中考数学一轮复习备考知识清单17 解直角三角形

知识梳理一、锐角三角函数值正弦、余弦、正切名称定义符号语言图示正弦在中，，的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即.在中，，余弦在中，，的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作.在中，，正切在中，，的对边与邻边的比叫作的正切，记作.在中，，【注意】正弦、余弦、正切都是一个比，是两条线段长度的比，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关.锐角三角函数：的正弦、余弦、正切都是的锐角三角函数.【重点】（1）由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且，，.（2），和都是以锐角为自变量的函数，一旦的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化.（3）当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“”，如，，，，，等；当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“”不能省略，如不能写成，不能写成等.锐角三角函数之间的关系（1）同一锐角的三角函数之间的关系：.（2）互余两角的三角函数之间的关系：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或.（3）任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即.二、特殊锐角的三角函数值的计算1.锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得到角的三角函数值.列表如下：1【说明】要熟记特殊角的三角函数值.已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数.【注意】锐角三角函数值随角度变化的规律 当角度在之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小.2.角的三角函数值的记忆方法（1）图形记忆法：如图所示，由三角函数的定义可得角的三角函数值.（2）特殊值记忆法：①角的正弦值依次为；②角的余弦值依次为；③（为锐角）的值随角的增大而增大，角的正切值依次为（3）口诀记忆法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根号别忘添.三、解直角三角形及其应用解直角三角形的概念及直角三角形中的边角关系1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.【注意】在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包括求周长和面积.2.直角三角形中的边角关系如图所示，在中，，所对的边分别为，那么除直角外的五个元素之间有如下关系.（1）三边之间的关系：（勾股定理）.（2）两锐角之间的关系：.（3）边角之间的关系：，，.【注意】（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三）.（2）在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形，按题意表明哪些元素使已知的，哪些元素是未知的，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.解直角三角形的基本类型及解法图形已知条件解法两边两直角边由，求斜边、一直角边（如）由，求一边和一锐角一直角边和一锐角一锐角与邻边（如）；一锐角与对边（如）；一锐角与斜边（如）；利用解直角三角形解决实际问题利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案.【注意】（1）当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.（2）数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.【重点】在实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式图形关系式图形关系式方法点拨1.求网格中锐角的三角函数值的问题如图所示，在中，，的对边分别为.的正弦：；的余弦：；的正切：.求锐角的三角函数值时，通常构造以该锐角为内角的直角三角形，以便在直角三角形中求锐角的三角函数值.【敲黑板】（1）由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且.（2）和都是以锐角为自变量的函数，一旦的度数确定，，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化.（3）当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“”，如等；当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“”不能省略，如不能写成，不能写成等.【方法总结】在网格图中求锐角三角函数值的关键是构造锐角所在的直角三角形.若直角顶点恰好在格点上，则可先运用勾股定理求出三角形的边长，再利用锐角三角函数的概念求解；若直角顶点不在格点上，则可先利用等积法、勾股定理等方法先求出相关边的长度，然后利用锐角三角函数的概念求解.【解法通法】等角转换法求锐角三角函数值当不能直接利用定义法、参数法、构造直角三角形求锐角三角函数值时，可利用等角转换法，把要求的角转化为与其相等的角.找相等角的方法有多种，可以借助平行线、等腰三角形、三角形全等（相似）和圆等知识来解决，要根据题目的条件灵活选用方法.2.特殊角的三角函数值的计算问题在解含特殊角的三角函数值的计算问题时，要记住，，，根据题目要求选取相应的特殊角的三角函数值，按照运算顺序进行计算.3.已知两边解直角三角形的方法（1）已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦（或余弦）值，求出这个锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角.（2）已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角.【技巧点拨】解直角三角形时，如果没有给出图形，一般先在草稿纸上画出图形，将已知条件标注出来，再根据已知条件分析要求的元素.4.已知一锐角和一边解直角三角形的方法（1）已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边（求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边）.5.构造直角三角形解斜三角形问题的方法先通过作垂线（高），将斜三角形分割（或补）成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解.6.解坡度（坡比）问题名称定义表示方法关系举例坡角坡面与水平面的夹角叫作坡角一般用字母表示坡度等于坡角的正切值，即；坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡当时，坡度，坡角为【易错警示】有关坡角、坡度问题的两个注意点（1）坡角是指坡面与水平面的夹角，而不是坡面与铅垂线的夹角；（2）不能把坡度比例式的分子和分母的位置颠倒.7.解方向角问题名称定义举例方向角指北或指南的方向线与目标线所成的小于的角叫作方向角.如右图所示，目标方向线的方向角分别可以