中考数学一轮复习备考专题15：特殊三角形（讲义）

专题十五特殊三角形（讲义）——中考数学一轮复习备考合集考情分析命题点命题形式命题热度命题特点特殊三角形1.等腰三角形☆☆☆本专题多以选择题和填空题的形式出现，考查特殊三角形的性质，解答题常见题型为特殊三角形的有关证明与计算等，要求学生熟练掌握特殊三角形的有关性质及判定，并在解答过程中灵活运用，体现了数形结合的思想.2.等边三角形☆☆3.直角三角形☆☆☆讲解一：等腰三角形一、等腰三角形的性质图形数学语言文字描述在中，因为，所以等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）①因为，所以平分，且.②因为，所以，且平分.③因为，平分，所以，且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）特别提醒（1）应用“等边对等角”“三线合一”的前提是在同一个等腰三角形中，不能乱用.（2）“三线合一”中“三线”指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，而腰上的高、中线及该腰的对角的平分线不一定重合二、等腰三角形的判定等腰三角形的判定方法图形表示几何推理注意事项定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形为等腰三角形这是根据等腰三角形的定义进行判断的，任何一个图形的定义都是它的一种判定方法定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）“等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用比较广泛，往往通过计算三角形各角的度数，也可得到角相等，在运用时要找准“边”与“角”【拓展】等腰三角形中运用分类讨论思想解决问题的步骤：（1）分类:根据题意确定分类标准，按照等腰三角形的腰和底(或顶角和底角)进行分类讨论；（2）计算:计算出其他边的长度(或其他角的度数)；（3）检验:验证计算结果是否满足三角形的三边关系(或三角形内角和定理).命题精练命题形式1等腰三角形1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解．解析：∵，，∴，∵，∴，∴．故选：B2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是．【答案】或【思路点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案；解析：如图，当时，延长交于，∵，，∴,∴；如图，当时，延长交于，∵，，∴,∴，故答案为：或3.（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为度．【答案】【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得．解析：，，，根据尺规作图过程，可知为的角平分线，，故，故答案为：．4.（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为.

【答案】4解析：∵D，E分别是边，的中点，∴是的中位线，∴∴∵∴∴故答案为：45.（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为．【答案】60解析：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，过点作，，则：，∵，且，∴，∴四边形的面积，∵，∴，设，则：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四边形的面积为60．故答案为：60．5.（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，．(1)求证：；(2)若，平分，请直接写出的形状．【答案】(1)见解析(2)是等腰直角三角形．解析：（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）是等腰直角三角形．∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．讲解二：等边三角形一、等边三角形的概念及性质定义性质等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴的交点称为“中心”.（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质知识详解（1）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.（2）所有的等边三角形都是等腰三角形，但并不是所有的等腰三角形都是等边三角形二、等边三角形的判定等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形知识详解（1）等边三角形的定义是等边三角形的一种判定方法.（2）“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”.（3）第三种判定方法是在等腰三角形的条件下，60°的角无论是顶角还是底角都成立命题精练命题形式2等边三角形1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（）A． B． C． D．【答案】C解析：∵四边形是矩形，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，故选：C．2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解．解析：∵，∴，即，∵是等边三角形，∴，又∵，∴，∴，故选：B．3.（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则．【答案】2解析：∵四边形为正方形，为等边三角形，，，∴，∴，∴；故答案为：2．4.（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则，．【答案】30°/解析：∵为等边三角形，，∴，，∴，，，作交的延长线于点，∴，，∵，∴，∴，∴，即，解得，故答案为：，．5.（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；(2)若平分，直接写出的形状．【答案】(1)见解析(2)等边三角形【思路点拨】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到；（2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形．解析：（1）证明：，∴，，．（2）∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形6.（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．

【答案】见解析证明∶∵是等边三角形，∴，，又，∴，∴．讲解三：直角三角形一、含30°角的直角三角形的性质具体内容图例含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半在中，，，是斜边的中点，则有知识详解（1）将两个含30°角的全等直角三角形的长直角边重合（如图），可得到一个等边三角形，即可证明这条性质的正确性.（2）该性质是含有30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用.（3）这个性质主要用于计算线段长和证明线段的倍分关系.二、直角三角形的判定（1）有一个角等于的三角形是直角三角形（定义）；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形；（4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，图中若，则是以为直角的直角三角形（应用时，需先证明）【拓展】（1）面积：，其中为两直角边，为斜边，为斜边上的高（2）内切圆半径，外接圆半径，其中为两直角边长，为斜边长.三、勾股定理文字语言符号语言图示变式应用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.四、勾股定理的证明方法图形证明“赵爽弦图”因为大正方形的边长为，所以大正方形的面积为.又大正方形的面积，所以.刘徽“青朱出入图”设大正方形的面积为，则.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得，所以加菲尔德总统拼图设梯形的面积为，则.因为，所以毕达哥拉斯拼图由图（1）得大正方形的面积由图（2）得大正方形的面积，比较两式易得【注意】（1）探索勾股定理时找面积相等是关键.其一般步骤为：拼出图形—写出图形面积的代数式—找出等量关系—恒等变换—推导出命题结论.（2）图形通过切割、拼接后，只要没有重复，没有空隙，面积就不会改变五、勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别勾股定理勾股定理的逆定理条件在中，.在中，.结论区别勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.联系两者都与三角形的三边有关系【延伸】设三角形的三边长分别为（为最长边的长）.如果，那么这个三角形是直角三角形；如果，那么这个三角形是钝角三角形；如果，那么这个三角形是锐角三角形.命题精练命题形式3直角三角形1.（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【思路点拨】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．解析：∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴为等腰直角三角形，故选：D．2.（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【思路点拨】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解．解析：∵四边形是菱形，，∵E是的中点，，∴。故选：A．3.（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（）A．3 B．6 C． D．【答案】A证明：∵在中，，D是的中点，∴，∵，∴等边三角形，∴．故选：A．4.（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B解析：中，，，，，连接，如图所示：∵于点，于点，，∴，四边形是矩形，，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，∴此时．故选：B．5.（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（）

A． B． C． D．【答案】B解析：过点作的延长线于点，则，∵，，∴，，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，设，则，在中，，∴，解得，（舍去），∴，∴，故选：．

6.（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度，，则中柱AD（D为底边中点）的长为．【答案】/【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质以及勾股定理．由等腰三角形的性质求得的长，由含30度直角三角形的性质得到，再根据勾股定理列式计算即可求解．解析：由题意得，，∴，∵，∴，∵，即，解得，故答案为：．7.（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为．

【答案】6或12解析：∵，，，∴，，①点D在线段时，∵，，∴，∴，∴；②点D在线段延长线上时，∵，，∴，∴，∴； ③点D在线段延长线上时，

此时，即，故不符合题意，舍去，综上，的长为6或12．8.（2023·湖南郴州·中考真题）在中，，斜边上的中线长为.【答案】5【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得到答案．解析：∵在中，，∴，∴斜边上的中线长为，故答案为：5．9.（2023·湖北荆州·中考真题）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则.【答案】3【思路点拨】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．解析：∵在中，为斜边上的中线，，∴，∴，∵为的中点，∴故答案为：3．10.（2024·江