中考数学一轮复习备考专题16：图形的相似与位似（讲义）

专题十六图形的相似与位似（讲义）——中考数学一轮复习备考合集考情分析命题点命题形式命题热度命题特点相似三角形1.比例的性质☆本专题主要以选择题、填空题和解答题的形式出现，重点考查学生利用相关定理和性质进行证明的能力，近年来更加注重利用相似解决实际问题的开放探究，体现了数形结合的核心素养2.平行线分线段成比例☆3.相似三角形的性质☆☆☆4.相似三角形的有关证明与计算☆☆☆5.相似三角形的实际应用☆☆位似6.位似☆☆讲解一：比例线段一、比例线段的相关概念及性质1.线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比.【注意】两条线段的比，与所选的长度单位无关，但所选的长度单位必须一致，其值是一个没有单位的正数.2.四条线段成比例：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段成比例.【注意】（1）成比例线段是有顺序的，即若是成比例线段，则（或），不能写成.（2）在运用计算时，通常情况下，四条线段的长度单位要一致，但有时为了计算方便，的长度单位一致，的长度单位一致也可以.3.比例的相关性质：（1）基本性质：若，则.（2）合比性质：若，则.（3）分比性质：若，则.（4）等比性质：若，则.4.黄金分割线在线段上，点把线段分成两条线段和（），如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，黄金比为，线段有两个黄金分割点和.二、平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.几何语言：如图，直线，直线被直线，，所截，那么，可简记为：.【注意】（1）对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置上.（2）基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关.2.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形中的结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.几何语言：如图，，或或.命题精练命题形式1比例的性质1．（2023·甘肃武威·中考真题）若，则ab=（）A．6 B． C．1 D．【答案】A解析：根据等式的性质即可得出结果．等式两边乘以，得，故选：A．2．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则．【答案】1解析：根据比例的性质解答即可，，．故答案为：1．3.（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：.【答案】解析：∵∴∴，故答案为：．命题形式2平行线分线段成比例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．解析：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，在等腰三角形ABC中，，是中点，设，，由中点为，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中点为M，∴，即，由在反比例函数上得，∴，解得：，由题可知，，∴．故选：B．2．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：画法图形1．以A为端点画一条射线；2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．这一画图过程体现的数学依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．两条平行线之间的距离处处相等C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【答案】D解析：由步骤2可得：C、D为线段AE的三等分点步骤3中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：M、N就是线段AB的三等分点故选：D3.（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C解析：∵四边形为平行四边形，∴，，∴，，设为x，∵，，∴，，∴，，∴，即，得，∴．故选：C．4.（2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．解析：∵中，，∴，∵∴，故选：A．5.（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为．

【答案】解析：，，，，，，，；故答案为：.讲解二：三角形相似的判定与性质一、相似图形相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.【注意】（1）两个图形是否相似与图形的大小、位置无关.（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.（3）全等图形是特殊的相似图形，也就是说全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形.二、相似多边形1.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.【注意】两个多边形相似，必须同时具备三个条件：（1）边数相同；（2）角分别相等；（3）边成比例.2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.【注意】相似比的值与两个多边形的顺序有关.例如，若四边形与四边形的相似比为3，则四边形与四边形的相似比为.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.【注意】（1）相似多边形的对应角相等，但相等的两个角未必是对应角，要结合图形去观察它们之间的对应关系.（2）相似多边形的定义可用来判断两个多边是否相似.（3）相似多边形的性质常用来求相似多边形未知边的长度或未知角的度数.三、相似三角形的判定1.利用平行线判定两个三角形相似的定理定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何语言：如图所示，，.2.利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.几何语言：如图所示，在和中，,且，.【注意】应用该定理判定两个三角形相似时，相等的角必须是成比例的两边的夹角.3.应用三边判定两个三角形相似的定理定理：三边成比例的两个三角形相似.几何语言：如图所示，在和中，，.【注意】利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边与边之间的对应关系，主要根据最长边与最长边对应，最短边与最短边对应的思路找对应边.4.利用两角判定两个三角形相似的定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.几何语言：如图所示，在和中，,.【注意】利用此定理证明两个三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角（等角）的余角（补角）、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.5.直角三角形相似的判定方法①一个锐角相等的两个直角三角形相似；②两组直角边成比例的两个直角三角形相似；③斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.四、相似三角形的性质1.根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比.已知，且相似比为，由相似三角形的判定定理和相似三角形的定义可以证明对应线段的比等于相似比，具体如下表：图形推理结论相似比相似比为对应高的比由两角分别相等的两个三角形相似，得，再由相似三角形的定义，得对应高的比等于相似比对应中线的比由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，得，再由相似三角形的定义，得对应中线的比等于相似比对应角平分线的比由两角分别相等的两个三角形相似，得，再由相似三角形的定义，得对应角平分线的比等于相似比【注意】在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.3.相似三角形周长的比等于相似比.4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.应用几何图形的证明与计算常见的类型是证明线段的数量关系，求线段的长度及图形的面积等.解决实际问题常见类项是计算物体的高度和河的宽度等，基本思想是建立相似三角形模型五、相似三角形的判定思路六、相似三角形的常见模型（1）A字型——有一个公共角类别已知为公共角，为公共角，或方法判定思路①判定思路②表示（2）8字型——有一组对顶角模型已知与为对顶角，与为对顶角，或方法判定思路①判定思路②表示（3）母子型——有一个公共角且该角的一边为公共边模型已知为公共角，或为公共角，，方法判定思路②判定思路②或④表示或（4）一线三等角型——三个角相等且这三个角的顶点在同一条直线上模型已知方法判定思路②（根据三角形的内角和及同角的余角相等求证另一组等角）表示命题精练命题形式3相似三角形的性质1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（）A． B． C． D．【答案】D解析：根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，故选：D．2．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（）A． B． C． D．【答案】D解析：∵两个相似三角形的相似比为，∴这两个三角形面积的比是，故选：D．3.（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵与相似，且相似比为，∴与的周长比为，故选B．4.（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为．【答案】解析：∵两个相似多边形的相似比为，∴它们的周长的比为，故答案为：．5.（2023·江苏泰州·中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为．【答案】解析：两个相似图形，其周长之比为，其相似比为，其面积比为．故答案为：．命题形式4相似三角形的有关证明与计算1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（）A． B． C． D．【答案】A解析：∵，设，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵平分，∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等，∴，即，故选：A．2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C解析：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：∴，∴，∵点A在双曲线上，点B在，∴∴，∴，∴，∴，∵，轴，∴，∵，∴，∴∴∴，故选：C．3.（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为．【答案】96解析：作交于点H，则，∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O，∴，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案为：96．4.（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．【答案】见解析【思路点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．解析：，，，四边形是正方形，，，，，又，．命题形式5相似三角形的实际应用1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米【答案】D【思路点拨】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论．解析：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，，，，，，米，，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，故选：D．2．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为．【答案】80解析：过点B作交的延长线于N，

∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴另一端B离地面的高度为．故答案为：80．3.（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为．【答案】【思路点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．解析：由题意得：，∴，如图，过作于点，交于点，∴，，∴，即，∴（），即小孔到的距离为，故答案为：．讲解三：位似定义两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.性质（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比；（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；（3）位似图形对应边平行（或在同一条直线上）；（4）位似图形对应角相等；（5）在平面直角坐标系中，如果原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k