（1）证明：底面八AOBDu而ABCD,

:.PDLBD,

取中点E,连接。E,

AD=DC=CB=\,AB=2,

「1

/.ZmB=60°,XvAE=-AB=AD=\,

2

：.DE=\,：,DE=-AB,

2

.•.AABQ为直角三角形，且AB为斜边，

...BDJLAD,

又P0nA0=0,POu面Q4£>,ADu面％Z),

又以u面PAD,

:.BD工PA;

(2)由(1)知，PD，AD,"。两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐

标系，

BD=yjAB--AD1=75,

则D(0,0,0),A(l,0,0),B(0,V3,0),P(0,0.73),

/.PD=(0,0,-x/3),PA=(1,0,-G),AB=(-1,Ao),

设平面FAB的一个法向量为〃=(x,y,z),则/丛A八°，则可取〃=(61,1),

〃•AB=-x+13y=0

设叨与平面PAB所成的角为8，则sin0=|cosv>|=|"〃|=—,

\PD\\n\5

.•/D与平面aw所成的角的正弦值为乎.

14.【答案】(1)证明见解答；

(2)-.

3

【解答】解：⑺证明：取AA中点K,连接NK,MK,

•.M为A4的中点..•.耳M//BK,且qM=8K,

.•・四边形BKMq是平行四边形，故MK//8A，

MKU平面BCC.B.;呢u平面BCC用,

.•./WK〃平面BCC.B,,

K是AB中点，N是AC的点，

;.NK//BC>NKU平面8CC£;3Cu平面BCCE，

:.NK//平面BCCM，又NKCMK=K,

：.平面NMK//平面RCCE,

又MNu平面NMK,.•.MTV//平面BCG片；

(〃乂•侧面Beg用为正方形，平面48由_L平面A叫A，平面Bcqqc平面

ABB6=网,

...CA_L平面A84A，/.CBtAB,又NKI/BC,ABA.NK,

若选①：AB1MN;又MNp|NK=N,二AB_L平面MNK,

又MKu平面MNK,..ABLMK,又MKUBB、,

AB±BBl,..BC,BA,B片两两垂直，

若选②：•.•。8_1_平面八阴人，NKHBC,「.NK，平面人叫/\,KV/u平面人班人，

；.MKINK,又BM=MN,NK=-BC,BK=-AB

22f

■KM=ANKM,/BKM=N/VKV7=90。，

：,ABA.MK>又MK//BB、,ABLBB,,

；.BC，BA,34两两送直，

以笈为坐标原点，BC,BA,84为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(0,0,0),NQ,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

/.BM=(0,1,2),BN=(1,1,0),

设平面8M/V的一个法向量为〃=(x,y,z),

门"n-BM=y+2z=0人.

则〈，令z=1,则niy=-2,x=2,

|n•BN=x+y=0

，平面眺W的一个法向量为〃=(2,-2,I),

又痴=（0,2,0）,

设直线AB与平面8WV所成角为0,

/.sin0=cos<n,BA>|=-------=,:——=—.

|〃|48A|74+4+1x23

直线AB与平面刎所成角的正弦值为2.

3

15•【答案】（1）证明过程见解答；（2）

13

【解答】解：（1）证明：连接04,OB,依题意，QPJL平面A8C,

又。Au平面ABC,O8u平面ABC,则OP_LO4,OP上OB,

:.ZPOA=ZPOB=90°,

又PA=PB,OP=OP,则APO4二

:.OA=O/3t

延长40交AC于点尸，又AA_LAC,则在RtAABF中，O为BF中点,连接勿,

在AP8厂中，O,E分别为BF,8尸的中点，则OE//PF,

•.♦0E仁平面PAC,PEu平面PAC,

二。石〃平面PACt

（2）过点4作AM//OP,以AB,AC,A/W分别为x轴，y轴，z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，

由于尸0=3,R4=5,由（1）知04=08=4,

又ZABO=NC3O=30°,则A8=4>/5,

3

/.。(26,2,3),4(46,0,0),40,0,0),£：(36』,：),

又AC=A5tan600=12,即C(0,12,0),

设平面AEB的一个法向量为〃=(占y,z),又AB=(473,0,0),AE=(373,1,1),

n-AB=48x-0

则|厂3则可取〃=(03-2),

n-AE=3V3x+y+—z=0

2

设平面AEC的一个法向量为〃7=(a,b,c),又AC=(0.12,0),AE=(3^,1,-),