2024-2025学年河南省开封市高二上册开学摸底考数学检测试卷合集2套（含解析）

2024-2025学年河南省开封市高二上学期开学摸底考数学检测试卷（一）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1．已知复数，则（

）A． B． C． D．2．在中，角的对边分别为，已知，，则（

）A． B． C． D．3．已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，，∥，则∥ B．若，，则C．若，，，则 D．若，∥，则4．向量与的夹角为（

）A． B． C． D．5．数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（

）A．4.5 B．5.5 C．6 D．86．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则7．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（

）A．165.5 B．166 C．166.5 D．1688．在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（

）

A． B． C． D．二、多选题（每小题6分，共3小题18分）9．已知向量，满足，则以下说法正确的是（

）A．若，，则或B．若，则C．若，，则向量在向量上的投影数量为D．向量在向量上的投影向量为10．某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（

）A．a的值为0.018 B．估计员工平均服务时长为45小时C．估计员工服务时长的中位数为48.6小时 D．估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人11．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线与所成的角的大小为B．直线平面C．平面平面D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题（每小题5分，共3小题15分）12．已知向量的夹角为，且，则.13．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为人.14．镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为米.

四、解答题（15小题13分，16-17小题15分，18-19小题17分，共5小题77分）15．已知平面向量，.(1)若，求；(2)若，求.16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．(1)若，，求A；(2)若，求周长的最大值．17．某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为.“消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组40,50，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；(2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率；(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差.附：18．如图，直三棱柱中，与交于点O，M为线段AC的中点，，．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积．19．如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点.(1)若点为中点，求证：平面；(2)若点满足，（i）求证：；（ii）求直线与平面所成角的正切值.1．D【分析】先求共轭复数，再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可.【详解】因为，所以，所以.故选：D.2．D【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得，由正弦定理得，再利用正弦的二倍角公式可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，或舍去，可得，因为，由正弦定理得，所以，因为，所以，可得，，所以.故选：D.3．D【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可.【详解】对于A，如图当，，∥时，与相交，所以A错误，对于B，如图，当，时，∥，所以B错误，对于C，如图当，，时，∥，所以C错误，对于D，设，在平面内作，因为，所以，因为∥，所以，因为，所以，所以D正确.故选：D4．A【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】因为，则，且，所以.故选：A.5．C【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6．D【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A，若，，则可能相交，故A错误；对于B，若，，则可能，故B错误；对于C，若，，则可能，故C错误；对于D，若，在平面内能找到直线，使得，由，可得，又因为，则，故D正确.故选：D.7．B【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得；【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值，由题意可得：，，抽取的样本的均值为.故选：B.8．D【分析】利用两个独立事件及对立事件来解决问题.【详解】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合，由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮，而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合，所以灯亮的概率为.故选：D.9．ABD【分析】A选项，计算出，根据向量垂直得到方程，求出或，A正确；B选项，两边平方，求出；C选项，根据垂直关系得到，从而根据投影向量的模长公式求出C正确；D选项，在C选项基础上，根据投影向量的公式进行求解.【详解】A选项，，因为，所以，解得或，A正确；B选项，两边平方得，，因为，所以，故，则，B正确；C选项，因为，所以，，故，则向量在向量上的投影数量为，C错误；D选项，由C选项知，，向量在向量上的投影向量为，D正确.故选：ABD10．AC【分析】对于A，根据各组的频率和为1可求出，对于B，利用平均数的定义求解判断，对于C，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A，由频率分布直方图得，解得，所以A正确，对于B，员工平均服务时长为小时，所以B错误，对于C，因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则，解得，所以C正确，对于D，因为服务时长超过50小时的频率为，所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有人，所以D错误.故选：AC11．ABD【分析】利用平移法可求出直线与所成的角，判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；采用反证法可判断C；根据线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值，判断D.【详解】对于A，连接，则，即为正三角形，又，分别为，的中点，故，故直线与所成的角即为所成角或其补角，而，故直线与所成的角的大小为，A正确；对于B，由于，故四边形为平行四边形，故，而，故,又平面，平面，故平面，B正确；对于C，取EF中点为M，连接DM，显然，故，假设平面平面，而平面平面，平面，则平面，又平面，则，这与二者交于D点矛盾，C错误；对于D，不妨设正方体棱长为2，点C到平面的距离为d，则，而，则，解得，设直线与平面所成角为，则，D正确，故选：ABD12．【分析】由平面向量数量积的定义可得，再由，结合平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】因为向量，的夹角为，，所以，所以，所以.故答案为.13．68【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数.【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为，故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为.故6814．【分析】设，利用三角函数分别表示,然后分别中利用余弦定理表示,因为,所以,求出h即可【详解】设在中，，.在中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因为,所以，即，.故15．(1)(2)【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解出值，再利用向量的坐标表示即可得到答案；（2）根据向量垂直的坐标表示得到，再利用向量夹角的坐标表示即可.【详解】（1）因为，又因为，所以，解得，所以.（2）因为，所以，解得.所以，所以.16．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得，从而可求出周长的最大值．【详解】（1）由正弦定理知，所以，解得，因为B为钝角，所以．（2）解：由余弦定理得，又由，，则，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为4，所以周长的最大值为．17．(1)平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45.(2)(3)26.8.【分析】（1）根据频率分布直方图的平均值公式和百分位数的求法即可；（2）利用古典概型公式，列出所有情况和满足题意的情况即可；（3）根据分层方差公式计算即可.【详解】（1）这些人的平均年龄为(岁).由频率分布直方图可知，年龄在的频率为，在的频率为，则第80百分位数为，由，解得.所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45.（2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1.若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为;第四组抽取2人，记为;第五组抽取1人，记为;对应的样本空间，，所以;设事件为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，则，，所以.所以.（3）设第三组、第四组的年龄的平均数分别为，方差分别为.则.由第三组有30人，第四组有20人，设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为，则所以这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为26.8.18．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)．【分析】（1）根据线面平行判定定理证明；（2）应用面面垂直判定定理证明；（3）等体积法求三棱锥的体积.【详解】（1）连接，因为直三棱柱，，，又∴是正方形且O为线段的中点，又M为线段AC中点，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵，，平面平面，∴平面，又平面，∴平面平面；（3）∵M为线段AC中点，∴，即三棱锥的体积为．19．(1)证明见解析(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据条件可得，从而证得平面；（2）（i）首先证明平面PBC，从而证明平面DEF，即可得到；（ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角，根据边长关系求出即可得到答案.【详解】（1）中，点，分别为棱，的中点，∴又四边形是正方形，∴，∴，又平面，平面，∴平面.（2）（i）在四棱锥中，平面，四边形为正方形,,,,平面，平面，平面平面在中，，为中点，，平面，平面平面平面又，，平面，平面平面，又平面.（ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角，在中，，，则又，∴，∴故直线与平面所成的角的正切值为2024-2025学年河南省开封市高二上学期开学摸底考数学检测试卷（二）说明：1.本试卷共4页，满分150分.2.请将所填写在答题卡上，答在试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则（

）A． B． C． D．2．若向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（

）A．8 B． C．16 D．4．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（

）A．若平面，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则5．已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（

）A．中位数不变 B．第35百分位数不变 C．平均数不变 D．方差不变6．中，已知，且，则是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．若O是的外心，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分.9．关于复数的命题正确的有（

）A．若复数，则， B．若复数为纯虚数，则C．若，则或 D．若，则10．下列命题正确的是（

）A．设是两个随机事件，且，，若，则是相互独立事件B．若三个事件两两独立，则满足C．若，，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立D．若事件相互独立，，，则11．在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，下列结论正确的是（

）A．若，则点到平面的距离为B．若，则四面体的体积是定值C．若，则点的轨迹长为D．若，，则存在点，使得的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）.13．在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为．14．A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且，M是圆O外一点，，则的最大值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.16．如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且.

(1)若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示；(2)求的取值范围.17．如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.(1)设为棱的中点，证明：，，，四点共面；(2)若，求六面体的体积.18．如图，在中，，，，为内一点，.(1)若，求；(2)求的取值范围；(3)若，求.19．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且.(1)当点A的曲率为时证明：①CN⊥平面；②平面平面.(2)当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值.1．A【分析】运用复数乘除法运算化简.【详解】.故选：A.2．C【分析】首先求出、，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为，，所以，，所以在上的投影向量为.故选：C3．C【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以，所以原图形的周长为．故选：C.4．D【分析】由面面垂直的判定定理可判断B；线面垂直的性质定理可判断A；由线面平行的判定定理可判断C,应用面面关系判断D.【详解】对于A，因为平面，，所以平面，又因为，所以，故A正确；对于B，若，，则，又因为，所以，故B正确；对于C，若，，，则,故C正确；对于D，若，，，则可以相交但是不垂直,故D错误.故选：D.5．D【分析】由中位数，百分位数，平均数和方差的定义，计算后确定结论.【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A选项正确；原数据中，，第35百分位数是第4个数据，去掉，后，，第35百分位数是新数据中的第3个，第35百分位数不变，B选项正确；原来的平均数为，去，掉后的平均数为，平均数不变，故C选项正确；原来的方差为，去掉后，的方差为，方差变小，故D选项错误.故选：D.6．A【分析】利用两角和差余弦公式二倍角公式化简得到，再根据正弦定理化角为边，化简可得结论得到答案.【详解】因为，所以，所以，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，所以，，，所以，可化为，即，，可化为，所以，故，所以，即，所以为直角三角形.故选：A.7．A【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可；【详解】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则∴，设直线与所成角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为；故选:A8．B【分析】利用数量积的定义将向量全部转化为三角形边角的关系，结合基本不等式求解.【详解】设由，可得,化简得，若O是的外心，O是三边中垂线的交点，得代入上式得，所以，根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得所以因为所以，所以,当且仅当时取等号，所以当且仅当时取最值.故选：B.9．AC【分析】根据复数的分类即可判断AB，根据复数的乘法和模长的计算可判断C，根据模长公式和复数的乘方即可判断D.【详解】由复数定义可知，若复数，这两个复数能比大小，则，，A选项正确；若复数为纯虚数，则，则，B选项错误；若，则有，即或，所以或，C选项正确；若，则不一定成立，比如，满足，但，不满足，D选项错误．故选：AC．10．ACD【分析】根据利用独立事件的概率性质可判断ABC的正误，根据独立事件的性质及概率公式计算后可判断D的正误.【详解】对于A，因，故是相互独立事件，故A正确.对于B，考虑投掷两个骰子，记事件第一个骰子的点数为奇数，事件第二个骰子点数为奇数，事件两个骰子的点数之和为奇数，于是有，，，可以看出事件两两独立，但不互相独立，所以，B错误；对于C，若事件相互独立与互斥同时成立，则而，矛盾，故事件相互独立与互斥不能同时成立，故C正确.对于D，由，，则，，又事件，相互独立，则，故D选项正确；故选：ACD.11．BCD【分析】由条件确定点的轨迹，证明点到平面的距离为点到平面的，由此判断A，由可得点的轨迹为，结合锥体体积求法即可判断B；由条件确定点的轨迹，由扇形弧长公式即可判断C；把沿着进行翻折，使得四点共面，结合平面几何知识可求的最小值，判断D.【详解】对于A，如图，连接，点为线段的中点，点为线段的中点，则，，因为，，所以，则，又，所以点的轨迹为线段，因为，，所以，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，又为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的，连接，，记其交点为，因为底面是菱形，所以，由已知平面，平面，所以，，平面，所以平面，因为四边形是菱形，，所以为等边三角形，又，所以，所以，所以点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，A错误；对于B，连接，由得点在线段上，由为直四棱柱得，，又，所以的面积为定值，又点平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以四面体的体积是定值，故B正确；对于C，如图，在平面中作，垂足为，由已知得，平面，且平面，所以，又平面，且，所以平面，因为底面是菱形，，所以，，在中，因为，所以，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，设此圆与交于点，因为，且，所以，则点的轨迹长度为，故C正确；对于D，若，则点与点重合，把沿着进行翻折，使得四点共面，此时有最小值，在中，，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，解得，故D正确；故选：BCD.关键点点睛：本题解决的关键在于结合所给条件，结合线面位置关系，确定点的轨迹.12．26【分析】中,运用正弦定理，先求出，再根据等腰直角三角形知识得到即可.【详解】中，，,.所以.在中，运用正弦定理，可得，代入值求得，由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米.故26.13．六边形【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积.【详解】如图，分别取、、的中点为、、，连接，则由正方体的结构特征可知：，且，又由面面平行的性质定理可知过点E，F，G的截面与正方体上下面的两条交线平行，与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行，故六边形是正方体中过点E，F，G的截面,所以过点E，F，G的截面图形为六边形.因为，所以六边形是棱长为的正六边形，如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6个全等的正三角形，且边长为，故由正三角形面积公式得截面图形的面积为.故六边形；.14．14【分析】根据圆的几何性质、向量运行以及绝对值三角不等式，由此求得正确答案.【详解】连接，如下图所示：因为，则为圆的一条直径，故为的中点，所以，，所以，，当且仅当共线且同向时，等号成立．故15．(1)，75；(2)【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可；（2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图有，解得，因为，所以中位数在区间内，设为x，则有，得，所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；（2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”，则由古典概型概率计算公式得：，，所以有，记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有，且