高等数学教案

高等数学教案

第1次课

学科高等数学（一）

课题函数

周次5时数2授课班级1202114

主要教学内容：

1、集合与区间

2、函数概念

3、函数的几种特性

4、反函数

5、复合函数•初等函数

教学目的和要求：

1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关

系式。

2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。

3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有

界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：

1、函数的概念

2、函数的特性

3、复合函数

教学难点：

1、函数的概念

2、函数的特性

教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

教学过程

§1函数

一、集合与区间

]集合概念

集合(简称集)：集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C.…等表示.

元素：组成集合的事物称为集合的元素.。是集合M的元素表示为aeM.

集合的表示.

列举法：把集合的全体元素一一列举出来.

例如A={a,byc,d,e,工g}♦

描述法：若短AM是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成，则“可表示为

A={ai,。2,…，an],

M={x|x具有性质P}.

例如M={(x,y)|x,y为实数,}.

几个数集：

N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集.

N={0,1,2,…，〃，…}.N+={1,2,.

R表示所有实数构成的集合，称为实数集.

Z表示所有整数构成的集合，称为整数集.

Z=l,•,—n•••—2—1()12,•,na•aI

Q表示译看有血酸构版向翥吝,自为有理数集.

。={4k2,4€'+且2与4互质}

q

子集：若xeA,则必有xeB,则称A是8的子集，记为AuB(读作A包含于3)或BnA.

如果集合A与集合B互为子集,AuB且BcA,则称集合A与集合5相等，记作A=R

若AuB且则称A是B的真子集，记作AqB.例如,N&Z£Q£R.

不含任何元素的集合称为空集，记作0.规定空集是任何集合的子集.

2.集合的运算

设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),

记作AuB,即

AuB={x|xeA或xeB}.

设A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为4与B的交集(简称交),

记作AcB,即

AcB={x|xeA且xeB].

设A、8是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),

记作A\B,即

A\B={xke4KxiB}.

如果我们研究某个问题限定在一个大的集合/中进行，所研究的其他集合A都是/的子集.此

时，我们称集合/为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集，记作Ac.

集合运算的法则：

设4、B、C为任意三个集合，则

⑴交换律AuB=BuA,4cB=82;

(2)结合律(4uB)uC=Au(8uC),(AcB)cC=4c(8c。；

(3)分配律(AuB)nC=(AnC)u(BnC),(AnB)uC=(AuQn(BuC);

(4)对偶律(AuS)c=AcnBc,(AnB)c=AcuBc.

(AuB)c=AccB。的证明：

xe(AuB)coxgAuBoxeAKxgBoxeAC£LxeBc<=>xeAcnBc,filfW(AuB)c=AcnBc.

直积(笛卡儿乘积)：

设4、8是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x,在集合8中任意取一个元素y,组成

一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合8的直积,

记为4x8,即

Ax8={(x,y)kE且ye8}.

例如,RxR={(x,y)|xeR且yeR}即为xOy面上全体点的集合,RxR常记作R2.

3.区间和邻域

有限区间：

设a<b,称数集{x\a<x<b}为开区间，记为(a,6),即

(a,b)={x\a<x<b}.

类似地有

[a,b]={x\a<x<b}称为闭区间,

[a,。)={x|a<x<b}、(a,6]={x[a<x<b}称为半开区间.

其中a和b称为区间(a,8)、[a,b]>[a,b)>(a,b]的端点,6-a称为区间的长度.

无限区间：

[a,+oo)={x|a<x},(-oo,h]={x\x<b},(-oo,+oo)={x11x|<-KO}.

区间在数轴上的表示：

邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a\

设隰一正数，则称开区间(a-a4+廿为点a的於B域，记作U(a,(5),即

(7((7,»={x|a-8<x<a+S]

={x11x-a\<3].

其中点a称为邻域的中心,5称为邻域的半径.

去心邻域03,3):

U(a,<5)={x|0<|x-a|<<5}

二、函数概念

1.函数概念

定义设数集。uR,则称映射fO-R为定义在。上的函数，通常简记为

y=/(x),xQD,

其中x称为自变量,y称为因变量称为定义域，记作。/,即。尸D

应注意的问题：

记号/和1x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示

与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号“本),xe£>”或"y=Ax),xeZT来表

示定义在。上的函数，这时应理解为由它所确定的函数了.

函数符号：函数中表示对应关系的记号/也可改用其它字母，例如“尸‘，等.此

时函数就记作y=(p(x),尸尸(x).

函数的两要素：

函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是定义域Of及对应

法则/.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不

同的.

函数的定义域：

函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变

量的实际意义确定.

求定义域举例：

求函数丫=1_庐工的定义域.

X

要使函数有意义，必须心。，且X2-4W0.

解不等式得|x122.

所以函数的定义域为D={x||x|>2),或D=(V,2]"2,+ooj).

单值函数与多值函数：

在函数的定义中，对每个xeD对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.

如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个xe。，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯

一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.例如，设变量x和y之间的对应法则由方程/+产=户

给出.显然，对每个八，由方程/+产二凡可确定出对应的y值，当六^或后-?•时，对应)=0

一个值；当x取(-r,r)内任一个值时，对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.

对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称

为多值函数的单值分支.例如，在由方程酎+户户给出的对应法则中附加“沦0”的条件，即以

“3+户户且龙0”作为对应法则，就可得到一个单值分支(幻=/户—F；附加，，近0”的条件,

即以“叫"=户且)00”作为对应法则，就可得到另一个单值分支尸丫2(万)=-犷二了.

表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法)，这在中学里大家已经熟悉.其

中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集

称为函数月向图形.图中的R/表示函数月⑴的值域.

函数的例子：

例.函数』{二.

称为绝对值函数.其定义域为。=(-8,+8),值域为R/=[0,+oo).

■1x>0

例.函数y=sgnx=<0x=0.

-1%<0

称为符号函数.其定义域为£>=(-00,+00),值域为R/={-l,0,1}.

例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[X].

函数

y=[x]

称为取整函数.其定义域为。=(-8,+00),值域为&=Z.

[-]=0,[V2]=l,[^]=3,[-1]=-1,[-3,5]=-4.

7

分段函数：

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.

例。函数尸口

这是一个分段函数，其定义域为£>=[0,1]。。+°°)=0+8).

当l时，y=2y[x;当x>l时，产1+x.

例如f§)=2。=应；/(1)=2VT=2;/3)=1+3=4.

三、函数的几种特性

(1)函数的有界性

设函数.危0的定义域为£>,数集XuD如果存在数K,使对任一xeX,有./(x)4Ki,则称函数_/(x)

在X上有上界，而称K为函数次x)在X上的一个上界.图形特点是月U)的图形在直线尸K的下

方.

如果存在数任，使对任一xeX,有人r)2K2,则称函数_/(x)在X上有下界，而称《为函数次x)

在X上的一个下界.图形特点是，函数月(x)的图形在直线产后的上方.

如果存在正数M,使对任一xwX,有ITU)14M则称函数/(X)在X上有界；如果这样的M不存

在，则称函数段)在*上无界.图形特点是，函数产”)的图形在直线产-M和y=M的之间.

函数应r)无界，就是说对任何区总存在xieX,使|兀0|>M.

例如

(l)/(x)=sinx在(-co,内)上是有界的：卜inx|WL

(2)函数/")=；在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界，无上界.

这是因为，对于任一用>1,总有xi：0<%<与<1,使

M

所以函数无上界.

函数/(x)=：在(1,2)内是有界的.

(2)函数的单调性

设函数y=段)的定义域为D,区间/uD.如果对于区间/上任意两点%,及及，当加〃2时.，恒

有

其为)〈―2),

则称函数人》)在区间/上是单调增加的.

如果对于区间/上任意两点XI及X2,当用42时，恒有

他)>危2),

则称函数7U)在区间/上是单调减少的.

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

函数单调性举例：

函数丫=如在区间(-00,0］上是单调增加的，在区间［0,+00)上是单调减少的，在(-00,+00)上不

是单调的.

(3)函数的奇偶性

设函数7W的定义域。关于原点对称(即若XC。，则TE0.如果对于任一XG。，有

X-X)=/%),

则称兀0为偶函数.

加果对于任一有

A-X)=-fix),

则称犬X)为奇函数.

偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称，

奇偶函数举例：

12,产cosx都是偶函数.)=炉,)=sinX都是奇函数,)=sinx+cosx是非奇非偶函数.

(4)函数的周期性

设函数代r)的定义域为D如果存在一个正数/,使得对于任一xe。有a±/)e£>,且

於+/)=於)

则称7U)为周期函数，/称为_/(x)的周期.

周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为/的区间上，函数的图形有相同的形

状.

四、反函数

定义：

设函数7:Of*。)是单射，则它存在逆映射尸:.”>)一。，称此映射广为函数/的反函数.

按此定义，对每个)彩八。)，有唯一的xe。，椀得J(x)=y,于是有

f-'(y)=x.

这就是说，反函数的对应法则是完全由函数/的对应法则所确定的.

一般地,v=4x),x&D的反函数记成y=f~'(.x),xeJ(D).

若一是定义在。上的单调函数，则广。用。)是单射，于是/的反函数广|必定存在，而且容易

证明广।也是40上的单调函数.

相对于反函数V=/T(X)来说，原来的函数月U)称为直接函数.把函数月㈤和它的反函数

产广心)的图形画/同一坐标平面上，这两个图形关于直线尸x是对称的.这是因为如果P(a,b)是

尸次x)图形上的点，则有6=以).按反函数的定义，有“三广⑸，故QS,a)是｝寸T(X)图形上的点；反

之，若Q(b,a)是图形上的点，则P(a,勿是)5>)图形上的点.而P(a,力与Q(b,a)是关于直

线"X对称的.

五、复合函数•初等函数

1.复合函数：

复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述.

设函数片A”)的定义域为。I,函数〃=g(x)在。上有定义且g(0u£>i,则由下式确定的函数

y=AsM],xeD

称为由函数〃=g(x)和函数"A”)构成的复合函数，它的定义域为。，变量“称为中间变量.

函数g与函数/构成的复合函数通常记为fog,即

(f°gEg(x)L

与复合映射一样,g与/构成的复合函数fog的条件是：是函数g在。上的值域g(Q)必须含在

了的定义域巧内，即g(0u£>/：否则，不能构成复合函数.

例如，月(")=arcsinu,的定义域为[-1,1],〃=g(x)=27I=在-曰]3f，1]上有定

义，且g(O)u[-l,1],则g与/可构成复合函数

y=arcsin2vl-x2,xeD;

但函数产arcsin"和函数"=2+'不能构成复合函数，这是因为对任xeR,〃=2+了2均不在)=arcsinu

的定义域l-l,1J内.

多个函数的复合：

2.基本初等函数：

基函数:y=x"(〃cR是常数)；

指数函数:产且好1);

对数函数:尸log“x(”>0且4*1,特别当”=e时，记为)=lnx);

三角函数：尸sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,产secx,y=cscx;

反三角函数：_y-arcsinx,)=arccosx,)=arctanx,y=arccotx.

课后作业

(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)

第18页第15题

课后小结

(课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良

好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时

补充的方法等方面的内容进行撰写。)

注：从第二页开始以课时或单元为单位编制，每节课或每个单元都要有教案。

第2次课

学科高等数学(一)

课题函数的极限

周次5时数2授课班级1202114

主要教学内容：

1、自变量趋于有限值时函数的极限

2、自变量趋于无穷大时的函数的极限

教学目的和要求：

1、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限。

教学重点：

1、极限的概念、极限的性质及四则运算法则。

教学难点：

1、极限的概念

教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

教学过程

§3函数的极限

一、函数的极限

1.自变量趋于有限值时函数的极限

定义:如果当x无限接近于X0,函数f(x)的值无限接近于常数A,则称当x趋于xO时

lim

,f(x)以A为极限.记作fflx)A或f(x)-»A(当

定义的简单表述：

limf(x)=A

・f。0V£>0,38>0,当0<x-xO<3时，f(x)-A<£.

2.单侧极限：

若当XTXO—时，f(x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数f(x)当XTXO时的

limf(x)=A

左极限，记为Xf。-或f(X。-)=A;

若当x->xO+时，f(x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数f(x)当x->xO时的

右极限，记为lim/(x)=A或f(%+)=A.

3.自变量趋于无穷大时函数的极限

设f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数£,

总存在着正数X,使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数数值f(x)都满足不等式

|f(x)-A|<£,

则常数A叫做函数f(x)当Xf8时的极限，记为

lim/(x)=A

28或f(x)->A(x->oo).

limf(x)=A

xe«VE>0,3X>0,当|x|>X时，有|f(x)—A|<£.

类似地可定义

limf(x)=Alimf(x)=A

X-^-<X>和

..、,limf(x)=Alimf(x)=Alimf(x)=A

结论：x*O'"且.

课后作业

(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)

第36页第2、5题

课后小结

（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良

好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时

补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第3次课

学科高等数学（一）

课题无穷大与无穷小

周次7时数2授课班级1202114

主要教学内容：

无穷大

无穷小

教学目的和要求：

理解无穷小、无穷大的概念

教学重点：

无穷小及无穷小的比较。

教学难点：

无穷大与无穷小

教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

教学过程

§4无穷大与无穷小

.无穷大与无穷小

1.无穷小

定义：如果函数f(x)当XfxO(或Xf8)时的极限为零，那么称函数f(x)为当

x->xO(或X-»OO)时的无穷小.

特别地，以零为极限的数列｛xn｝称为nf00时的无穷小.

例如，

lim-=O-

因为,所以函数X为当X-00时的无穷小.

因为吧(x-l)=O,所以函数为x—1当Xf1时的无穷小.

lim—L=0—^―

因为—°”+1,所以数列｛〃+"为当n->8时的无穷小.

讨论：很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？

提示：无穷小是这样的函数，在x»0(或X-8)的过程中，极限为零.很小很小

的数只要它不是零，作为常数函数在自变量的任何变化过程中，其极限就是这个常数

本身，不会为零.

无穷小与函数极限的关系：

定理1在自变量的同一变化过程XfxO(或X-8)中，函数f(x)具有极限A的

充分必要条件是f(x)=A+a,其中a是无穷小.

limf(x)=A

证明：设,Vs>0,33>0,使当0<|x-x0|<3时，有

If(x)-A|<.

令a=f(x)-A,则a是xfxO时的无穷小，且

f(x)=A+a.

这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小a之和.

反之，设f(x)=A+a,其中A是常数，a是xfxO时的无穷小，于是

|f(x)-A|=|a|.

因a是xfxO时的无穷小，Vs>0,H8>0,使当0<|x-xO|<3,有

|a|<或|f(x)-A|

这就证明了A是f(x)当xfxO时的极限.

简要证明：令a=f(x)-A,则|f(x)-A|=|a|.

如果Ve>0,三3>0,使当0<|x—x0|<3，有f(x)—A|,就有|a|<;

反之如果>0,3S>0,使当0<|x-x0|<3,有

|a|<,就有f(x)—A].

这就证明了如果A是f(x)当xfxO时的极限，则a是xfxO时的无穷小；如

果a是x->xO时的无穷小，则A是f(x)当xfxO时的极限.

类似地可证明Xf8时的情形.

1+X31111+X31

~~~lim~—~=0Alim—-—~=~

例如，因为2炉22x3,而22x3，所以12x32

定理2有限个无穷小的和也是无穷小

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小

2.无穷大

定义：如果当xfxO(或X-8)时，对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大，就称函

数f(X)为当x->xO(或X-8)时的无穷大.记为

lim/(x)=oo

XT%)

—lim/(x)=oo

(或x*).

应注意的问题：当x->xO(或x->oo)时为无穷大的函数f(x),按函数极限定义来说

,极限是不存在的.但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷

大”，并记作

lim/(x)=oolim/(x)=oo

人(或XB)x.

定理2(无穷大与无穷小之间的关系)：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无

11

穷大，则何为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)wO,则何为无穷大.

简要证明：

lim/(x)=O

如果,且f(x)M,那么对于M,38>0,当0<鼠一"。|<3时，

|/(x)|<£,=-5-।

有M,由于当0<相一/|<6时，f(x)M,从而

所以/㈤为xfxO时的无穷大.

lim/(x)=ooM=—

如果一，那么对于3S>0,当O<|x—x。|<3时,

\f(x)\>M=—I、l<£

有£,即〃x),所以为xrx时的无穷小.

简要证明：

如果f(x)->O(xfxO)且f(x)M,则一>0,35>0,

当0<|x-x0|<8时,有|f(x)|<£,即,所以f(x)->8(x-»xO).

如果f(x)-8(x—>x0),贝UVM〉O,38>0,当0<|x-xO<5时,

有|f(x)|>M,即，所以f(x)->0(x->xO).

课后作业

(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。)

第43页第2题

课后小结

（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良

好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时

补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第4次课

学科高等数学（一）

课题函数运算法则

周次7时数2授课班级1202114

主要教学内容：

极限运算法则

教学目的和要求：

掌握极限运算法则。

教学重点：

极限运算法则

教学难点：

两个重要极限

教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

教学过程

§5极限运算法则

一、极限运算法则

定理1如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;

(2)limf(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=AB;

lim®匣®d

(3)g*)hmg(x)8(BM).

证明(1):因为limf(x)=A,limg(x)=B,根据极限与无穷小的关系，有

f(x)=A+a,g(x)=B+p,

其中a及p为无穷小.于是

f(x)±g(x)=(A+a)±(B+p)=(A±B)+(a±p),

即”*)±80可表示为常数仆±8)与无穷小9±|3)之和.因此

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.

定理2如果(x)>(x),而lim(x)=a,lim\|/(x)=b,那么a>b.

推论1如果limf(x)存在，而c为常数，则

lim[cf(x)]=climf(x).

推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则

lim[f(x)]n=[limf(x)]n.

]•x-3

例3,求z3X2-9.

lim1.

丫一av_oi__x->3=」

lim-~~=lirn-----—-——=lim——lim（x+3）6

2

解.XT3X~9X->3（工一3）（太+3）x—3x+3理1）

lim24；3

例4.求—x2-5x+4

解：岬告警=冒=。

根据无穷大与无穷小的关系得1N_5X+4=8.

3x3+4N+2

例5.求…7x3+5x2-3

解：先用x3去除分子及分母，然后取极限:

limlim-444

KT87x3+5/_3x->87।537

xx3

、批察聿

例6..v—>oo2.x^—x-+5

解:先用x3去除分子及分母，然后取极限:

321

lim兰=|而x4f=?=0

x->oo2,x^—x2+52—।2

XX3

2炉一/+5

lim

例7.求XT83x--2x-1

lim——~-=0

解：因为xe2n2+5,所以

2炉一/+5

lim=00

XTOO3x2-2x-l

1iTTISinx

例8.求，工丁

解：当X-8时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能

应用.

血Jsinx

因为x无，是无穷小与有界函数的乘积,

lim皿=0

所以IX.

课后作业

（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）

第50页第2题

课后小结

（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良

好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时

补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第5次课

学科高等数学（一）

课题极限存在准则•两个重要极限

周次8时数2授课班级1202114

主要教学内容：

夹逼准则

单调有界收敛准则

教学目的和要求：

了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方

法。

教学重点：

两个重要极限

教学难点：

两个重要极限

教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

教学过程

§6极限存在准则-两个重要极限

极限存在准则-两个重要极限

1.夹逼准则

准则I如果数列｛xn｝、｛yn｝及｛zn｝满足下列条件:

(l)yn<xn<zn(n1,2,3,…)，

⑵吧%二:,吧…，

那么数列｛xn｝的极限存在，且，吧为

证明:因为lim%=%limzn=a,以根据数列极限的定义,\/£>0,3^1>0,当n>N\时,

“TOOn—x»

有

\yn-a\<£；又mN2〉O,当〃〉N2时，有|z〃-水£.现取N=max｛Ni,N2｝,则当〃〉N吐有

|y〃一水£,\zn-a\<s

同时成立,即

a-£<yn<a+£,a-c<z,

同时成立.又因ynWxnWzn,所以当n>N时，有

a-£<yn<xn<z,

即\x,i-a\<S.

limx„-a

区就证明了"f8

简要证明：由条件(2),V£〉O「N〉O,当〃>N时，有

\yn-a\<£及|2"一水£,

即有a-E<yn<ci+£,a-£<zn<a+£,

由条件(1),有

a-£<yn<xn<Z,

即\Xn~a\<£.

这就证明了lim/=a,

〃一>00

准则V

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:

(1)g(x)<f(x)<h(x);

(2)limg(x)=A,limh(x)=A;

那么limf(x)存在，且limf(x)=A.

第一重要极限：

lim网些=1

xf0X

证明首先注意到，函数X对于一切x*0都有定义.参看附图：图中的圆为单位圆,

BC10A,DA10A.圆心角NAOBx(0<x<2).显然sinxCB,xAB,tanxAD.

因为

SAAOB<S扇形AOB<SAAOD,

2sinx<2x<2tanx,

即sinx<x<tanx.

不等号各边都除以sinx,就有

sinxcosx

limcosx=l

注意此不等式当2<x<0时也成立.而7,根据准则匕1。*

0<x<—

简要证明：参看附图，设圆心角NAOBx(2).

显然BC<AB<AD,因止匕sinx<x<tanx,

cosxMvi

从而x(此不等式当x<0时也成立).

limcosx=llims'n--1

因为i。，根据准则r,-ox.

应注意的问题：/

sina(x)

在极限a(x)中，只要(x)是无穷小，就有

sincr(x).

hm......-=1

a(x)

Hm*=lim皿=1

这是因为，令u(x),则uf0,于是a(x)"f。u.

lim包必%

x->0Xe(x)((x)-0)

2.单调有界收敛准则

准则II单调有界数列必有极限.

如果数列｛xn｝满足条件

xl<x2<x3<•••<xn<xnl<…,

就称数列｛xn｝是单调增加的；如果数列｛xn｝满足条件

xl>x2>x3>••>xn>xnl>•・•,

就称数列｛Xn｝是单调减少的.单调增加和单调减少数列统称为单调数列.

如果数列｛xn｝满足条件xn<xnl,neN+,

在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界.但那时也曾指出：有界的数列不一定

收敛.现在准则H表明：如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定

存在，也就是这数列一定收敛.

准则II的几何解释：

单调增加数列的点只可能向右一个方向移动，或者无限向右移动，或者无限趋近

于某一定点A,而对有界数列只可能后者情况发生.

lim(l+—)".

根据准则n,可以证明极限38〃存在.

x=(1+—)w

设"«现证明数列｛xn｝是单调有界的.

按牛顿二项公式，有

“，1、”1,〃1,1,〃(〃T)("-2)1，双"-1)…1

XH=(1+-?=1+_.-+_-._+茄+・..+-------------防

=1+［+、（］__!_）+《（］__-）（1-—）+…+」（i•••（1--^-^-）

2!n3!nntv.nnn

9

x”+i=i+i+】（i—^）+\i——?~）+-..+-L（i—!—）（i—~J-）

2!n+13!n+1n+1n\n+1n+1n+\

+而”…。一而)

比较xn,xn+1的展开式，可以看出除前两项外,xn的每一项都小于xn+1的对应项

,并且xn+1还多了最后一项，其值大于0,因此

xn<xn+1,

这就是说数列｛xn｝是单调有界的.

这个数列同时还是有界的.因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替

,得

11

,,111,,111,一万7°1.

X«<l+1+2!+3!+"^<1+l+2+2?+-+2^=1+7T=3-2^<3

1-2

第二重要极限：根据准则II,数列｛xn｝必有极限.这个极限我们用e来表示即

lim（1+-）«=e

/i—>oofT

lim(l+—)x=e

我们还可以证明—*.e是个无理数，它的值是

e2.718281828459045--•.

指数函数yex以及对数函数yInx中的底e就是这个常数.

1

在极限1加[1+砥刈而中，只要(X)是无穷小，就有

I

lim[l+a(x)We

这是因为，令”词，则U—8,于是加11+*)•=吧。+[)'

1里Q+p"=e,iim[l+c(x)]同=e((x)f0).

lim(1--)x

例3.求f%.

解：令tX,则X-8时,t->00.于是

ii=lim——=—

lim(1--X=lim(l+与一100(l+卬e

x—>ooX/—>octt

lim(1-)r=lim(Id■—J—)-M—D=[lim(Id»――)-x]-1=e~l

或x—>xXx—>oc-X.v—>oo-X

课后作业

（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）

第60页第1题

课后小结

（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良

好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时

补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第6次课

学科高等数学(一)

课题无穷小的比较

周次8时数2授课班级1202114

主要教学内容：

无穷小的比较

教学目的和要求：

掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重点：

用等价无穷小求极限

教学难占.

用等价哭穷小求极限

教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

教学过程

§7无穷小的比较

无穷小的比较

1.定义：

lim2=0

(1)如果1m征一，就说夕是比a高阶的无穷小，记作尸=。(。)；

l.im.-P=co

(2)如果a,就说夕是比a低阶的无穷小，

lim2=c工00

(3)如果a，就说£是比。同阶的无穷小，

lim乌=。70次＞0°

(4)如果茁，就说夕是关于a的左阶的无穷小，

lim%

(5)如果,就说夕与&是等价的无穷小，记作

N1+x%

例1.证明：当X-0时，〃

定理14与戊是等价无穷小的充分必要条件为尸=二+。3)

1—COSX—

例2.因为当％—。时，sinx〜x,tanx〜x,arcsinx〜1,2,

所以当xf0时有sinx=x+o(x),tanx=x+o(x),arcsinx=x+o(x)

1-cosx=+o(x2)

rP'

Qa，lim—

定理2设B,且优存在，则

lim—=lim——

aa'

jl

「tan2x「sinx(i+x2r-i

lim-----lim-----lrim----------

例3求tan3%例4求“f。厂+3x例5求°cosx—1

课后作业

（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）

第72页第2题

课后小结

（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良

好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时

补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第7次课

学科高等数学（一）

课题函数的连续性

周次9时数2授课班级1202114

主要教学内容：

函数连续性的概念

函数的间断点

初等函数的连续性

教学目的和要求：

理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

了解连续函数的性质和初等函数的连续性。

教学重点：

连续函数的性质和初等函数的连续性

教学难点：

连续函数的性质和初等函数的连续性

教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

F¥a

§8函数的连续性

函数的连续性

1.变量的增量：

设变量U从它的一个初值ul变到终值u2,终值与初值的差u2ul就叫做变量u的

增量，记作u,即uu2ul.

设函数yf(x)在点xO的某一个邻域内是有定义的.当自变量x在这邻域内从xO

变到xOx时，函数y相应地从f(xO)变到f(xOx),因此函数y的对应增量为

yf(xOx)f(xO).

2.函数连续的定义

设函数yf(x)在点xO的某一个邻域内有定义，如果当自变量的增量xxxO

趋于零时，对应的函数的增量yf(xOx)f(xO)也趋于零，即

limAy=O―lim/(x)=/(^))

ArfO或*->与

那么就称函数yf(x)在点xO处连续

注①妈△尸㈣—+.二词

②设xx0+x,则当x->0时,x->xO,因此

limAy=Olim[/(x)-/(^)J=0lim/(x)=/(^)

Ar—>0sxfS