新课标2025版高考数学二轮复习第一部分基醇点自主练透第2讲集合复数常用逻辑用语学案理新人教A版

PAGE1-第2讲集合、复数、常用逻辑用语集合[考法全练]1．(2024·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}解析：选C．由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，所以M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C．2．(2024·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2} B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}解析：选D．因为A∩C＝{－1，1，2，3，5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1，2}，所以(A∩C)∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．故选D．3．(2024·郑州市其次次质量预料)已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，则A∩(∁UB)＝()A．(－1，0) B．[0，1)C．(0，1) D．(－1，0]解析：选D．A＝{x|1－x2>0}＝(－1，1)，B＝{y|y>0}，所以∁UB＝{y|y≤0}，所以A∩(∁UB)＝(－1，0]，故选D．4．(一题多解)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：选A．法一：由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3)，又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝9，故选A．法二：依据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A．5．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x－1)}，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M＝N D．N∈M解析：选B．因为集合M＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x－1)}＝{0}，所以N⊆M.故选B6．(一题多解)(2024·安徽省考试试题)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为()A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．(－∞，3] D．[3，＋∞)解析：选B．法一：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1肯定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1，故选B．法二：集合A＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，a的值大于3时，满意A∩B≠∅，因此解除A，C．当a＝1时，满意A∩B≠∅，解除D．故选B．eq\a\vs4\al()集合问题的求解策略(1)连续数集借助数轴，不连续数集借助Venn图．(2)图形或图象问题用数形结合法．(3)新定义问题要紧扣定义进行逻辑推理或运算．[提示]解决集合问题要留意以下几点．(1)集合元素的互异性．(2)不能忽视空集．(3)留意端点的取值，如题3中，A∩(∁UB)中含有元素0.(4)理解代表元素的意义，如题4为点集，其他各题均为数集．复数[考法全练]1．(2024·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：选D．由z(1＋i)＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(2i(1－i),2)＝i(1－i)＝1＋i.故选D．2．(2024·高考全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i解析：选D．因为z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝－1－2i，故选D．3．(一题多解)(2024·南宁模拟)设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．eq\r(2)解析：选C．法一：因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f((1－i)2,(1＋i)(1－i))＋2i＝＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C．法二：因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i＋2i(1＋i),1＋i)＝eq\f(－1＋i,1＋i)，所以|z|＝|eq\f(－1＋i,1＋i)|＝eq\f(|－1＋i|,|1＋i|)＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1.故选C．4．(2024·漳州模拟)已知i是虚数单位，且z＝eq\f(2＋4i,(1＋i)2)，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：选A．z＝eq\f(2＋4i,(1＋i)2)＝eq\f(2＋4i,2i)＝eq\f(1＋2i,i)＝eq\f(－i(1＋2i),－i2)＝2－i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝2＋i，所以eq\o(z,\s\up6(－))对应的点在第一象限．故选A．5．(2024·高考全国卷Ⅰ)设复数z满意|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1解析：选C．由已知条件，可得z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C．6．(2024·高考江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部是0，故a＝2.答案：2eq\a\vs4\al()复数代数形式的2种运算方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要留意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．[提示](1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化．(2)对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i等要熟记．(3)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，留意a，b，c，d∈R的前提条件．常用逻辑用语[考法全练]1．(2024·沈阳市质量监测(一))设命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，则﹁p为()A．∃x∈R，x2－x＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x∈R，x2－x＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0解析：选C．已知原命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定命题的结论，故原命题的否定﹁p为∃x∈R，x2－x＋1≤0.2．(2024·广州市调研测试)下列命题中，为真命题的是()A．∃x0∈R，eeq\s\up6(x0)≤0B．∀x∈R，2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1解析：选D．因为ex>0恒成立，所以选项A错误．取x＝2，则2x＝x2，所以选项B错误．当a＋b＝0时，若b＝0，则a＝0，此时eq\f(a,b)无意义，所以也不行能推出eq\f(a,b)＝－1；当eq\f(a,b)＝－1时，变形得a＝－b，所以a＋b＝0，故a＋b＝0的充分不必要条件是eq\f(a,b)＝－1，故选项C错误．假设x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这明显与已知x＋y>2冲突，所以假设错误，所以x，y中至少有一个大于1，故选项D正确．综上，选D．3．(2024·高考浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．因为a>0，b>0，若a＋b≤4，所以2eq\r(ab)≤2＋b≤4.所以ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4.这与a＋b≤4冲突，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．4．(2024·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B．由“x2－5x<0”可得“0<x<5”；由“|x－1|<1”可得“0<x<2”．由“0<x<5”不能推出“0<x<2”，但由“0<x<2”可以推出“0<x<5”，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．故选B．5．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m>eq\f(1,4) B．0<m<1C．m>0 D．m>1解析：选C．若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>eq\f(1,4)，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不肯定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0，故选C．6．(一题多解)(2024·高考全国卷Ⅲ)记不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②﹁p∨q③p∧﹁q④﹁p∧﹁q这四个命题中，全部真命题的编号是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④解析：选A．通解：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A．优解：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满意不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满意不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A．eq\a\vs4\al()(1)充分条件与必要条件的三种判定方法定义法正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)集合法利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件等价法将命题等价转化为另一个便于推断真假的命题(2)全称命题与特称命题真假的判定方法①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必需对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可．②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成马上可；否则，这一特称命题就是假命题．[提示]求解简易逻辑问题有以下几个易失分点：(1)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念．(2)命题的否定与否命题是有区分的，“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．(3)全称或特称命题的否定，要否定结论并变更量词．(4)复合命题的真假推断依靠真值表．一、选择题1．(2024·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝()A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：选A．A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选A．2．命题“∀x>0，lnx≥1－eq\f(1,x)”的否定是()A．∃x0≤0，lnx0≥1－eq\f(1,x0)B．∃x0≤0，lnx0<1－eq\f(1,x0)C．∃x0>0，lnx0≥1－eq\f(1,x0)D．∃x0>0，lnx0<1－eq\f(1,x0)解析：选D．若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，﹁p(x0)．所以“∀x>0，lnx≥1－eq\f(1,x)”的否定是∃x0>0，lnx0<1－eq\f(1,x0)，故选D．3．(2024·郑州市第一次质量预料)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1}B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤－3}解析：选D．因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D．4.(2024·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为()A．{3} B．{7}C．{3，7} D．{1，3，5}解析：选B．由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是∁U(A∪B)＝{7}，故选B．5．若i是虚数单位，则复数eq\f(2＋3i,1＋i)的实部与虚部之积为()A．－eq\f(5,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(5,4)i D．－eq\f(5,4)i解析：选B．因为eq\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f((2＋3i)(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，所以其实部为eq\f(5,2)，虚部为eq\f(1,2)，实部与虚部之积为eq\f(5,4).故选B．6．已知(1＋i)·z＝eq\r(3)i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：选A．因为(1＋i)·z＝eq\r(3)i，所以z＝eq\f(\r(3)i,1＋i)＝eq\f(\r(3)i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(\r(3)＋\r(3)i,2)，则复数z在复平面内对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．7．(2024·高考北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．因为f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，所以对随意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，所以2bsinx＝0.由x的随意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．8．下列命题错误的是()A．“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件解析：选C．若eq\f(1,a)<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件，故A正确；依据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不肯定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．9．(2024·贵阳市第一学期监测)命题p：若x>y，则x2>y2，命题q：若x<y，则－x>－y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∨(﹁q)；④(﹁p)∧q中，真命题是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：选D．命题p：当x＝0，y＝－2时，x2<y2，所以为假命题；命题q为真命题，所以①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∨(﹁q)为假命题；④(﹁p)∧q为真命题，所以真命题是②④.10．(2024·福州模拟)给出下列命题：①“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件；②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30；③命题“∃x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“∀x∈R，x＋eq\f(1,x)>2”．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C．由x＝eq\f(π,4)，得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝eq\f(π,4)，所以“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件，所以命题①是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋5＝0,a＋b＝0))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－5,b＝5))，则f(x)＝x2＋5在[－5，5]上的最大值为30，所以命题②是正确的；命题“∃x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“∀x∈R，x＋eq\f(1,x)<2”，所以命题③是错误的．故正确命题的个数为2，故选C．11．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．[0，4]C．[4，＋∞) D．(0，4)解析：选D．因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×eq\f(1,4)＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D．12．(2024·南昌市第一次模拟测试)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋eq\f(|y|,2)≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))) B．(0，1]C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，＋∞)) D．[2，＋∞)解析：选A．由题意，命题p对应的是菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x＋eq\f(y,2)＝1，即2x＋y－2＝0，由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心到直线2x＋y－2＝0的距离d＝eq\f(2,\r(4＋1))＝eq\f(2\r(5),5)≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5)))，故选A．二、填空题13．已知复数z满意z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．解析：因为z＝－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(－1＋i,2)，所以|z|＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)14．以下四个说法中，正确的是________(填序号)．①双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x；②命题p：∀x>0，x3>0，那么﹁p：∃x0>0，xeq\o\al(3,0)≤0；③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；④