历届高考试题2003数学（文）

PAGEPAGE11绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.正棱台、圆台的侧面积公式其中正棱台、圆台的侧面积公式其中、c分别表示上、下底面周长l表示斜高或母线长球体的体积公式其中R表示球的半径三角函数的积化和差公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设，且下列结论中正确的是 （） A． B． C． D．2．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于 （） A． B． C． D．－23．若，则方程的根是 （） A．－2 B．2 C．－ D．4．若集合 （） A． B． C． D．5．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D．6．在等差数列中，已知，那么等于 （） A．4 B．5 C．6 D．77．设复数 （） A．－ B． C． D．8．函数的递增区间依次是 （） A． B． C． DyyyyyyyyxxxxABCD10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （）A．6 B．12 C．15 D．3011．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（） A．90° B．60° C．45° D．0°12．已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（）A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号二三总分171819202122分数得分评卷人二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中得分评卷人（1）（2）横线上.（1）（2）13．函数的最小正周期为.14．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则.15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内.年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（）8816．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是.三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.得分评卷人得分评卷人17．（本小题满分12分）解不等式：得分评卷人得分评卷人18．（本小题满分12分）已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.得分评卷人得分评卷人19．（本小题满分12分）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积.；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.得分评卷人得分评卷人20．（本小题满分12分）设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹.得分评卷人得分评卷人21．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？得分评卷人得分评卷人22．（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为.（Ⅰ）证明是等比数列；（Ⅱ）求的值.绝密★启用前2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A10.D11.B12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．π14．15．（140）（85）16．.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.解：原不等式.故原不等式的解集是.18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.满分12分.解：由.所以的定义域为因为的定义域关于原点对称，且是偶函数.又当，所以的值域为19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.（Ⅰ）解：.（Ⅱ）证明：记D1C与DC1的交点为O，连结OE.∵O是CD1的中点，E是BC的中点，∴EO∥BD1.∵BD1平面C1DE，EO平面C1DE，∴BD1∥平面C1DE.（Ⅲ）解：过C作CH⊥DE于H，连结C1H.在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD，∴∠C1H⊥DE，∴∠C1HC是面C1DE与面CDE所成二面角的平面角.∵DC=2，CC1=1，CE=1，∴，∴即面C1DE与面CDE所成二面角的正切值为20．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.解：设动点P的坐标为（x，y）.由.化简得当，整理得.当a=1时，化简得x=0.所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力.满分13分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车