2025年中考数学考前冲刺：三角形、四边形综合 强化练习题（含答案）

第第页2025年中考数学考前冲刺：三角形、四边形综合强化练习题题型1相似模型【例1】如图，把两个含角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点是边的中点，连接交于点，则的值为A． B． C． D．【例2】如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是．【例3】如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是A． B． C． D．【例4】已知，如图，为中线上一点，，延长、分别交、于点、，交于点．（1）；（2）；（3）；（4）．上述结论中，正确的有．【例5】如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为．【例6】如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点、在边上，、分别在、上，则内接矩形的最大面积为．【例7】如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为．题型2半角模型【例8】已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．【例9】当几何图形中，两个共顶点的角存在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”．（1）如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．（2）如图2，如果四边形中，，，，且，，，求的长．（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于．（4）如图4，边长为6的正方形中，的顶点、分别在、边上，且，连接分别交、于点，，若，求的长．题型3四边形综合【例10】在四边形中，，，，为上一点，，且，的延长线于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中结论正确的是．（填序号）【例11】如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有．（把正确结论的序号都填上）【例12】在直角梯形中，，，，为边上一点，，且，连接交对角线于，连接，下列结论：①；②；③；④其中结论正确的是【例13】如图，已知正方形，延长至点使，连接、，与交于点，取的中点，连接，，交于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（只填序号）【例14】如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点，的坐标分别是，，点，把线段三等分，延长、分别交、于点，，连接．则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．【例15】如图，在正方形中，，是边上一点，连接，将沿直线翻折，得到，延长交于，连接，对角线分别与、交于、，连接、，下列结论：①；②；③；④若，则，其中，正确的有（填序号）．【例16】如图，在正方形中，、是射线上一动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接；在下列结论中①；②；③；④；⑤若，则；⑥．其中一定正确的是．（把正确的序号写在横线上）【例17】如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（填入正确的序号）．【例18】如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与交于点，，，垂足分别为，，连接，，．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的序号是．2025年中考数学考前冲刺：三角形、四边形综合强化练习题·教师版1．如图，把两个含角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点是边的中点，连接交于点，则的值为A． B． C． D．【解答】解：连接，如图，设，，，，，点是边的中点，．，，，．，，，，，，，，，故选：．2．如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是．【解答】解：，，，，，．．，，．．故答案为：．3．如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是A． B． C． D．【解答】解：，，，，故选项正确，不符合题意；，，，①，②，①②得，，，，，，，，，故，选项正确，不符合题意；，，，，，，，，，，，．故选项错误，符合题意．故选：．4．已知，如图，为中线上一点，，延长、分别交、于点、，交于点．（1）；（2）；（3）；（4）．上述结论中，正确的有（3）（4）．【解答】解：延长到，使，连接、，是中线，，四边形是平行四边形，，，即，，，，，；，，，，而与不一定相等，故（1）错误；，，，，，故（2）错误；，，；故（3）正确；，，，．故（4）正确．故答案为：（3）（4）．5．如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为．【解答】解：设正方形的边长为，设与交于点，如图，四边形为正方形，，，，，，．，，，，解得：．正方形的边长为．故答案为：．6．如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点、在边上，、分别在、上，则内接矩形的最大面积为80．【解答】解：四边形为矩形，，．，，设，则．，，，，．矩形的面积．，当时，内接矩形的最大面积为80．故答案为：80．7．如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为13．【解答】解：过点作交的延长线于点，如图所示，，是的平分线，，．是中点，，为的中位线，．故答案为：13．8．已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：由旋转可得，，，四边形为正方形，，，，，在和中，，，；（2）解：，证明如下：如图，把绕点逆时针旋转到，交于点，同（1）可证得，，且，．9．已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：由旋转可得，，，四边形为正方形，，，，，在和中，，，；（2）解：，证明如下：如图，把绕点逆时针旋转到，交于点，同（1）可证得，，且，．10．在四边形中，，，，为上一点，，且，的延长线于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中结论正确的是①②③④．（填序号）【解答】解：①，，．，，．在和中，，．故①正确；②，．又，是的垂直平分线．即垂直平分．故②正确；③取的中点，连接，，，．，．，．，．．，即，故③正确．④，，，，，，平分；故④正确；结论正确的是：①②③④．故答案为：①②③④．11．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有①②③．（把正确结论的序号都填上）【解答】解：四边形是矩形，，，，设，则，平分，，是等腰直角三角形，，，，故①正确；，，，是等腰直角三角形，，，，，平分，，故②正确；③，，，，又，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，在和中，，，，故③正确；，，，，，，故④错误；综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．12．在直角梯形中，，，，为边上一点，，且，连接交对角线于，连接，下列结论：①；②；③；④其中结论正确的是①②④【解答】解：①，，，又，，又，，；故①正确；②同理，，，，，为等边三角形，设，则，，，，，，故②正确，③由②可知，，，，故③错误，④由②③可知；，，，，故④正确；故答案为：①②④．13．如图，已知正方形，延长至点使，连接、，与交于点，取的中点，连接，，交于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是①③④⑤（只填序号）【解答】解：四边形为正方形，，，，，，，，故①正确；如图，连接，，，，，，，故②错误；，，是的中点，，，，，，，，，，，，如图，作于，则，，，，故④正确；，，，，是的中点，，，故⑤正确；，设，，，，，，故③正确；故答案为：①③④⑤．14．如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点，的坐标分别是，，点，把线段三等分，延长、分别交、于点，，连接．则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④其中正确的结论是①③（填写所有正确结论的序号）．【解答】解：①四边形是平行四边形，，，，，、为的三等分点，，，，，是的中点；所以①结论正确；②如图2，延长交轴于，由知：，，，，，，，，不成立，，且与相交，，不成立，同理可知为的中点，即，由勾股定理得：，，，，所以②结论不正确；③由①知：为的中点，由②知：是的中点，是的中位线，，，，，，过作于，，，，，，，，，，，，，；所以③结论正确；④在中，由勾股定理得：，，，所以④结论不正确；故本题结论正确的有：①③；故答案为：①③．15．如图，在正方形中，，是边上一点，连接，将沿直线翻折，得到，延长交于，连接，对角线分别与、交于、，连接、，下列结论：①；②；③；④若，则，其中，正确的有①②③（填序号）．【解答】解：四边形是正方形，，，，将沿直线翻折，得到，，，，，，，又，，，，，故①正确；，，，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，，，，，又，，，，；故②正确；，点，点，点，点四点共圆，，，；故③正确；，则，，，，故④错误；故答案为：①②③．16．如图，在正方形中，、是射线上一动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接；在下列结论中①；②；③；④；⑤若，则；⑥．其中一定正确的是①③④⑥．（把正确的序号写在横线上）【解答】解：四边形是正方形，，，又，，，故①正确；不一定为，不一定与相等，即与不一定全等，故②错误；如图1，在上截取，连接，，，，，，，，，，又，，，，，故③正确；如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，，，，，，，，又，，，，在中，，，故④正确；，设，则，，如图1，在上截取，连接，由③可得：，设，则，，，，，，故⑤错误；如图1，，，，故⑥正确；故答案为：①③④⑥．17．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有①②④（填入正确的序号）．【解答】解：四边形是正方形，，，，，，，，，，，，故①正确；如图，过点作于，，，，，，，，，，，，又，，，，故④正确；，，，，，，，，，，，故②正确；，，，故③错误．综上，正确的是①②④