高数答案下习题册答案-第六版-下册-同济大学数学系编

第八章多元函数的微分法与其应用

§1多元函数概念

2222

一、f(xty)=^+y,^(x,y)=x-y,求：f[(p(x,y\y].

答案：/"(x，y)，)3)=(/-y2)2+y4=X4-2x2y2+2y4

二、求下列函数的定义域：

1、/U,j)=/(2-J)2{(^^y)\y2+x2^i}；

2、z=arcsin?{(_r,y)|夙工凶，xw0};

三、求下列极限：

1、to毕!？(0)

22

(X.y)T(O.O)x+y

2、lim(1+上产(d)

(x,yf8,2)x

四、证明极限lim-2、不存在.

(x,y)-»(O.O)+y/

证明：当沿着x轴趋于(0,0)时，极限为零，当沿着)，=/趋于(0,

0)时，极限为L

2

二者不相等，所以极限不存在

五、证明函数/(；")=<孙SMJJ+J，(内)=(0,0)在整个xoy面上连

0,*,)，)=(0,0)

续。

证明：当(x,>)*(0,0)时，/(x,)，)为初等函数，连续o当(％y)=(0,0)时,

lim盯sin.1=0=/(0,0),所以函数在(0,0)也连续，所

U.y)T(O.O)，12+y2，

以函数

在整个xoy面上连续。

六、设z=x+)J+/a+y)且当y=0时z=/,求f(x)与z的表达式.

解：f(x)=x2-x,Z=x2+2y2+2xy-y

§2偏导数

ydzdz

1、设Z=xy+xex,验证x—+3'—=^y+z

dx

dzydzydzdzy

证明:—=y+ex,—=x+ex—+y—=xy+xy+xex=xy+z

dxx3)，dxdy

z=x2+y2A]

2、求空间曲线「:1在点()处切线与y轴正向夹角(-)

y=5224

x

3、设/(x,y)=xy+(y-l)2arcsin求人(x,l)1)

y

4、设〃式求m

duz~,du1：1

解：£=7—=——-xInx—=—xInx

办厂dzy

2

5>设“二>/j^+)F2,证明：言+办du2

02U

6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导(偏导)9说明理

由

xsin———p/+/

/'(x,y)=«x+y

0,x2+y2Ho

连续;人(0,0)=limsin；不存在,

i。x2

y->0

0-0

人(0,0)=1而—=0

'y->0y—0

7、设函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，求

扁f(a+x,b)-f(a-x,Z?)

x->°x

(2fx(a,b))

§3全微分

1、单选题

(1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的

(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件

(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要

条件

(2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是

(A)偏导数不连续，则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全

微分必存在

(C)全微分存在，则偏导数必连续(D)全微分存在，而偏

导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：

八/2yl

1)z=exdz=ex(--+—dy)

x~x'

2)z=sin(xy2)解：dz=COS(A>?2)(y2dx+2xydy)

yy2_|yZ

3)u=xz解：du=—xzdx+-xzInxdyInxdz

zzz-

3、设z=ycos(x-2y),求dz万

(o.4-)

解：dz=_ysin(x-2y)clx+(cos(X-2y)+2ysin(x-2y))dy

dz\(0,-)=—dx--dy

4、设““z)=看子求："121)—(-2dx-44y+5dz)

u—'Am朋/,/、U2+y2)sin,,(x,y)*(0,0)五/八八、上从

5、讨论函数/(.”)={十),2在(0,0)点处

0,(苍y)=(0,0)

的连续性、偏导数、可微性

解：lim(x2+y2)sin.1r=0=/(0,0)所以/(x,y)在(0,0)点处连

(内…。)《+)，2

续。

人(0.0)=lim-。)-/(。，。)=o(o.O)=lim八0的')一八°。=0

(x.y)->(0.0)AX(M’)T(O.O)Ay

产与)_0-0,所以可微。

V(Ar)2+(Ay)2

其中Z具有二阶连续偏导数，求常数。的值3=3)

证明：包=包+包dz_dzdz

-2——+a—

dxcu加dudv

d2zd2z62Zd~u

dx2du2dudv8V2

2222

dzAdzAdz2du生=-2dz+(”2)匹+a典

-7=4---^a^^+a"--

dy1du2dudv。廿dudv执2

八2八2

得：(10+5。)^^+(6+。-。2)==0a=3

dudvdd

8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，

f(l,D=l,A(U)=m月(Ll)=b

又，(p(x)=f{x,f[x,f(x,x)]\求夕⑴.和9⑴(1),

(a+ab+ab~+b3)

§5隐函数的求导公式

I、设ylny=x+y,求生

dx

解.：令b(x,)，)=)，Iny-工一)，，F、二-1,久=In)，,「.?=」

dxIny

2、设z=z(x,y)由方程/+)/+z?=W(三)确定，其中/可微，证明

y

(x2-)/-z2)—+2xy--2xz

dxdy

3、设2=2*,)，)由方程二="”所确定，其中/可微，求之土

zdxdy

dz_z8z_zd2z_z

dxx(l+zYdy1+z'dxdyx(l+z)3

4、设卜WU”求雪虫(虫=」*=0)

z=x~+y~dxdxdxydx

5、设z=z(x,)，)由方程尸(处y+z,xz)=O所确定，尸可微，求自包

oxdy

解：令F(x,y,z)=F(x)\y+z,xz),则

Hz_R小+zK'Fv_F/x+F/

说二一五=一招'+*''5"一下"一月+叫'

6、设z=/(x,y)由方程z+x+>-e""'=0所确定，求dz(dz=-dx-dy)

7、设z=z(x,y)由方程3"+xcos(”)-=)，所确定，求?，当,

exOy

dz_3D.yIn3+cos(yz)

3z2+xysin(yz)

dzx.3A?In3-xzsin(yz)-1

办3z2+xysin(>fz)

§6微分法在几何

中的应用

I、求螺旋线x=2cos/,y=2sinf,z=3r在对应于f=2处的切线与法平面

4

方程

37

解：切线方程为邛=^^=二

-V2V23

法平面方程—V2(x--x/2)4-y[2(y—V2)+3(z——-)=0

4

2、求曲线F；)'：Z2：50在㈠，*5)处的切线与法平面方程

解：切线方程为与=匕?==,法平面方程：4x-3y=0

4—3I)

3、求曲面2/+3y2+z2=9在(1,-1,2)处的切平面与法线方程

解：切平面方程为2(工-1)-3(y+l)+2(z-2)=0

与法线方程占1二W=三

2—32

4、设/(〃,□)可微，证明由方程/(4X-历,砂-咐=0所确定的曲面在任一点

处的切平面与一定向量平行

证明：令夕(尤y,z)=f(ax-bz.ay-bz),则

F*=f\a,F、=九ci,F：=—bf、一%n=(j\a,a,—bj\-bf2)

;n(b,b,a)=0,所以在(x0,y0,z0)处的切平面与定向量(btb9a)

平行。

5、证明曲面”+#+z§=a3(a>0)上任意一点处的切平面在三个坐标

轴上的截距的平方和为小

22225」7--7--

证明：F(x,y\z)=x3+y3+z3-a3,则q3,=§),3,忆二1

在任一点(%,加%)处的切平面方程为

1_2_2

-

为-3(X7。)+>0-3(-N))+zo3(2-2o)=O

在在三个坐标轴上的截距分别为3在三个坐标轴上的

截距的平方和为/

证明曲面z=0\2)上任意一点加(/—),(与工0)处的切平面都通过原点

7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t,总有

F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z)

k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=O上任意一点的切平面都相交

于一定点

证明：F{tx,ty,tz)=tkF(x,y,z)两边对t求导，并令t=l

xFx+yFv+zF.=kF(x,y,z)

设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：

A(Xo，)'o，Zo)(x-Xo)+G(Xo，yo，z())(.y-.y0)+E(x(),)，o，z())(z-Zo)=O

此平面过原点(0,0,0)

§7方向导数

与梯度

1、设函数/*,)，)=/-刈+V,1)求该函数在点(1,3)

处的梯度。

2)在点(1,3)处沿着方向/的方向导数，并求方向导数达到最大

和最小的方向_

解：梯度为=-i+5j,

刑cos8+5sin。，方向导数达到最大值的方向为

s=(-1,5),方向导数达到

最小值的方向为==(1,-5)。

2、求函数〃=D2+)/+〃2在(1,2,-1)处沿方向角为

。=60°分=90°7=150°的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大

值的方向与最大方向导数的值。

解：：方向导数为与|­)="孚，该点处方向导数达到最大值的

方向即为梯度的方向

a

/次/〃(1,2,-1)=2；+57-3%,此时最大值为回

ul

3、求函数”=.修在(1,1,-1)处沿曲线"="=产,Z=1在(1,1,

1)处的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导数。

解：：=y2z\^-=2xyz\^-=3xy2z2,s=(1,2,3),.•.该函数在点(1,1,

oxdyoz

-1)处的方

向导数为孤”看

4、求函数〃=ln(y2+z2+/)在(1,1,-1)处的梯度。

解•・史二—在—包二—功—生=—么—,

ox厂+)厂+2dyx~+y-+z-dzx~+y+z~

2-2—2-

gradu(\,\-\)=-i+-j--k

§8多元函数的极值与求法

1、求函数八")=3一+3/一2口一21+2的极值。

答案：(1,1)极小值点

33

2.求函数/(x,y)=，+y2-2inx-i81ny的极值

答案：极小值加3)=10-181n3

3.函数/(x,y)=2/+^+w2+2y在点(1,1)处取得极值，求常数a

(-5)

4、求函数z=—+)/_1在条件工+>,_3=0下的条件极值

解：F(x,y,A)=x2+y2+l+2(x+y-3)

=>(^|)，极小值为:

<—V332

5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价

均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。

(长和宽2米，高3米)

6^在球面/+)/+z?=5，(x>0,y>0,z>0)上求一点,使函数

/(x，3\z)=lnx4-lny+31nz达到极大值，并求此时的极大值。利用此极

大值证明ya,b,c有abc,<27(空尚上•)，

证明：L=bix+hi>,+31nz+2(x2+y2+z2-5r2)

令"=0伐=0,半=0,r+y：+z'=5r2解得驻点x=y=r,z=6r。所

dxdydz

以函数/(x,y,z)=lnx+Iny+31nz在x=y=r,z=6,处达至lj极大值。极大

值为ln(36，)。HPxyz3<3V3r5=>x2y2(z2)3<27(r2)5=27(-V++Z)s,

223

令“2=凡y=b,z=cy得abc<27("+"。)，。

7、求椭球面《+亡+z2=1被平面x+y+z=O截得的椭圆的长半轴与

32

短半轴的

长度

解：F=x2+y2+z2+2|(―+—+z2-1)+A(x+z)

322

Lc221x.八

Fx=2x+---+^2=0

Fy=2y+y4-22=0

—3^2一%

F=2z+2Z|Z+2=02

y2-2(3+4)2+4

二+J2=1

32

x4-y+z=0

一%2

2(1+4)

4=—(x2+y2+z2)=-d~

4=T即长半轴JlMi,短半轴

第八章自测题

一、选择题：(每题2分，共14分)

“，2

1、设有二元函数〃工“〃)工(°0)，则[]

0,(x,y)=(0,0),

A^lim/*,)，)存在；

(x,y)->(0.0)

B、limf(x,y)不存在；

(x,y)->(0,0)

C、lim/3,)，)存在，且/«)，)在(0,0)处不连续；

1(0,0)

D、lun/*,)，)存在，且/'(x,y)在(0,0)处连续。

2、函数/(x,v)在4a。,)，。)各一阶偏导数存在且连续是“%y)在外(%,%)连

续的[]

A、必要条件;B、充分条件;

C、充要条件;D、既非必要也非充分条件。

xy

3、函数〃内)=二7在(0,0)点处

0,x=y

[]

A、极限值为1；B、极限值为-1;

C、连续；_!2、无极限。

4、z=f(xty)在《)(%,%)处fx(x,y)，/v(x,.y)存在是函数在该点可微分的

[]

(A)必要条件;(B)充分条件；

(C)充要条件；(D)既非必要亦非充分条件。

5、点0(0,0)是函数z=邛2的[]

(A)极小值点；旦二驻点但非极值点；

(C)极大值点；(D)最大值点。

6、曲面〃一+孙=3在点P(2,1,0)处的切平面方程是

[]

(A)2x+y-4=0;(B)2x-hy-z=4；

(C)x+2y-4=0；(D)2x+y-5=0

7、已知函数”=/Q,x,)，)/=Msj),)，=0(s,z)均有一阶连续偏导数，那么

半=[1

dt

(A)/用+/舱；(B)£+/>+//,；

(C)(D)他

二、填空题：(每题3分，共18分)

1、liin毕*(0)

—(0.0>广+)广

2、设fa,y,z)=ex",贝【J上与二

oxdydz

(exy:(1+3xyz+x2y2z2))

sin(xy)

3、设町则£(0,l)=(0)

0,jiy=0,

4、设z=(x+2y)3则在点(1,0)处的全微分・&=@+孙)

5、曲线在点&处的切线方程为

［广=Z

/x—1y—1z—1\

一~T=~T=~

6、曲线卜2+y-z2=3工在点(1,1,D处的切线方程为

2x-4y+6z=4

/x-\_y-\_z-\\

三、计算题(每题6分)

1、设/(x,y)=xln(F+)，2),求/(x,y)的一阶偏导数

£(%)，)=ln(x2+J，?)+?，，/；(x,y)=孕,。

x+y~x+y

2、设/(x,y)=ln(x+：)求此函数在点凡(1,1)处的全微分。并求该函数在

该点处沿着从

P。到e(2,-1)方向的方向导数(df\Y=dx-\dy,鼻=4)

(|,|)2clJ5

3、设Z=dx2y4j具有各二阶连续偏导数，求生

Ixjdxdy

22

AS：dZ个，，1r，c3J'”0Z

-7+2x\-7—

解丽切人+yfi2722

4、设/(x,)，)="'+)‘吊二+产求和｛(ay)。

0,/+),2=o

s,n

Iim/(x,o)-/(o,o)=limW7不存在，故人(o,o)不存在，同理,

八(0,0)

XT。X-0DX-

也不存在。

当(x,y)w(O,O)时,有

，/、元.12x1

fAx,y)=jsin,-------cos---------

27

而k乒7(一+)，2严X+/

，/、y12y1

力‘(X，)')=下=7SU1下=7--22)3/2CDS22

y/x+yy]x+y(xi))xiy

5、设z=/(x,y)由方程z+x+y1z+x+y=0所确定,求dz

(dz=-dx-dy)

6、设z=/3»-yw(y)+x],/具有连续的二阶偏导数,可导,求

cxdy

■=f；<p'(x)+f；三二”(必一£；+九"()，)]+—+芯“(y)]

oxdxdy

=一“⑶工：+[研加加-尤+也)%

7、设『：)'丁：=°确定函数…(内)，…(y)，求等当。

xy-u+u~=0dxdy

du_4皿+〃~du_4xu——y~

6x2(ir+u2)'dx2(//2+L>2)

du_2yu+xyudu_lyu-xyu

8ir+L>2'/ir+u2

8、设〃=,1f由2+尸+壬,式中/二阶可导，求要+翼+粤

Vx2+/+z:及一廿匕

解：记厂=卜+、+z2,贝1|

w=—=/(/-)<'

r

3〃fXr)r-f(r)duf\r)r-f(r)dufXr)r-f(r)

—=--------；-------x.—=--------：--------y,—=---------；-------z

dxr3Oyr3」dzr3

d2u_r2f\r)-?lfXr)r-f(r)]f\r)r-f(r)

a?"PA2P

类似地，有

d2ur2r(r)-3ir(r)r-/(r)]f'i^r-f(r)

k------P------)*2―P—

然产/"(厂)-3(/'(-)--/(一)]”〜r(，•》一/(一)

二=------------------z+--------n-------

济〃d2iid2u_r77r)-3[/r(r)r-/(r)]3[ff(r)r-f(r)]

彭+犷+牙=/1?

=f\r)

r

四、(10分)试分解正数4为三个正数之和，而使它们的倒数和为最

小。

设三个正数为x,),z,则x+y+z=a,记尸=工+工+工，令

xyz

I11、

(p——I----1—+A(X+y+z-ci)

xyz

则由

(p--r+几=0

x九・

1,c

9=—^+4=0

y解出1=)-=会

1。八

(P-=---7+义=0

x+y+z=a

五、证明题：(10分)

试证：曲面z=x+/()，-z)上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中了

连续可导。

证明：曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面的法向量为

定直线£的方向向量若为$={□」},贝(J

〃5=0,即〃_Ls

则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。

第九章重积分

§1二重积分的概念与性质

1、由二重积分的几何意义求二重积分的值

，=JJJi+)尸dxdy其中D为：x2+>,2<4

D

(/=JJdxdy-乃.4.2—'.乃.4.2=—7r)

八33

D),2

2、设为圆域/+<a2a>0,若积分仪4/_),2dM皆，求a的值。

D

解：||yja2-x2-y2dxdy二耳,§加"a=~

D

3、设D由圆“-2)2十()，-1)2=2围成,求。3小力

D

解：由于D的面积为2乃，故jj3drdy=6,T

D

4、设D：{(x,y)[3<xM5,O<yVI},

2

/i=jj\n(x+y)dKdyJ2=jj[ln(x+y)]dxdy,比较I],与人的大小关系

DD

解：在D上，ln(x+y)<[ln(x+)，)『，故/陷乙

5、设f(t)连续，则由平面Z=0,柱面f+y2=i,和曲面Z="(D)]2

所围的

立体的体积，可用二重积分表示为v=⑸)]2cBy

D-.x2+y2<\

6、根据二重积分的性质估计下列积分的值

JJsin2xsin2ydxdyD:O<x<^,0<y<^-

D

(0<jjsin2xsin2ydxdy)

D

7、设f(x,y)为有界闭区域D：上的连续函数，求

解：利用积分中值定理与连续性有

Jim—f(x,y)dxdy=Ijm=/(0,0)

“T血D8"T

§2二重积分的计算法

1、设/二H—二公外，其中D是由抛物线)，=/+]与直线y=2x,x=0所围

成的区域:则i=()

91

A：--In3-ln2+-B：-In3+In2——

8282

明.「1

C：-In3-ln2--D：—In3-In2——

8284

2、设D是由不等式N+N。所确定的有界区域，则二重积分H(w+)，心力，

D

为

()

A：0B：gLID：

1

3、设D是由曲线xy二1与直线x=l,x=2与y=2所围成的区域，则二重积

分

||ye^dxdy为()

D

：421

Ale-e--B：-e4-e，+e——eI-

2222

11

rC：—e4+—eD：—1e〃4-e2

222

设是连续函数，则二次积分£公片,(入，为(

4、f(x,y)09

J)

A£f(x,y\lxIftf@,yylxB£力［:f(^

C1；力£「，■)岫+f矶'J/(x,y)dxDj：d£'"f(x9y)dx

5、设有界闭域□、D2关于。y轴对称，f是域D=Di+D2上的连续函数，则

二重

积分jjf(x2y)海y为()

D

A2^f(x2,y)dxdyB4\\f(x\y)dxdy

D2

22

C^f(x,y\dxdyD^\\f^yy)dxdy

5202

6、设》是由ox轴、oy轴与直线x+y=l所围成的有界闭域，f是域

D:|x|+|y|W1

上的连续函数，则二重积分为()

AZU/，,)/心力_B_40f(x2,y2)dxdy

c8jjJ\x2,y2)dxdy【)公外

D\24

7、.设f(x,y)为连续函数,则INC)，)"，为()

A£^f7(x,y)J.v

D^dy^f(x9y)dx

r2

8^求j=^—dxdy,其中D:由x=2,y=x,xy=l所围成.

Dy

x

9、设I=(dx^f(Xly)dyf交换积分次序后I为:

1二J：公f”以x,y)dy=「办()')公

x

10、改变二次积分的次序:gj"。，y)dy+^dx^~f(x9y)dy

2*1

尸“T

11、设D={(x,y)|0WxWl,OWyWl}，求J""，的值

D

解：||ex+ydxdy=£dx^ex+ydy=(£e'dx){(eydy)=(eI)2

D

12设1叩〃2-人—y2A外，其中D是由x?+yJRx所围城的区域,求I

D

3

13、计算二重积分JJ|/+y2-4|aW)，，其中I)是圆域/+V<9

D

解:jj|x2+y2-41dxdy-『ddj：(4-r~)rdr+『dO^[r2-4)rdr=

14、计算二重积分内d"y,其中D={(x,y)|O«l,OWyWl}

D

2xy

解：jjem^{x,y-dxdy=£edy+£^/y£edx=e-\

D

15^计算二重积分jj：：)2dxdy,D:x2+y2<l,x+y>I.

解：JJeW"cos：产为一多

Ar

D十>cos，+sin”乙

§3三重积

分

1、设。是由x=0,y=0,z=0与x+2y+z=l所围成的空间有界域，则

肝以孙/2为()

A£dx£dv£'"'xdzB'xdy

C：公。dy［：'xdzI)£dx^dy^xdz

2、设Q3/曲面'1+y2=2z,与z=2所围成的空间有界鼠，*M面坐标

系下将三重积分川V(x,y,z)dMMz表示为累次积分，1=()

A£d^Jdp£2f(pcos^,psin^,z)dzB

2*2"

Jd^£dp£2f(pcos^,/sin^,z)/xlz

C£d^£dpj~；f(/xos^,psin^,z)/xizD

£d6^£dp£f(pcos0y您inO,z)pdz

3、设C是由Y+V+z2G所确定的有界闭域，求三重积分川小小

Q

解:(|J"""’=J：*(Udxdy)dz=2ifez(l-z2)dz=2乃

Cx2+y2Sl-z2

4、设。是由曲面z二xy,y=x,x=l与z=0所围成的空间区域，求

\\\xy2zydxdydz(1/364)

Q.

22

5、设。是球域：X4-/+Z<1,求口zln(:+y+F+l)./Wz(0)

嵋厂-y-+z+i

6、计算”(~+y2)小心Hz其中。为：平面看2与曲面V+y2=2z2所围

Q

成的

区域自乃)

5

7、计算Jjpz取(岫其中。是由平面z=0,z=y,y=l以与y=x?所围成的闭

Q

区域(2/27))

8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求

腺-TH贝/+/+z?)dxdydz

TEX2+V2+Z2<t2

解：lim—ffff(Jx2+y2+z2dxdydz

-ML

二蚓2『"4T可/⑺/sinM=照=广(0)

§4重积分的应用

1、(1)、由面积J+y而2x,f+y2=4x,尸x,y=0所围成的图形面积为

A—(^-+2)B—(7T+2)C3(乃+2)D

424

4+2

(2)、位于两圆夕=2sin。与夕=4sin6之间，质量分布均匀的薄板重心坐

标是()

A(0,9)B(0,9)C(0,-)D(0心)

33----33

(3)、由抛物面z2+)J=4x和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重

心坐标是()

A(-,0,0)B烂0,0)C(-,0,0)D(-,0,0)

—3344

(4)、质量分布均匀(密度为〃)的立方体所占有空间区

^：Q={Uy,z)|0<x<l,0<y<l,0<z<l},该立方体到oz轴的转动惯量

Iz=()

A|A_Il|AC〃Dg,

2、求均匀上半球体(半径为R)的质心

解：显然质心在z轴上，故x=y=0,=芋故质心为(0,0,糜)

V嵋83

4、曲面Z=13---y2将球面/+y2+Z?=25分割成三部分，由上至下依

次记

这三部分曲面的面积为S1,s2,s3,求S1：S2：S3

解：S1=ff5^xdy=1OTTS,=IT5rdxdy=20^

A7257^7也「5——2

707T

S2=

5、求曲面Rz=呼包含在圆柱i+),2=R2内部的那部分面积

解：s=JJ叵三”二丝也止

x\y<R2R3

6、求圆柱体/+/«2&包含在抛物面，+,2=2&和乂0丫平面之间那部

分立

体的体积

22

解：V=JJ_L(X+y)dXely=^-

x2+y^2H\2K4

第九章自测题

一、选择题：(40分)

1、1同力=()

A『力（/（苍y）dxB£力『f（x,y）dx

c£dyfQ/（A；y）dx_Df"），「/",y）dx・

2、设Q为F+)/w,当。=()时，JJ-X1-y2dxdy=4.

A1B1/1”,DR

3、设/=乐/+)，2"力，其中。由x2+y2j2所围成，则G(B）.

D

A£曲（（Tr（ir=mi4____Br~.rdr=—加4；

°°.o2

C[d0\r2dr=—加DfdOfa2-adr=2的4.

JoJo3JoJo

4、设。是由三个坐标面与平面x+2y-z=1所围成的空间区域,则

jjjxdxdydz-（）.

设Q是锥面//疝心

50,/?>0,c>0）与平面x=0,y=0,z=c所围

成的空间区域在第一卦限的部分,则可方“MWz=().

\-crb'4cB-a2b24bC-Ire14aD—c4cib.

-36363636

6、计算/=JJJzd%6为z?=八+）,2,2=1围成的立体,则正确的为（）关口（）

c

Cl=^d0^dz(rdrD1=dzCdo[zrdr.

Ji)JoJrJoJoJo

7、曲面Z=7?不包含在圆柱V+y2=2x内部的那部分面积$=()

A也兀B6兀C旧兀I)2J57r.

8、由直线x+y=2,x=2,y=2所围成的质量分布均家设面密度为〃)的

平面薄板,关于x轴的转动惯量。=().

A3以B5〃C4/7D6//

二、计算下歹U二重积分：(20分)

1jj(x2-y2)d(y,其中D是闭区域：0<<sinxfi<x<7t.

D

r240x

2、Jjarctan—Ja,其中。是由直线y=0与圆周x2+y2=4,x2+y2=1,y=x所

DX

围

成的在第一象限内的闭区域.（」/）

64

3、。（丁+31-6y+9）db,其中。是闭区域：Y+y24R2（军内+9次）

D4

4、,,+）2-2阳，其中£）：f+y2《3.（£",）

三、7乍出积分区域图形并交换下列二次积分的次序：（15分）

1、f力『/(x,y)dx+f")£，f(x,y)dx(1公『/(x,y)dy)

2

2、^x-y)dy「

(£办二八%)')公+f办f(x,y)dx)

3^£”e［：/(rcosarsin6)rdr

(』：""［；•"'cos仇rsin9)rdr)

四、计算下列三重积分：