人教版高中数学必修二《第六章 平面向量及其应用》单元导学案

人教版高中数学必修二《第六章平面向量及其应用》单元导学案

6.1平面向量的概念

【学习目标】

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；

2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概

念；

3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区

别.

5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学

本质的能力.

【教学重点】：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量

的概念，会表示向量.

【教学难点】：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

【知识梳理】

1.(1)向量：既有，又有的量叫做向量.

(2)数量：只有,没有的量弥为数量.

2.向量的儿何表示

⑴的线段叫做有向线段.它包含三个要

:、、•

⑵向量可以用表示.向量存的大小，也就是向量福I勺(或

称_),记作.向量也可以用字母a,b,c,…表示，或用表示向量的有

向线段的起点和终点字母表示，例如前，CD.

3.向量的有关概念

零向量长度为——的向量，记作____

单位向量长度等于—一个单位的向量

平行向量方向_—____的非零向量

(共线向量)向量4、b平行，记作______

规定：——与任一向量平行

长度____且_方向____的向量

相等向量

向量a与b相等，记作______

【学习过程】

一、探索新知

（一）向量的实际背景与概念

1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？

2.（1）向量与数量的定义：

既有，又有的量叫做向量（物理学中称为矢量）；

只有，没有的量叫做数量（物理学中称为标量）.

注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向

量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.

练习1：下列量不是向量的是（）

（1）质量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度

（6）面积（7）年龄（8）身高

（二）向量的几何表示

探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示,

那么，怎么表示向量呢？

L有向线段的定义

在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说

线段AB具有方向，具有的线段叫做有向线段.

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB

线段AB的长度也叫做有向线段版的长度，记作|瓦|.

思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？

2.向量的几何表示

画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.

其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

3.向量的表示方法：

供点）

A星点；

一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如而、而o

若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a,

b,c,…（书写时用注意用…表示）.

注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置.

数学中的向量也叫自由向量.

（2）.有向线段与向量的区别：

有向线段：三要素：起点、大小、方向。

向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。

4.向量的模

向量A3的大小，就是向量A3的长度（或模），记作或记

作o

思考：向量的模兀以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

5.零向量：长度为0的向量，记作6.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.

（2）注意：向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行

大小比较的.

例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例

尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）

（三）.相等向量与共线向量

思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a.b,就其模等与不等,

方向同与不同而言，有哪几种灯能情形？

1.平行向量定义:

①方向或的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向

量.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、。平行，

记作a//b//c.

2.相等向量定义：

长度且方向的向量叫相等向量.

说明：（1）向量，与6相等，记作a=b・,（2.）零向量与零向量相等；［3）

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起

点•无•关•.

3.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与

有向线段的起点无关）.

b

OAB

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

练习2;

填空：

（1）平行向量是否一定方.向相同？（）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）

（5）若两个向量在同一直线.匕则这两个向量一定是什么向量？（）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）

例2.如图，设0是正六边形ABCDEF的中心,

cw

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与向量3、OB＞无相等的向量.

【达标检测】

1.下列说法中正确的个数是（）

①身高是一个向量；

②/力阳的两条边都是向量；

③温度含零上和零下温度，所以温度是向量;

④物理学中的加速度是向量.

A.0B.1C.2D.3

2.设以,e是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）

A.ei=e2B,ej/e2C.\eIl=/e2lD.以上都不对

3.（多选题）在下列判断中，正确的是（）

A.长度为0的向量都是零向量；

B.零向量的方向都是相同的；

C.单位向量的长度都相等；

D.单位向量都是同方向；

E.任意向量与零向量都共线.

4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③

共线向量一定相等：④相等向量一定共线：⑤长度相等的向量是相等向量：⑥平

行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是.

5.如图所示，四边形业?"是平行四边形，四边形力明应是矩形，找出与向量

砺相等的向量.

参考答案：

（-）1.不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。

2.练习：（1）（6）（7）（8）

（二）1.思考：三个要素：起点、方向、长度.

4.可以为0,1,不能为负数。

解;而表示A地至8地的位移,』I而g_______।

例］前表示A地至C地的位移，且I衣|=.

（三）思考：模相等，方向相同；模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同：模不相等，方向不相同：

牛刀小试：（1）不一定（2）不一定（3零向量

（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同

（7）不一定

解：（DOA.CB,DO.而是共线向量；例2,

OBtDC.EO,行是共线向遗；

OC.AB,ED,访是共线向量：.

（2）OA=CB=DO；

OB=DC=EO；

OC=AB=ED=TO.

达标检测

1.【解析】只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③

错误.④正确.

【答案】R

2.【解析】单位向量的模都等于1个单位，故C正确.

【答案】C

3.【解析】由定义知A正确，B由于零向量的方向是任意的，故两个零向

量的方向是否相同不确定，故不正确.显然C、E正确，D不正确，故选ACE.

【答案】A、C、E

4.［解析］由向量的相关概念可知④⑥正确.

【答案】④⑥

5.【解】由四边形用。。是平行四边形，四边形/仍场是矩形，知南劭与

麻勺长度相等且方向相同，所以与向量砌目等的向量为应和质

6.2.1向量的加法运算

【学习目标】

1..理解向量加法的意义；

2.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；

3.理解向量的运算律；

4.理解和体验实际问撅抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意:识。

【教学重点】：两个向量的和的概念及其几何意义;

【教学难点】：向量加法的运算律。

【知识梳理】

1.向量加法的定义

定义：求的运算，叫做向量的加法.

对于零向量与任一向量a,规定

2.向量求和的法则

已知非零向量a,b,在平面[为任取一点4作法=H,*=b,

贝」向量而做与的和，记___,即a~\-b=~AB-\-'BC=

三角形法则IUa6作______

>[_x

KJ

已知两个不共线向量a,b,\乍森=a,AD=b,以瓶莅为邻

边作口ABCD,

平行四边形法则为__

则对角线上的向量_______=a+b.

3.向量的运算律

交换律结合律

a-\-b=______(a+H)+c=___________

【学习过程】

一、探索新知

思考1：如图，某质点从点A经过点B到点3则这个质点的位移怎么表示？

1.己知向量[和鼠如图在平面内任取一点0,作厉=[9=3,则向量历

叫做［和B的和，记作Z+^a+b=OA^AB=OBo

求的运算叫做向量的加法.

根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

口诀：O

思考2：某物体受到F”&作用，则该物体所受合力怎么求？

2.向量加法的平行四边形法则

如图，以同一点0为起点的两个已知向量1和B为邻边作平行四边形OACB,

则以0为起点的对角线0C就是［和3的和，我们把这种作两个向量和的方法叫

做向量加法的平行四边形法则.

［口诀］____________________________

思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？

注：向量的加法运算结果还是向量。

对于零向量与任一向量我们规定

例1.如图，己知向量〃和1,求作向量

o

(1)

图6.2-5图6.2・6

探究1：如果向量"和B共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做

出向量3+B吗？

探究2：结合例1,探索|Z+B|,向，曲之间的关系。

结论，一般地，有。

探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结

合律呢？

图6.2-7

结论：向量加法的交换律和结合律：。

例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，

一艘船从长江南岸A点出发，以2百km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同

时江水的速度为向东2km/h.

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。

【达标检测】

1.化简办+囱+农+芬的结果等于（）

A.QPB.~0QC.或D.南

2.在四边形力筋中，衣=宓+而，则一定有（）

A.四边形力阳9是矩形

B.四边形48徵是菱形

C.四边形/切切是正方形

D.四边形是平行四边形

3.（多选题）下列命题中正确的命题是（）

A.如果非零向量不与6的方向相同或相反，那么（a+6）〃a；

B.在平行四边形/山切中，必有反'=行;

C.若祀=而则4B,a〃为平行四边形的四个顶点;

D.若&6均为非零向量,则若+b|W|a|+b\.

4.若白/=,%/=八则/a+6/的最大值为.

5.已知向量a,b,c,如图，求作a+Z?+c.

参考答案：

思考1.从运算的角度看，X?可以认为是而与丽的和，即位移、可以看

作向量的加法。

1.【口诀】首尾相连首尾连。

思考2.从运算的角度看，可以认为是斤与斤和豆的和，即力的合成可以

看作向量的加法。

2.口诀：起点相同，对角线为和。

思考3.一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。

作法I：在平面内任取一点0(图6.2-6(1)),作色=*AH=b.则丽，a+瓦

作法2：在平面内任取一.电?(竺•2二&(2)),作OB=b.以UA,OB为

例1邻边作UOACB.连接OC,则无=次+丽=°+瓦

探究1.(1)当7和1同向时，

b---

A---_.c

a+b=AB+BC=AC

(2)当［和3反向时，

a

■bI

3sA

a+b=AB+BC=AC

探究2.由例1和探究1可得，当Z和B反向或不共线时，1+山＜|二+向;

当〃和刃同向时，|。+讥=|a|+而。所以，|a+B|§a|+|讥。

结论：|3+加47|+而

探究3.在平行四边形业蛆9中，AC=XB-^BC=a+b,

AC=AD4-DC=b+af所以a+B=B+4。

在图(2)中，AD=AB+BC+C5=AC+CB=(^+^)+C,

而=筋+记+3=前+诟=1+区+1)，所以，

—♦—♦——♦—♦—

(a+Z?)+c=〃+(〃+(?)o

结论：向量加法的交换律和结合律

—•—♦—♦—♦—♦—♦——♦—♦—

a+b=b+at(a+/?)+c=a+(Z?+c)

例2.

解：(1)如图所示，而表示船速，旅表示水速，以力。、力8为邻边作平行

四边形ABCD,则而表示船实际航行的速度。

(2)在RtMBC中，|而|=2,|正|二2/，所以，

|/|二」施『+|前1=j2?+(26)2=4,

因为，tanZC>4B=^J=—=73，所以NC48=60'。

|AB|2

所以，船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60。o

达标检测

1.【解析】旗+囱+丞+9为+0=施

【答案】B

2.【解析】由次=9+而得为?=旗HPAD=BC,&AD〃BC,所以四边形

一组对边平行且相等，故为平行四边形.

【答案】D

3.【解析】选项A,正确；选项B,在平行四边形月比〃中，BC//AD,且比

=AD,所以&?=通，正确；选项C,4B,C,〃可能共线，所以错误；选项D,

为向量的三角不等式，所以正确的命题为ABD.

【答案】ABD

4.［解析］由la+b/W/a/+/•/知/a+6/的最大值为2.

【答案】2

5.【解】在平面内任取一点0,作应=a,AB=b,BC=cf如图，

则由向量加法的三角形法则，得

而=升b,应'=a+b+c,

应即为所作向量.

6.2.2向量的减法运算

【学习目标】

1.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用；

2.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；

3.会求两个向量的差。

【教学重点】：向量减法的运算和几何意义；

【教学难点】：减法运算时差向量方向的确定。

【知识梳理】

1.定义：如果两个向量长度,而方向,那么称这两个向量

是相反向量.

2.性质：(1)对于相反向量有：a+(—a)=.

(2)若a,b互为相反向量，则a=,a-\-b=.

(3)零向量的相反向量仍是.

3.定义：a—b=a-\-(—Z>),即减去一个向量相当于加上这个向量

的.

4.作法：在平面内任取一点作应=&OB=b,则向量a—6=

如图所示.

5.几何意义：a-b可以表示为从向量的终点指向向量的终点

的向量.

【学习过程】

一、探索新知

思考1:你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？

思考2.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？如何定义向量的减法

呢？

1.相反向量的定义：

设向量。，我们把与a长度相同，方向相反的向量叫做〃的c

记作：o

规定：6的相反向量仍是o

练习：(1)—(—a)=;

—♦—*—♦—♦

(2)a+(—ci)=；(-4)+〃=；

(3)设］与1互为相反向量，那么Z=,b=,a+b=

2.向量减法的定义：

I句量，加上I句量B的相反向量，叫做。与B的差，即〃-5=。+(-5)。

求两个向量差的运算叫做向量的。

探究：向量减法的几何意义是什么？

思考3：不借助向量的加法法则你能直接作巴工-B吗？

。-〃可以表示为从向量的终点指向的终点的向量，这就是向量

减法的几何意义。

注意：（1）起点必须相同；（2）指向被减向量的终点。

思考4：如果从"的终点指向】终点作向量，所得向量是什么呢？

思考5：当"与Z共线时，怎样作［-Z呢？

例1.如图，已知向量求作向量

练习：填空：

(1)AB-AD=,(2)BA-BC=,

(3)~BC-~BA=,(4)OD-OA=,

(5)OA-OB=,(6)~Ad-~BO=

例2.在平行四边形力戊刀中，荏=［而=兀你能用Z3表示向量点丽

吗？

【达标检测】

1.在△/贫中，若应=a,~BC=b,则次等于（）

A.aB.a-\-bC.b-aD.a-b

2.如图，在四边形力用力中，设宓=a,mb=b,BC=c,则应=()

A.a-b-\-cB.b—(a+c)C.a+b+cD.b-a-\-c

3.若0,E,/是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()

A.乃』宓+龙B.序'=办一龙C.百=一赤+波D.而=一而一

0E

4.已知a,6为非零向量，则下列命题中真命题的序号是

①若|a|+|6|=|a+A|,则a与5方向相同：

②若a+IZ?|=\a-b,则a与b方向相反：

③若|a|+|引=|a—引，则a与力有相等的模;

④若a\—6|=|a—b，则a与6方向相同.

5.化简(拔一应一(而一曲.

参考答案：

思考L实数日的相反数记作-a

思考2.如设x,yGR,x-y=x+(-y)。

1,练习：(1)a(2)66(3)-b-a6

探究：设苏=2为=否,而=工则H=7+(_B)=苏+而=历

在平行四边形宏始中，BA=OC=a-b

'♦—♦..—♦—♦

思考3.在平面内任取一点。，作OA=〃,。8=b,则BA=a-h0

思考4.b-a

思考5.当。与“方向相同时»

o・T——fB

在平面内任取一点o,作豆=2为=L则丽=7-3。

当。与B方向相反时，

在平面内任取一点o,作次=2而=2则诟二H。

例1.

作法：如图6.2-12(2),在平面内任取一点0,作次=**OB=b,历=c,而=

d.则_

BA・a-b.

DC=c—d.

练习：(1)DB(2)CA(3)AC(4)AD

(5)~AB(6)BA

例2.

解：由向量加法的平行呷2形法则，我们知道

AC=a+上

同样，由向录的处，的._

*HX5—ADH<I一瓦

达标检测

1.【解析】方=无一反三a—6.故选D-

【答案】D

2.【解析】DC=DA^AB^BC=a-b+c.

【答案】A

3.【解析】因为0,E,产三点不共线，所以在中，由向量减法的儿

何意义，得赤=赤一次,故选B.

【答案】B

4.【解析】当a,6方向相同时有|a|+|b|=|a+b|,\\a\—\b\\=\a-

b\,当H,b方向相反时有

\\a\—\b\\=\a-\-b\,\a\~\~\b\=\a-b\.因此①②④为真命题.

【答案】①②④

5.【解】法一：（宓一应一（充-物

=~AB-~Cb-AC-\-~BD

=加■应40+而

=（懑+砺）+（应?+襦）

=刖9=0.

法二：（漉一应一（花一命

=（范一位）+（应'一丽

=彷+走=0.

6.2.3向量的数乘运算

【学习目标】

1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数

与向量积的运算律进行有关的计算；

2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；

【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件：

【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

【知识梳理】

1.定义：一般地，我们规定实数4与向量a的积是一个，这种运算

叫做,记作.

2.规定：①|Aa\=,②当时，4a的方向与a的方向；

当4<0时，4a的方向与a的方向；当/=0时，Aa=.

3.运算律：

设人，〃为实数，则

(1)4(;

⑵(4+〃)a=；

(3)A(a+b)=.

特别地，我们有(-4)H==,4(a-b)=.

4.共线向量定理

向量a(a#O)与b共线，当且仅当有唯一一人实数/I,使得.

5.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线拄运算.对于任意向量a、b,以

及任意实数力、4、恒有人(U@±u/b)=。

【学习过程】

一、探索新知

探究1：已知非零向量作出"+Z+Z和二+(二)+(工)，它们的长度与

方向分别是怎样的？

1.定义：一般地，我们规定实数4与向量£的积是一个向量，这种运算叫做

向量的数乘，记作义】，它的长度与方向规定如下：

⑴|苏|=；

(2)当4>0时，的方向与〉的方向；当4<0时，九工的方向与

Z的方向o

说明：(1)当；1=0时，23二6。(2)(一1)[=_々。

2.向量数乘的运算律

探究2：求作向量3(而和④,(2+3)而2々+3々,2(1+5)和吗+巨("为非零

向量)，并进行比较。

向量数乘的运算律：

设Z、B为任意向量，义、"为任意实数，则有：，

(1)4(〃。)=____________9

(2)(A+/.i)a=.

__________________9

(3)4(〃+/?)=o

特别地,有(一/l而=一(左)=4(工)

4(。一各)=

__________O

向量的加、减、数乘运算统称为向量，的线形运算。

注：向量的线性运算的结果仍为向量。

对于任意向量"、i；及任意实数丸、〃，恒有

4。仔土〃2右)=。

例1:计算

(1)(-3)x4^

(2)3(a+b)—2(a—b)—a

(3)(2a+3Z?—c)—(3a—2Z?+c)

注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。

例2.如图，平行四边形A8CO的两条对角线相交于点机且丽=3,而=九

用向量73表示福丽沆利而

a

b

M

4一«~"

探究3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间1勺位

置关系吗？

3.共线向量定理：

向量与Z共线的充要条件是：存在唯一一个实数4,使。

思考：。为什么要是非零向量？右可以是非零向量吗？

牛刀小试：

判断下列各小题的向量"与B是否共线。

—♦——•一

（1）a=-2e,b=2e;

—♦■.—♦•.

（2）a=el-e2,b=-2et+2e2;

—♦'•.—•9■•

（3）a=e1-e2,b=e]+2e2o

例3.如图，已知任意两个非零向量"与试作d=Z+L

OB=a+2bfOC=a+3bf你能判断力、氏。三点之间的位置关系，并证

明你的猜想。

结论：证明（判断）A、B、C三点共线的方法:

布=4前且有公共点6,=A、B、C三点

—•一_—•一]—q―

例4.已知〃与人是两个不共线的向量，向量〃_加,_1〃—士人共线，求实数t的

22

值。

【达标检测】

1.下列各式中不表示向量的是()

A.0,aB.a+3Z?

C.13aD,—■—式x,y£R,且x#y)

x—y

2.下列计算正确的个数是()

①(-3)•2a=-6a；②2(a~\~6)—(2b—公=3a：③(H+26)—(2b+a)=Q.

A.a一%+2。B.54—76+2。5

C.a-\--b-\-2c

444

4.。为平行四边形4%刀的中心，语=4良，应=6包，则3a,-2e=______.

5.在四边形/庆X中，AB=a+2b,或=-4a—b,CD=-5a-3b,证明：直

'改AD〃BC.

参考答案:

AB

一。一

NM

探究1.

发=5+Q+前=3+3+2,记作31。即而=3%。31的方向与"的方向

相同，13。|=31〃|。

类似地，丽=-31其方向与I的方向相反，卜34=3日|。

探究2.

例1.

解：（1）原式=（-3X4）a-一12a；

（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；

（3）原式=2a+3b—c—3a4-26—c

=­a+5b-2c.

例2.

解：在O48CD中.

AC=A〃+AD=a+b,

DB^Ab-AD^a-b.

由平行四边形的两条对角线互相平分.得

MA—-］AC=—&a+5）=一"!•（!一］b・

44LL

探究3.当九＞0时，/t£与］的方向相同；当4＜0时，＞lZ与"的方向相反。

思考：若）=6,则义】=6。Z可以是1。

牛刀小试：（1）共线（2）共线（3）不共线。

例3.

札分别作向"冰,OB,OC，过点A・C作直找

&2T7).观察发现,不论向代八卜怎徉变化，点H始终在直线

人C上•猎如八，B.C三点共线.

事实上」I为

AH^OH—()八；a+2B-<。+&)=机

AC^a-OA^a+3b-(a-]b)=2k.

所以AC^2Ali.

Wft-A.B・C三点J峨.

Hi.2-17

例4.

13

解।由a.b不共线，易知向即；L级为非零向量•由向盘I*7一个共线，

可知“在实数3使得

；3

ft-ra-Af-ja-2t).

即

£>M

由a,b不共线，必存，+夕=京+1=0.否则，不妨没什必K0,则a=2,b.由

两个向量共线的充要条件知，a.b共线，与已知矛盾.

z+yA-O.

由、髀得e・g,

乡+1=0,

因此.当向最b-M,；a-：l1共线时./-1,

达标检测

1•【解析】向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有13al不是向量.

【答案】C

2.【解析】因为(-3)•2a=-6a故。正确；②^左=2a+2b—2b+a=

成立，故②正确；处^左=a+2b—2b—a=0W0,故③f昔误.

【答案】C

2a+[3b-c)=(3a—2a)+d一1人

3.【解析】3a+/+c+(c+c)=a

4

一；b+2c.故选A.

【答案】A

4.【解析】设点《为平行四边形力四的旗边中点，点厂为力〃边中点,

则3包一28=衣+帝=瓦=电

【答案】血或助

5.【证明】*：Ai)=AC+Cb=AB+BC+Cb=(a-\-2b)+(-4a-/?)+(-5a-

3加=一8》-26=2(—43—6)=2击六功与初线.

又力〃与及：不重合，二克线AD//BC.

6.2.4向量的数量积

第1课时向量的数量积的物理背景和数量积

【学习目标】

L.埋解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；

2.会求平面向量的数量积、投影向量；

3.熟记平面向量数量积的性质；

4.能运用数量积的性质解决问题；

【教学重点】：平面向量数量积的定义及投影向量；

【教学难点】：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。

【知识梳理】

1.向量的夹角的定义：

已知两个非零向量房济，0是平面上的任意一点，作次=3为=3,则

AAOB=e

(0<6><^-)叫做向量而物的o

显然，当夕=0U寸，a和B；当6="时，。和5o

2.向量的数量积的定义

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为我们把数量叫做a

与力的(或),记作,即.

规定零向量与任一向量的数量积为.

3.投影向量的定义：

CAiBID

如图⑴设不是两个零向量，Q=［无=工我们考虑如下的变换:过AB的

起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为AbB„得到丽，我们称

上述变换为向量Z在向量B投影(project).,丽叫做向量力在向量B上

的o

如图(2),我们可以在平面内任取一点0,作曲=项而=九过点M作直线

0N的垂线，垂足为M,则函就是向量［在向量［上的o

4.向量的数量积的性质

设a与b都是非零向量，。为a与6的夹角.

⑴aJ_Zx=>.

(2)当a与。同向时，a•b=；

当a与6反向时，a-b=.

(3)a•a=或a=\a•a=.

(4)a•bW.

【学习过程】

一、探索新知

思考1：一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功应当

怎样计算？

思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小曰那些量确定?

L向量的夹角的定义:

8）

已知两个非零向量房历，。是平面上的任意一点，作豆=2而=3,则

ZAOB=0

（0<夕<叫做向量［和E的o

显然，当。=0时，Z和B；当。="时，房而o

如果房历的夹角是。=工，我们就说房历垂直，记作3_1,九

2

思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果乂

该如何表述？

2.数量积的定义：

已知两个非零向量"和九它们的夹角为仇我们把数量|3|向cos。叫做向量

病而的数量积（或内积），记作〃即〃.Z=|a|M|cos，。

规定：零向量与任一向量的数量积为。

说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.

（2）33中间的在向量运算中不能省略掉，也不能换成“x”；

（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是［0°,180°］0

思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

结论：数量积符号由cos。的符号所决定。

例1.已知|1|=5,向=4,加历的夹角，=与，求）3。

4.投影向量的定义:

M

CA,B,D

⑵

())

如图⑴设£3是两个零向量，Q=［无=工我们考虑如下的变换:过AB的

起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为由,B„得到片片，我们称

上述变换为向量Z在向量B投影(project).,丽叫做向量力在向量了上

的。

如图(2),我们可以在平面内任取一点0,作OM=a,ON=Z?,过点M作直线

0N的垂线，垂足为M,则函就是向量［在向量B上的o

探究1：如图，设与l方向相同的单位向量为［与B的夹角为。，那么画

与6,4。之间有怎样的关系？

IN

探究2：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出

向量的数量积的特殊性质吗？

牛刀小试：

1.己知在AA8O+•，而=3元=夜当7B<0或=3=0时，试判断AABC的形

状。

【达标检测】

1.在△力比'中，£C=5,力。=8,Zr=60°,则反'•讶=()

A.20B.-20C.2073D.-2073

2.设e”段是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是（）

A.8•e?=lB.a•会=—1

C.|e・e/=lD.|a・e.|<l

3.在△//、中，AB=a,BC=b,且b-a=0,则△月6。是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.无法确定

4.已知为单位向量，且J"的夹角。为45。，求向量"在[上

的投影向量。

参考答案：

思考1.W=IHIS|COS。

思考2.标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。

思考3.功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹

角余弦的乘积。

思考4.当0°<90°时，3/为正；

当90°<0^180°时，5$为负；

当0=90。时，为零。

例1.

।a•b=|b|c©5。

=»5X4Xcos

-5X4X（—1）

—-10.

例2.

双：由a・I>CON。•弗

囚为0W[O・江所以。一竽

探究1.设函=/i人

当。力校角(图6.2-2】。))时.函与，方向相久・:函|=|o|8s仇所以

OMi=|OMi'e=a\ctyiOti

当0为直角(图6.2-21(2])时・A=0.所以

OM1=0=|a|cnsye(

当6为饨角《阳&2・21(3AN，丽与。方向相反，所以

A=一|OVfJ=一|a|cosZMaWi

=—|a|cos(x—tf)=|acos0,

BP一

QVf।=|a|cos。c.

当6=0时，A-|oh所以

QWt=|a|e=|flcos0r।

当&时.A=-|a|,所以

OW|=—|a|r=|«,cosxe.

综上可得，对于任意的8£[0,m，都有西=|3Icos应。

探究2.设是非零向量，它们的夹角是凡Z是与右方向相同的单位向量,

则：(1)a-e=e-a=\a\cosO,

(2)ao1=0

(3)当向量Z3共线同向时,a-b^a\\b\；

当向量Z3共线反向时,ab=-\a\\b\.特别地,

—♦—♦—♦—♦/—♦—♦

々•4=|4|2或|〃|二、"4o

(4)\a-b\^a\\b\

牛刀小试：当时，A4BC为钝角三角形；当7$=0时，A/WC为直角

三角形。

达标检测

1.【解析】BC*CA=\BC\|S4|cos120°=5X8xf-|U-20.

【答案】B

2.【解析】8•包=|e||e21cosa>=±l.

【答案】C

3.【解析】在△力比'中，因为b-a=0,所以故△力%为直角三角

形.

【答案】C

4.【解析】向量Z在"上的投影向量为

—―/—

Ia|cos^=6cos45（?=3v2e。

6.2.4向量的数量积

第2课时向量的向量积

【学习目标】

1.掌握数量积的运算律；

2.利用数量积的运算律进行化简、求值；

【教学重点】：数量积的运算律；

【教学难点】：利用数量积的运算律化简、求值。

【知识梳理】

L向量数量积的运算律

⑴a・6=（交换律）.

⑵（4a