2024-2025学年新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用教学实录 新人教B版选择性必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1第2课时基本计数原理的应用教学实录新人教B版选择性必修第二册主备人备课成员教学内容2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1第2课时基本计数原理的应用教学实录新人教B版选择性必修第二册

本节课主要围绕排列与组合的概念、基本计数原理及其应用展开，具体内容包括排列的定义、排列数公式、组合的定义、组合数公式，以及如何运用基本计数原理解决实际问题。核心素养目标教学难点与重点1.教学重点，

①掌握排列与组合的定义，理解排列数和组合数的计算公式；

②熟练运用基本计数原理解决实际问题，包括单步计数原理和多步计数原理的应用；

③能够将实际问题转化为排列组合问题，并正确选择和应用相应的公式进行计算。

2.教学难点，

①理解排列与组合的区别和联系，特别是在解决实际问题时的灵活运用；

②在复杂问题中，正确识别和分解问题，将问题转化为简单的排列组合问题；

③在多步计数原理的应用中，合理分配步骤，避免重复计算和遗漏计算；

④在解决实际问题时，能够根据问题的特点选择合适的排列组合方法，提高解题效率。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，通过教师的讲解帮助学生建立概念框架，同时组织小组讨论，鼓励学生表达自己的理解和解题思路。

2.设计实际操作活动，如“生日悖论”实验，让学生通过实际操作体验概率与组合的关系。

3.利用多媒体教学工具展示排列组合的图形化过程，帮助学生直观理解抽象概念。

4.设计“组合问题挑战”游戏，激发学生的学习兴趣，通过游戏竞赛的方式提高学生的参与度和积极性。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：以“如果你有10个不同的球，需要将它们放入5个不同的盒子中，有多少种不同的方法？”这样的问题引入，激发学生的好奇心。

-回顾旧知：简要回顾等可能事件的概率计算方法，引导学生思考如何将这一方法应用于排列组合问题。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：

1.详细讲解排列的定义，介绍排列数公式及计算方法。

2.讲解组合的定义，介绍组合数公式及计算方法。

3.通过具体例子说明排列与组合在生活中的应用，如抽奖、密码设置等。

-举例说明：

1.举例说明排列数在实际问题中的应用，如班级学生排队。

2.举例说明组合数在实际问题中的应用，如班级学生分组。

-互动探究：

1.组织学生讨论如何解决“生日悖论”问题，引导学生运用组合数计算概率。

2.进行小组实验，让学生通过实际操作验证排列组合的计算结果。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

1.让学生独立完成教材中的练习题，巩固排列组合的基本概念和计算方法。

2.学生之间互相检查作业，互相纠正错误。

-教师指导：

1.教师巡视课堂，解答学生在练习过程中遇到的问题。

2.针对学生的不同学习情况，给予个别指导。

4.拓展延伸（约10分钟）

-教师提出拓展问题，如“如何利用排列组合解决日程安排问题？”

-学生分组讨论，尝试将排列组合的方法应用于新的问题情境中。

5.总结反思（约5分钟）

-学生总结本节课所学内容，分享自己的学习心得。

-教师总结本节课的重点和难点，强调排列组合在实际生活中的应用价值。

-布置课后作业，巩固学生对排列组合知识的掌握。

教学过程中，教师应注重启发式教学，引导学生主动参与、积极思考。同时，通过多样化的教学活动，提高学生的学习兴趣和动手能力。知识点梳理1.排列与组合的基本概念

-排列：指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的方法数。

-组合：指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，不论顺序，组成一组的方法数。

2.排列数公式

-排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!

-其中，n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×1。

3.组合数公式

-组合数公式：C(n,m)=n!/[m!×(n-m)!]

-其中，n!表示n的阶乘，m!表示m的阶乘。

4.排列与组合的区别与联系

-区别：排列注重元素的顺序，而组合不注重元素的顺序。

-联系：排列可以看作是组合的一种特殊情况，即当组合中的元素顺序重要时，可以将其视为排列。

5.基本计数原理

-单步计数原理：如果完成一个事件需要分两步进行，且第一步有m种方法，第二步有n种方法，那么完成这个事件共有m×n种方法。

-多步计数原理：如果完成一个事件需要分k步进行，且第i步有mi种方法（i=1,2,...,k），那么完成这个事件共有m1×m2×...×mk种方法。

6.排列与组合在实际问题中的应用

-排列的应用：如班级学生排队、密码设置、日程安排等。

-组合的应用：如抽奖、分组、分配任务等。

7.排列与组合的解题技巧

-针对实际问题，首先明确问题类型，判断是排列问题还是组合问题。

-根据问题特点，选择合适的排列组合公式进行计算。

-在解决实际问题时，注意将问题转化为排列组合问题，并合理运用基本计数原理。

8.排列与组合的拓展知识

-排列与组合的递推关系：A(n,m)=A(n-1,m)+A(n-1,m-1)

-排列与组合的对称性质：A(n,m)=A(n,n-m)

-排列与组合的容斥原理：C(n,m)+C(n,m-1)=C(n+1,m)内容逻辑关系1.排列与组合的定义

①排列的定义：元素顺序重要的组合方式。

②组合的定义：元素顺序无关的组合方式。

2.排列数与组合数的计算公式

①排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!

②组合数公式：C(n,m)=n!/[m!×(n-m)!]

3.排列与组合的区别与联系

①区别：排列考虑顺序，组合不考虑顺序。

②联系：排列是组合的一种特殊情况。

4.基本计数原理

①单步计数原理：m×n种方法。

②多步计数原理：m1×m2×...×mk种方法。

5.排列与组合的应用

①排列应用：班级学生排队。

②组合应用：抽奖、分组。

6.解题技巧

①明确问题类型。

②选择合适的公式。

③转换实际问题为排列组合问题。

7.拓展知识

①递推关系：A(n,m)=A(n-1,m)+A(n-1,m-1)

②对称性质：A(n,m)=A(n,n-m)

③容斥原理：C(n,m)+C(n,m-1)=C(n+1,m)重点题型整理1.计算排列数和组合数

-题型：已知集合A和B的元素个数，求从集合A中选取m个元素和从集合B中选取n个元素的排列数或组合数。

-例题：集合A有5个元素，集合B有4个元素，求从集合A中选取2个元素和从集合B中选取1个元素的排列数和组合数。

-答案：排列数A(5,2)=5!/(5-2)!=5×4=20种。

组合数C(5,2)=5!/[2!×(5-2)!]=5×4/(2×1)=10种。

2.应用排列组合解决实际问题

-题型：根据实际问题，确定排列或组合的应用，并计算结果。

-例题：一个密码由4位数字组成，第一位数字不能为0，求这个密码共有多少种可能的组合。

-答案：第一位数字有9种选择（1-9），后三位数字有10种选择（0-9），所以密码的组合数为9×10×10×10=9000种。

3.排列与组合的转换

-题型：将实际问题中的排列问题转化为组合问题，或反之。

-例题：一个班级有5名男生和4名女生，需要选出2名男生和2名女生组成一个小组，求有多少种不同的选法。

-答案：先从5名男生中选出2名，有C(5,2)种方法；再从4名女生中选出2名，有C(4,2)种方法。因此，总共有C(5,2)×C(4,2)=10×6=60种不同的选法。

4.排列组合与概率结合

-题型：在排列组合的背景下，计算事件的概率。

-例题：从5名男生和4名女生中随机选取3名学生参加比赛，求选出的3名学生中至少有2名女生的概率。

-答案：所有可能的选法有C(9,3)种。至少有2名女生的选法包括：2男1女和3女。所以，概率为[C(5,2)×C(4,1)+C(4,3)]/C(9,3)=(10×4+4)/84=44/84=11/21。

5.排列组合的递推关系和对称性质

-题型：利