中考数学一轮复习备考专题17：解直角三角形（讲义）

专题十七解直角三角形（讲义）——中考数学一轮复习备考合集考情分析命题点命题形式命题热度命题特点锐角三角函数1.三角函数值的确定☆☆本专题从锐角三角函数的定义命题，多以选择题和填空题的形式出现，解答题要求学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，体现了数形结合的核心素养2.特殊角的三角函数值☆解直角三角形3.解直角三角形☆☆☆解直角三角形的实际应用4.俯角仰角问题☆☆☆5.坡度坡角问题☆☆6.方向角问题☆☆7.实物模型☆☆讲解一：锐角三角函数一、正弦、余弦、正切名称定义符号语言图示正弦在中，，的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即.在中，，余弦在中，，的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即.在中，，正切在中，，的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即.在中，，【注意】正弦、余弦、正切都是一个比，是两条线段长度的比，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关.锐角三角函数：的正弦、余弦、正切都是的锐角三角函数. 【重点】（1）由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且，，.（2），和都是以锐角为自变量的函数，一旦的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化.（3）当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“”，如，，，，，等；当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“”不能省略，如不能写成，不能写成等.二、锐角三角函数之间的关系（1）同一锐角的三角函数之间的关系：.（2）互余两角的三角函数之间的关系：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或.（3）任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即.三、特殊角的三角函数值1.锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得到角的三角函数值.列表如下：1【说明】要熟记特殊角的三角函数值.已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数.【注意】锐角三角函数值随角度变化的规律：当角度在之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小.2.角的三角函数值的记忆方法（1）图形记忆法：如图所示，由三角函数的定义可得角的三角函数值.（2）口诀记忆法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根号别忘添.（3）特殊值记忆法：①角的正弦值依次为；②角的余弦值依次为；③（为锐角）的值随角的增大而增大，角的正切值依次为命题精练命题形式1三角函数值的确定1.（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A解析：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴过点作，则：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故选A．2．（2024·云南·中考真题）在中，，已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C解析：如图：在中，，，，，故选：C．3.（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是.【答案】解析：∵折叠，，∵四边形是矩形，，，，，，在中，，，解得，，故答案为：．4.（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则．【答案】/解析：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为，∴，∴，∴，∴，如图，过点作的延长线于点，则，，由图（）可得，，，∴，，∴，∴，故答案为：．5.（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C解析：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，∵四边形是菱形，∴，，∴，设，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．命题形式2特殊角的三角函数值1．（2024·天津·中考真题）的值等于（）A． B． C． D．【答案】A解析：.【题型分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解.2.（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（）A． B． C． D．【答案】D解析：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，故D正确．故选：D．3.（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为．【答案】解析：如图，菱形的周长为，∴，过作于，而，∴，故答案为：4.（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为．【答案】解析：过点作于，于，则，∵两张纸条的对边平行，∴，，∴四边形是平行四边形，又∵两张纸条的宽度相等，∴，∵，∴，∴四边形是菱形，在中，，，∴，∴四边形的周长为，故答案为：．讲解二：解直角三角形一、解直角三角形的概念及直角三角形中的边角关系1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.【注意】在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包括求周长和面积.2.直角三角形中的边角关系如图所示，在中，，所对的边分别为，那么除直角外的五个元素之间有如下关系.（1）三边之间的关系：（勾股定理）.（2）两锐角之间的关系：.（3）边角之间的关系：，，.【注意】（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三）.（2）在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形，按题意表明哪些元素使已知的，哪些元素是未知的，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.二、解直角三角形的基本类型及解法图形已知条件解法两边两直角边由，求斜边、一直角边（如）由，求一边和一锐角一直角边和一锐角一锐角与邻边（如）；一锐角与对边（如）；一锐角与斜边（如）；【解题通法】（一）已知两边解直角三角形的方法（1）已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦（或余弦）值，求出这个锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角.（2）已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角.（二）已知一锐角和一边解直角三角形的方法（1）已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边（求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边）.（2）已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边.（三）构造直角三角形解斜三角形问题的方法先通过作垂线（高），将斜三角形分割（或补）成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解.三、非直角三角形的解法类别图示辅助线解题思路三边过点A作于点D设，则，在和中，根据勾股定理求出BD的长，即可解直角三角形两角及一角的对边过点A作于点D先由三角形的内角和定理求，在和中，设，用含x的代数式表示出BD，再由，求出CD的长，即可解直角三角形两边及夹角过点B作交AC的延长线于点D在中，解直角三角形求出AD，BD的长，进而求出CD的长，在中，即可解直角三角形两角及夹边过点C作于点D先由三角形的内角和求出，在中，解直角三角形求出CD，BD的长，在中，即可解直角三角形【提示】非直角三角形的解题思路是选取适当的方法作垂线，构造直角三角形，使特殊角（15°，30°，45°，60°，75°，90°，120°，135°，150°）、特殊线段（含，等）尽量多地包含在所作的直角三角形中，再利用特殊角的三角函数值求解即可.命题精练命题形式3解直角三角形1．（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（）A．22 B．21 C．20 D．18【答案】A解析：∵，，∴，由作图知，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，作于点，则，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴四边形的周长是，故选：A．2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，．解析：连接，如图，∵菱形中，与互相垂直平分，又∵点是的中点，∴A、O、C三点在同一直线上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故选：C．3.（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B解析：如图，过点A作于点D．∵，∴．在中，，∴，∴，∴．故选B．4.（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)14(2)解析：（1）在中，，∴，在中，，∴，∴；（2）∵是边上的中线，∴，∴，∴，∴．5.（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为.【答案】【思路点拨】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可.本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键.解析：根据正方形的性质，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面积为；故答案为：．讲解三：利用解直角三角形解决实际问题1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案.【注意】（1）当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.（2）数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.【重点】在实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式图形关系式图形关系式2.解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念（1）仰角、俯角名称定义图示仰角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角.俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角.（2）坡角、坡度名称定义表示方法关系举例坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角一般用字母表示坡度等于坡角的正切值，即；坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡当时，坡度，坡角为坡度坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比）通常用表示，即（3）方向角名称定义举例方向角指北或指南的方向线与目标线所成的小于的角叫做方向角.如右图所示，目标方向线的方向角分别可以表示为北偏东、南偏东、北偏西，其中南偏东习惯上又叫做东南方向，北偏西习惯上又叫做西北方向.命题精练命题形式4俯角仰角问题1.（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）

【答案】米解析：根据题意可得：，，∴四边形和四边形为矩形，∴米，米，，，∴（米），设，则米，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵米，∴，解得：，∴米．命题形式5坡度坡角问题1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为米．【答案】/解析：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则，在中，，设米，米，，，米，米，，（米），（米），答：大树的高度为米．故答案为：．2．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米解析：过点作于点，则四边形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．命题形式6方向角问题1．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，）

【答案】处距离处有140海里．解析：过作于，在中，，海里，（海里），（海里），在中，，（海里），（海里），答：处距离处有140海里．2．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）(1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．【答案】(1)