2024秋高中数学第三章概率3.3几何概型练习含解析新人教A版必修3

PAGEPAGE13.3几何概型A级基础巩固一、选择题1．某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为()A.eq\f(1,13) B.eq\f(1,9) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为eq\f(π×22,π×62)＝eq\f(1,9).答案：B2．有四个嬉戏盘，如图所示，假如撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的嬉戏盘为()解析：对A，P(A)＝eq\f(3,8)，对B，P(B)＝eq\f(1,3)；对C，P(C)＝eq\f(4－π,4)＜eq\f(1,4)；对D，P(D)＝eq\f(1,π)，明显P(A)最大，因此应选嬉戏盘A.答案：A3．水面直径为0.2m的鱼缸的水面上飘着一块面积为0.02m2的浮萍，则向鱼缸随机撒鱼食时，鱼食掉在浮萍上的概率为()A．0.1 B．0.02 C．0.2 D.eq\f(2,π)解析：r＝eq\f(0.2m,2)＝0.1m，S＝π×0.12＝0.01πm2.eq\f(0.02m2,0.01πm2)＝eq\f(2,π).答案：D4．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率为eq\f(2,3)，则阴影区域的面积为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3) C.eq\f(8,3) D．无法计算解析：eq\f(S,4)＝eq\f(2,3)，S＝eq\f(8,3).答案：C5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为()A.eq\f(π,16) B.eq\f(π,8) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,2)解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心、1为半径的eq\f(1,4)圆内．所以所求的概率为eq\f(\f(1,4)π,\f(1,2)×2×2)＝eq\f(π,8).答案：B二、填空题6．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于20min的概率为________．解析：由几何概型知，P＝eq\f(20,60)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下视察，则发觉大肠杆菌的概率为________．解析：eq\f(2,400)＝0.005.答案：0.0058．如图，甲、乙两人玩转盘嬉戏，规定当指针指向阴影所示区域时甲胜，否则乙胜，则甲获胜的概率是________．解析：共分为8部分，阴影占5部分．答案：eq\f(5,8)三、解答题9．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．解：记F＝{作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°}，作射线OD、OE，使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则P(F)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).10.如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM<AC的概率．解：这是几何概型问题且射线CM在∠ACB内部．在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}，则全部可能结果的区域角度为90°，事务A的区域角度为67.5°，所以P(A)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).B级实力提升1．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.eq\f(4n,m) B.eq\f(2n,m) C.eq\f(4m,n) D.eq\f(2m,n)答案：C2．已知直线y＝x＋b的横截距在[－2，3]内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是________．解析：全部的基本领件构成的区间长度为3－(－2)＝5，因为直线在y轴上的截距b大于1，所以直线横截距小于－1，所以“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本领件构成的区间长度为－1－(－2)＝1，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)3．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币随意掷在这个平面上(如图)，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解：设事务A：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M