中考数学一轮复习备考知识清单24 图形的变化

知识梳理五种基本尺规作图类型作法图示原理作一条线段等于已知线段（截取）（1）作射线；（2）在上截取，即为所求线段圆弧上的点到圆心的距离等于半径作一个角等于已知角（截取）（1）作射线；（2）在上以为圆心，以任意长为半径作弧，交的两边于点；（3）以为圆心，长为半径作弧，交于点；（4）以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点；（5）过点作射线，即为所求角三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线作一个角的平分线（平分）（1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，；（2）分别以点,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点；（3）作射线即为所求作线段的垂直平分线（平分）（1）分别以点为圆心，大于的长为半径向线段两侧作弧，两弧分别交与点；（2）过点作直线，所得直线即为所求到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线过一点作已知直线的垂线（截取+平分）点在直线上（1）以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于两点；（2）分别以点为圆心，以大于长为半径向直线上方作弧，交点为；（3）作直线即为所求等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线点在直线外（1）在直线另一侧取点；（2）以点为圆心，长为半径画弧，交直线于两点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直线同侧交与点；（4）连接即为所求圆弧上的点到圆心的距离等于半径；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线投影与三视图投影概念一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面分类平行投影由平行光线形成的投影叫做平行投影；物体在太阳光照射下可以看成平行投影；投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影中心投影由同一点（点光）发出的光线形成的投影叫做中心投影，如灯光下某物体的投影三视图概念主视图正投影情况下，在正面内得到的由前向后观察物体的视图左视图正投影情况下，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图俯视图正投影情况下，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图画法（1）主视图和俯视图要长对正；（2）主视图和左视图要高平齐；（3）左视图和俯视图要宽相等；（4）看得见的轮廓线通常画成实线，看不见的轮廓线通常画成虚线由三视图还原几何体（1）想象：根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状；（2）定形：综合确定几何体（或实物原型）的形状；（3）定大小位置：根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸常见几何体的三视图与展开图几何体三视图展开图（任一种）轴对称与中心对称轴对称中心对称图形性质（1）成轴对称的两个图形是全等图形；（2）成轴对称的两个图形只有一条对称轴；（3）对应点连线被对称轴垂直平分（1）成中心对称的两个图形是全等图形；（2）成中心对称的两个图形只有一个对称中心；（3）对应点连线交于对称中心，并且被对称中心平分作图方法（1）找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴（或对称中心）的对称点；（2）根据原图形依次连接各对称点即可轴对称图形与中心对称图形轴对称图形中心对称图形图形判断方法（1）有对称轴——直线；图形沿对称轴折叠后完全重合（1）有对称中心——点；（2）图形绕对称中心旋转后完全重合【温馨提示】常见的轴对称图形、中心对称图形图形的折叠及最短路径问题图形的折叠（1）位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称（2）折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；（3）折叠前后，对应点的连线被折痕所在直线垂直平分最短路径基本问题如图①，在直线上找一点，使得点到点和点的距离之和最短，即的值最小方法作轴对称图形依据轴对称的性质，两点之间线段最短作法如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线相交于点，连接，则点即为所求，此时的值最小平移与旋转内容要素性质网格作图步骤（1）平移的方向；（2）平移的距离（1）平移前后对应线段平行（或共线）且相等，对应点所连的线段平行（或共线）且相等；（2）对应角分别相等，且对应角的两边分别平行（或共线），方向一致；（3）平移变换后的图形与原图形全等（1）确定平移方向和平移距离；（2）找原图形关键点；（3）按平移方向和距离平移各关键点；（4）按原图形顺次连接各关键点平移后的对应点，得到平移后的图形（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等（1）确定旋转中心，旋转方向及旋转角；（2）找原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形顺次连接各关键点旋转后的对应点，得到旋转后的图形方法点拨考向一尺规作图1.解角的平分线作法的问题作的平分线，方法如下：如图所示，①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线，射线即为所求的角平分线.【注意】分别以点为圆心画弧时，特别强调半径长应大于的长，否则两弧无交点.2.解与线段垂直平分线作法有关的问题（1）作线段的垂直平分线，方法如下：①分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线.直线就是线段的垂直平分线.（2）经过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线和外一点.求作：的垂线，使它经过点.作法：①任意取一点，使点与点在的两旁；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点和.③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点.④作直线.直线就是所求的垂线.考向二投影与视图1.解中心投影的问题由同一点（点光）发出的光线形成的投影叫做中心投影.生活中能形成中心投影的点光主要有路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.在中心投影中，点光、物体上任意一点及其影子上的对应点三点共线.【敲黑板】（1）等高的物体垂直于地面放置时，在灯光的照射下，如图（1）所示，离点光近的物体的影子短，离点光远的物体的影子长.（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光的照射下，如图（2）所示，离点光越近，物体的影子越长，离点光越远，物体的影子越短.（3）形成中心投影的过程中，点光、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据同一灯光下两个不同物体及它们的影子，可以确定点光所在位置.【方法总结】中心投影的相关计算常与相似三角形结合，利用相似三角形的性质列方程（组）是解决中心投影计算问题常用的方法.2.解平行投影问题太阳光线可以看成平行光线，由平行光线所形成的投影为平行投影，因此物体在阳光的照射下形成的影子是平行投影.常运用平行投影下的不同物体，在同一时刻，物高与影长成正比进行相关的计算.一般情况下，经过平行投影，直线的平行或相交关系保持不变.【敲黑板】（1）平行投影中对应点的连线是互相平行的；反之，物体与其投影的对应点的连线是互相平行的就说明是平行投影.（2）在不用时刻的太阳光照射下，物体的影子的大小和方向都在改变.（3）平行投影的特征：①等高的物体垂直（或平行）于地面放置时，如图所示，同一时刻，在太阳光下，它们的影子长相等.②在太阳光下，不同时刻，同一地点、同一物体的影子不仅方向在改变，影子的长度一般也不同.从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西西北正北东北正东（北半球北回归线以北地区）.一天之中，同一物体的影子的长短的变化规律是：长短最短短长.③在太阳光下，同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比，即.【方法总结】太阳光下的平行投影作图，应首先确定太阳光线，然后平移太阳光线即可.由于平行投影的投影线是平行的，因此与平行投影有关的计算问题（如测量物体高度等）往往利用相似三角形来解决.3.解物体三视图的识别问题从几何体的正面看到的图形是主视图，从左面看到的是左视图，从上面看到的是俯视图.识别三种视图时，要知道主视图表示物体的左右、上下——反映物体的长与高；俯视图表示物体的左右、前后——反映物体的长与宽；左视图表示物体的上下、前后——反映物体的高与宽.由于每一个视图反映物体两个方向的长度，故三视图之间应保持下面的对应关系：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等，简称为“长对正、高平齐，宽相等”.4.解画物体三视图的问题如图所示，画基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体方法：（1）确定主视图的位置，画出主视图；（2）在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；（3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.画物体的三视图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.画图时规定：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡看不见的部分的轮廓线画成虚线.【注意】画出三视图，位置一定要放对，主视图的正右方放左视图，主视图的正下方放俯视图，要把握好三者之间的对应关系.5.根据三视图确定小正方体的个数问题先根据几何体（由小正方体搭成）的三视图分析出几何体的行数、列数及层数，再确定小正方体的个数.由主视图和俯视图确定小正方体的最多和最少个数的一般步骤如下：第一步：根据主视图数出每列中的小正方形个数，在俯视图对应的列（从左到右的顺序）的第一行（从上到下的顺序）的每一个小正方形内填入相应的数字.第二步：在俯视图对应的列的其他行的小正方形内填入不超过第一行且不低于1的数字.第三步：若要求的是最多需要小正方体的个数，则应取俯视图中每一个小正方形上最大的数字（若相同，则任取一个），再把它们相加，即可得小正方体的最多个数；若要求的是最少需要小正方体的个数，则应取俯视图每列中一个小正方形上最大的数字，其余小正方形上最小的数字（若相同，则任取一个），再把它们相加，即可得小正方体的最少个数.【方法总结】由俯视图我们能够确定几何体从下到上的第一层小正方体的个数及分布形状；由主视图可以确定几何体每层的小正方体的可能的个数.考向三图形的轴对称、平移、旋转1.解轴对称图形和中心对称图形的识别问题如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.在判断一个图形是否为轴对称图形、中心对称图形时，要明确以下两点：①如果能找到一条直线（对称轴）把一个图形分成两部分，且直线两旁的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；②把一个平面图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.【规律总结】图中有三角形、五边形等奇数条边的图形时，一般不是中心对称图形；图中含有圆、正方形等图形时，它可能既是轴对称图形又是中心对称图形.2.解有关图形的平移与旋转的计算问题在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换就是平移.图形平移具有以下性质：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等.把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，这种图形变换称为图形的旋转.图形旋转具有以下性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前后的图形全等.图形的平移和旋转都不改变图形的形状和大小.解图形的平移问题时，一要弄清楚平移的方向，二要注意平移的距离；解图形的旋转问题时，要注意图形旋转的三要素（旋转方向、旋转中心、旋转角度）和性质.3.解图形的平移与旋转的画图问题平移与旋转作图都应抓住两个要点：一是平移、旋转的方向；二是平移的距离及旋转的角度.基本的作图方法是先选取已知图形的几个关键点，再根据平移或旋转的性质作出它们的对应点，然后以“局部带动整体”的思想方法作出变化后的图形.无论是平移还是旋转，都不改变图形的大小和形状.4.利用轴对称解决最短距离问题几何体中的最短路径问题，实质就是构建和转化“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”的问题，关键是找相关点关于直线的对称点实现转化.【方法总结】线段和最短的问题，往往把几条线段转化成一条线段，利用“两点之间，线段最短”解决.通常将涉及的几点中的任一点作出其关于直线的对称点解决.5.解与线段垂直平分线有关的问题经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.已知线段的垂直平分线，就应想到线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等.已知到线段两端点的距离相等的点，就应想到这些点在该线段的垂直平分线上.【拓展延伸】（1）线段的垂