河南省焦作市2025届高三年级第二次模拟考试数学试题（含答案）

答案第=page1111页，共=sectionpages1212页答案第=page1212页，共=sectionpages1212页河南省焦作市2025届高三年级第二次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合A=x∣x≤1,B=x∣A．0,1 B．−1,4 C．−1,0 D．1,42．若复数2+ia+i在复平面内对应的点位于y轴上，则实数a=A．−2 B．−12 C．13．已知向量a=1,3,b=−2,4，则A．5 B．10 C．10 D．204．如图.曲线AOB是抛物线C:x2=4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，AB=4，则点B到A．4 B．3 C．2 D．15．已知函数fx=sin2x+φ−π2A．2+3 B．2−3 C．1−36．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2,AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12πA．12π B．16π C．20π7．为了抒写乡村发展故事､展望乡村振兴图景､演绎民众身边日常､唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈､歌曲､戏曲､小品､器乐､非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（

）A．16 B．320 C．1108．已知a>0且a≠1，若函数fx=loga+2x−logax与A．0,3−1 B．2−1,1 C．3二、多选题9．有一组样本数据a,b,c,d，其中a>b>c>d，由这组数据得到的新样本数据为a−2,b−2,c+2,d+2，则（

）A．两组数据的极差一定相等B．两组数据的平均数一定相等C．两组数据的中位数可能相等D．两组数据的方差不可能相等10．已知F1,F2分别是双曲线C:x2−y2b2=1b>0的左、右焦点，斜率为15A．点F1到C的渐近线的距离为B．ABC．C的离心率为2D．分别以BF111．塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有tanhx=ex−e−xexA．E⊆DB．i=1C．方程2sigD．若关于x的不等式sigex+e三、填空题12．已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为.13．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若∠A的平分线AE交BC于点E，且AE=23,c=1,b=2，则14．记[x]表示不超过x的最大整数.若正项数列an满足an2+2n四、解答题15．已知等差数列an满足2a2+a3=0,a4(1)求an(2)探究bn16．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是14，乙每次击中目标的概率是1(1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；(2)设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望.17．已知函数fx(1)当a≥1e时，证明：(2)当a>0时，若函数ℎx=fx−sin18．已知椭圆C:x2a2+(1)求C的方程.(2)若C上的两点x1,y1,x2,y2满足y1（i）证明：点A在C上共有两个伴点；（ii）设（i）中的两个伴点分别为G,H，若斜率为32的动直线l与C交于点M,N，点G,H,M,N组成四边形MGNH，求四边形MGNH19．球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球O的半径R=3,A,B,C,D为球

(1)若球面三角形ABC的三条边长均为3π(2)在球O的内接三棱锥D−ABC中，DB⊥平面ABC,AB:AC:BC=3:2:1，直线DC与平面（i）若M,N分别为直线AD,BC上的动点，求线段MN长度的最小值；（ii）如图（2），若P,Q分别为线段AC,BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长.参考答案及解析题号12345678910答案ACBCDBADBCACD题号11答案ABD12．π3/13．714．1010115．(1)a16．（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件B1，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件B则PA所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为3128（2）由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3，PX=0PX=2所以X的分布列为X0123P272791所以EX17．（1）要证fx≥ln当a≥1e时，ae令gx=e易知g'x在0,+∞则当0<x<1时，g'x<0,gx单调递减，当∴x=1是gx故当x>0时，gx≥g1因此，当a≥1e时，（2）由题可知ℎx则ℎ'若a≥1，当x∈0,π2则ℎx在区间0,若0<a<1，设φx=aex−∴φx在区间0,π2上单调递增，即ℎ又ℎ'0=a−1<0,ℎ'当x∈0,x0时，ℎ'x∴ℎx在区间0,综上，实数a的取值范围是0,1.18．（1）设C的半焦距为cc>0由题可知ca=1所以C的方程为x2（2）（i）由题可知点A的坐标为1,3如图：设点A在C上的伴点的坐标为x,y，则3y2x=−所以点A在C上的伴点在直线x+2y=0上.联立方程得x+2y=0x24+y所以点A在C上所有伴点的坐标分别为3,−即点A在C上共有两个伴点.（ii）设MxM,两式相减得xM由题可知yM−y所以线段MN的中点在直线x+2y=0上，则线段MN被直线x+2y=0平分.由（i）可知直线GH的方程为x+2y=0.设点M到直线GH的距离为d，则四边形MGNH的面积S=2S又GH=(−3设过点M且与直线GH平行的直线l1的方程为x+2y=t则当l1与C相切时，d由x+2y=tx24令Δ=4t2故d的最大值为直线x+2y=0和直线x+2y=4（或x+2y=−4）的距离，即为45所以Smax即四边形MGNH的面积的最大值为4319．（1）因为球面三角形ABC的三条边长均为3π所以球面三角形每条边所对的圆心角均为π3，所以四面体OABC取OA的中点E，连接BE,CE，则BE⊥OA,CE⊥OA，且BE=CE=3则∠BEC为二面角B−AO−C的平面角.由余弦定理可得cos∠BEC=所以此球面三角形一个内角的余弦值为13（2）因为DB⊥平面ABC，所以DB⊥AC,DB⊥AB.设BC=aa>0，则AB=3a,AC=由勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又BD∩BC=B，所以AC⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AC⊥CD，因为直线DC与平面ABC所成的角为π3，所以∠DCB=易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜边AD的中点到点A,B,C,D的距离相等，即AD为球O的直径，所以以点C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

（i）由题可知C0,0,0则AD=设与AD,BC都垂直的向量为则AD⋅n=2x−2y+