高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 直线与直线平行

8.5.1直线与直线平行

【新知初探】

要点一基本事实4直线与直线平行具有传递性

平行于同一条直线的两条直线.

要点二定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

文字语言

或__________

作用判断或证明两个角相等或互补

t基础自测】

［判断］

1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.（）

2.分别和两条异面直线平行的两条直线平行.（）

3.如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角

（或直角）相等.（）

［训练］

1.已知力6〃尸。，BC//QR,乙仍7=30°,则N%?等于（）

A.30°B.30°或150°

C.150°D.以上结论都不对

2.对角线互相垂直的空间四边形4?口各边中点分别为M,N,P,Q,则四边形

MNPQ是.

【题型通关】

题型一证明直线与直线平行

【例1】如图所示，在空间四边形/切9（不共面的四边形称为空间四边形）中，

E,F,G,H分别为AB,BC,CD,加的中点.

(1)求证：四边形如掰是平行四边形；

(2)如果47=做，求证：四边形夕浏是菱形.

跟踪训练1如图，E,尸分别是长方体力比714AG〃的棱44GC的中点.求

证：四边形5&加为平行四边形.

D,C,

题型二等角定理及应用

【例2】如图所示，在正方体4反刀一44G〃中，E,月分别是棱4〃的中

点.求证：4BEC=4B\E\G.

跟踪训练2在正方体46切一45G〃中，E,F,品£分别是棱力6,AD,5G,

G〃的中点.

求证：（1））统£公

⑵/必尸=/白外

【课堂达标】

1.空间两个角。，£的两边分别对应平行，且。=60°,则£为（）

A.60°B.120°

C.30°D.60°或120°

2.两等角的一组对应边平行，则（)

A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行

C.另一组对应边不可能垂直D.以上都不对

3.如图所示，在长方体4c中，4G与5〃相交于点0,E,尸分别是30,的

中点，则长方体的各棱中与所平行的有（）

A.3条B.4条

C.5条D.6条

4.如图，AA'是长方体四切一4‘B'CD'的一条棱，那么长

方体中与A4'平行的棱共有条.

5.在长方体/四一4HG〃中，E,b分别是〃G,身G的中点，

证明EF//BD.

【札记】

参考答案

【新知初探】

平行

相等

互补

【基础自测】

［判断］

1.J

2.X分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面.

3.V

［训练］

1.答案B

2.解析如图所示.

•..点也.MP,0分别是四条边的中点，

：.MN//ACSiMN=^AC,PQ〃AC旦PQ=\AC,

乙乙

即MN〃PQ旦MN=PQ,

...四边形拗阳是平行四边形.

又,：BD/IMQ,ACLBD,:.MNLMQ,

，平行四边形"坛也是矩形.

答案矩形

【题型通关】

【例1】证明⑴因为空间四边形四口中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,

力的中点，

所以EF〃AC,HG//AC,EF=HG=^AC,

所以EFHHG,EF=HG,

所以四边形瓯况是平行四边形.

(2)因为空间四边形48切中，E,F,G,〃分别为BC,CD,物的中点，

所以EH〃BD,EH=^BD.

因为跖=f。，AC=BD,所以EH=EF.

又因为四边形必做是平行四边形，所以四边形反功是菱形.

跟踪训练1证明如图，取的的中点0,连接£0,QC、.

o,

是14的中点，."0统4〃.

V在矩形4AG〃中，A。磕BC,

.."Q统6G,.•.四边形EQC瓜为平行四边形，

:.B\E褫GQ.

又0,尸分别是〃〃GC的中点，，。〃统G凡

.•.四边形〃QG尸为平行四边形，.'.G。统W

又B\E够C\Q,：.B\E辍FD,

故四边形3瓦加为平行四边形.

【例2】证明如图，连接切.

E分别为AQ,4〃的中点,

,统AE,

，四边形4瓦斜为平行四边形，

，44幺秀EE又AA够BB：.E\E够BB

...四边形现仍5是平行四边形.

：.EXBJ/EB.同理86〃交

又NA6G与/座1C的两边分别对应平行，且方向相同，.•.NA£G=N8比：

跟踪训练2证明⑴如图，连接龙，5〃.在△/劭中，因为反尸分别为

4?的中点，所以如统去见

同理，££幺秀;身〃.

在正方体ABCD-ABC\D,中，BB、统DD、,

所以四边形83〃〃为平行四边形，所以劭统3〃.

又EF是BD,E\F\*B、D\,

所以跖统££.

⑵取48

的中点也连接£弘BM,则必燃8K.

又BC矮,BC,所以奶统犯

所以四边形8姐。为平行四边形，

所以BM褫CE.

因为4#=%£，BE=^AB,且48株秀48,

所以秀BE,

所以四边形8%/为平行四边形，

所以"〃42所以4〃4£

同理可证4夕〃丝.

因为N劭尸与N6%的两边分别对应平行，且方向都相反,

所以/劭/=/£）；.

【课堂达标】

1.解析如图，

•.•空间两个角明£的两边对应平行，

•••这两个角相等或互补，

"/。=60°,

：.£=60°或120°.故选D.

答案D

2.解析另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空间等角

定理（若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补）的区别.

答案D

3.解析由于反尸分别是6。6；。的中点，故即〃5c.因为和棱5c平行的棱

有/〃，BC,4〃，所以符合题意的棱共有4条.

答案B

4.解析•••四边形/施'A',ADD'4均为长方形，

：.AA'//BB',AA'//DD'.

又四边形8+'B'为长方形，

：.BB'//CC,：.AA///CC.

故与A4'平行的