2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 7 7.3 正切函数的诱导公式（教师用书）教学实录 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数77.3正切函数的诱导公式（教师用书）教学实录北师大版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：2024-2025学年高中数学第1章三角函数7.3正切函数的诱导公式

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2024年10月15日星期二上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标培养学生运用三角函数的知识，理解和掌握正切函数的诱导公式，提高数学抽象和逻辑推理能力。通过公式的推导和应用，锻炼学生解决实际问题的能力，增强数学建模意识。同时，引导学生体会数学与生活的联系，提升数学应用意识和创新意识。重点难点及解决办法重点：

1.正切函数的诱导公式的推导过程。

2.诱导公式在实际问题中的应用。

难点：

1.理解并记忆诱导公式的推导过程。

2.正确运用诱导公式解决实际问题。

解决办法：

1.通过引导学生回顾已学三角函数知识，逐步推导出正切函数的诱导公式，帮助学生理解推导过程。

2.通过实例讲解和应用，让学生在解决问题的过程中掌握诱导公式的运用方法。

3.设计分层练习，从基础到提高，逐步突破难点，确保学生能够灵活运用诱导公式。

4.鼓励学生自主探究，通过小组讨论和合作学习，共同解决难题，提升学生的数学思维能力和团队协作能力。教学资源-软硬件资源：笔记本电脑、投影仪、电子白板

-课程平台：学校内部教学资源平台

-信息化资源：三角函数的动画演示视频、相关教学软件

-教学手段：多媒体课件、板书、实物模型（可选）、练习题集教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

设计预习问题：围绕正切函数的诱导公式，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何通过正弦和余弦函数的诱导公式推导出正切函数的诱导公式？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解正切函数的诱导公式的基本概念。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解正切函数的诱导公式，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过回顾三角函数的基本性质，引出正切函数的诱导公式，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解正切函数的诱导公式的推导过程，结合具体例子如“求$\tan(135^\circ)$的值”。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题，如“如何利用诱导公式简化三角函数的运算？”

参与课堂活动：积极参与小组讨论，如“尝试用诱导公式解决一个实际问题”。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解正切函数的诱导公式。

实践活动法：设计实践活动，如小组合作，共同解决一个与诱导公式相关的问题。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解正切函数的诱导公式，掌握其应用方法。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置一些应用诱导公式解决实际问题的练习题，如“求解三角形的内角”。

提供拓展资源：推荐一些在线数学资源或相关书籍，供学生进一步学习。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，如“求一系列角度的正切值”。

拓展学习：利用老师提供的资源，尝试解决更复杂的三角函数问题。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的正切函数的诱导公式和技能。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理1.正切函数的定义

正切函数（TangentFunction），记作tan(x)，是指在一个直角三角形中，非邻边（对边）与邻边（邻边）的比值。正切函数的定义域是全体实数，值域是(-∞,+∞)。

2.正切函数的性质

（1）周期性：正切函数具有周期性，周期为π，即tan(x+π)=tan(x)。

（2）奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

（3）连续性：正切函数在其定义域内连续。

3.正切函数的图像

正切函数的图像是一条连续不断上升的曲线，具有垂直渐近线，当x趋于±π/2时，tan(x)趋于±∞。

4.正切函数的诱导公式

正切函数的诱导公式包括以下四个公式：

（1）tan(π-x)=-tan(x)

（2）tan(-x)=-tan(x)

（3）tan(x+π)=tan(x)

（4）tan(x+2π)=tan(x)

5.正切函数的应用

（1）求角度的正切值：利用正切函数的定义，可以求出角度的正切值。

（2）求三角形的边长：在已知一个角的正切值和三角形的另一个角的情况下，可以求出三角形的边长。

（3）求解实际问题：正切函数在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

6.正切函数的倒数

正切函数的倒数是余切函数（CotangentFunction），记作cot(x)，即cot(x)=1/tan(x)。

7.正切函数与余弦函数、正弦函数的关系

（1）tan(x)=sin(x)/cos(x)

（2）cot(x)=cos(x)/sin(x)

8.正切函数与正弦函数、余弦函数的复合函数

（1）tan(sin(x))：求正弦函数的值作为正切函数的自变量。

（2）tan(cos(x))：求余弦函数的值作为正切函数的自变量。

9.正切函数的极限

正切函数在以下两个点的极限分别为±∞：

（1）当x趋于π/2时，tan(x)趋于+∞。

（2）当x趋于-π/2时，tan(x)趋于-∞。

10.正切函数的积分

正切函数的原函数为：

（1）tan(x)的积分=-ln|cos(x)|+C

（2）cot(x)的积分=ln|sin(x)|+C课后拓展1.拓展内容：

（1）阅读材料：《三角函数的实际应用》

该阅读材料介绍了三角函数在日常生活、物理学、工程学等领域的应用实例，如建筑设计、地震波分析、声波传播等。

（2）视频资源：《三角函数在工程中的应用》

该视频通过实际案例，展示了三角函数在工程领域的应用，如桥梁设计、风力发电等。

2.拓展要求：

（1）鼓励学生利用课后时间阅读相关材料，了解三角函数在实际生活中的应用。

（2）引导学生思考如何将所学知识应用于实际问题中，提高学生的创新意识和实践能力。

（3）教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。

具体拓展活动如下：

（1）案例分析：

学生可以选择阅读材料或观看视频中的案例，分析三角函数在案例中的应用，并总结三角函数在实际问题中的特点。

（2）小组讨论：

学生分组讨论，针对以下问题进行探讨：

-三角函数在哪些领域有着广泛的应用？

-如何将三角函数应用于实际问题中？

-在应用三角函数解决实际问题时，需要注意哪些问题？

（3）实际操作：

学生可以尝试以下实际操作：

-利用三角函数计算生活中常见的角度、长度等。

-设计一个简单的物理实验，观察三角函数在实验中的应用。

-分析一个实际工程案例，探讨三角函数在该案例中的应用。

（4）创作作品：

学生可以创作以下作品：

-一篇关于三角函数应用的短文，介绍三角函数在某个领域的应用。

-一幅描绘三角函数在工程领域应用的插画。

-一段关于三角函数应用的短视频。

教师可定期收集学生的拓展成果，并进行展示和评价，以激发学生的学习兴趣和积极性。通过课后拓展，学生不仅能够巩固所学知识，还能够提高自己的实践能力和创新意识。课堂1.课堂评价

（1）提问评价

在课堂教学中，教师通过提问的方式，可以即时了解学生对正切函数诱导公式的理解和掌握程度。具体评价方法如下：

-随机提问：针对正切函数诱导公式的定义、性质和推导过程，随机提问学生，观察他们的回答是否准确、完整。

-答辩评价：对于一些较为复杂的问题，鼓励学生进行辩论，通过辩论的过程，评价学生对知识的深入理解和应用能力。

（2）观察评价

教师通过观察学生的课堂表现，可以评估他们对正切函数诱导公式的学习兴趣和参与度。具体评价方法如下：

-观察学生的课堂参与度：关注学生在课堂上的注意力集中程度、提问的积极性以及与同学的互动情况。

-观察学生的解题过程：观察学生在解决与正切函数诱导公式相关的问题时的思路和方法，评估他们的逻辑思维能力和问题解决能力。

（3）测试评价

-课堂小测验：设计一些与正切函数诱导公式相关的基础题目，让学生在规定时间内完成，评估他们对知识的掌握程度。

-随堂练习：在课堂教学中，适时安排一些与正切函数诱导公式相关的练习题，让学生现场完成，观察他们的解题速度和正确率。

2.作业评价

（1）作业批改

教师对学生的作业进行认真批改，关注以下几个方面：

-作业完成情况：检查学生是否按时完成作业，作业是否整洁、规范。

-解题思路：评估学生的解题思路是否清晰、合理，是否能够灵活运用所学知识。

-错误分析：分析学生作业中的错误，找出错误原因，指导学生进行改正。

（2）作业点评

教师对学生的作业进行点评，具体方法如下：

-及时反馈：在批改作业后，及时将作业反馈给学生，指出他们的优点和不足。

-鼓励学生：对学生的进步给予肯定，鼓励他们继续努力。

-指导学生：针对学生的不足，提供具体的指导和帮助，帮助他们提高。

（3）作业展示

教师可定期组织作业展示活动，让学生分享自己的作业成果，互相学习、借鉴。具体方法如下：

-优秀作业展示：挑选出一些优秀作业进行展示，让学生了解优秀作业的标准。

-作业讨论：组织学生针对作业中的问题进行讨论，提高他们的思维能力和表达能力。板书设计①正切函数的定义

-正切函数的定义：tan(x)=对边/邻边

-定义域：全体实数

-值域：(-∞,+∞)

②正切函数的性质

-周期性：tan(x+π)=tan(x)

-奇偶性：tan(-x)=-tan(x)

-连续性：正切函数在其定义域内连续

③正切函数的图像

-图像特点：连续不断上升的曲线，垂直渐近线在x=π/2和x=-π/2

④正切函数的诱导公式

-tan(π-x)=-tan(x)

-tan(-x)=-tan(x)

-tan(x+π)=tan(x)

-tan(x+2π)=tan(x)

⑤正切函数的应用

-求角度的正切值

-求三角形的边长

-求解实际问题

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