《 备考指南 数学 》课件-第7章 第1讲

数列第七章课标考点1．高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主．2．解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等．考情简析2021年新高考Ⅰ卷16(数列的求和)2021年新高考Ⅰ卷17(数列的递推式、数列的通项公式与求和)2021年甲卷理科18(等差数列的性质与求和)2021年甲卷文科9(等比数列的前n项和)2021年甲卷文科18(等差数列的性质与前n项和)考情简析2021年乙卷理科19(等差数列的概念、性质和通项公式)2021年乙卷文科19(等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n项和公式和利用错位相减法求数列的前n项和)2021年浙江10(数列的递推关系式及其应用，数列求和与放缩的技巧)2021年浙江20(递推关系式求数列的通项公式的方法，错位相减求和的方法，数列中的恒成立问题)素养阐述数学抽象：数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中数学建模：对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养数学运算：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果备考指津命题形式：高考在本章一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分备考方向：从近几年高考试题可以看出，高考对数列知识的考查既注重基础，又注重能力，且难度有可能会逐步加大第1讲数列的概念及简单表示法课标要求考情概览1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测本年度高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：①由Sn求an；②由递推关系求an；③根据an＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．数列的概念(1)数列的定义：按照____________排列的一列数称为数列，数列中的__________叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列的表示法：________、________和______________．确定的顺序每一个数列表法图象法通项公式法2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数______无穷数列项数______按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1____an递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an＝c(常数)其中n∈N*有限无限＞＜3．数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果一个数列的__________或__________的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了．序号相邻两项多项之间4．数列的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________．a1＋a2＋…＋an

【特别提醒】1．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．【答案】A2．(2021年南充月考)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，那么9是它的 (

)A．第10项 B．第4项C．第3项 D．第2项【答案】C【答案】D【答案】CD5．(2021年广州荔湾区期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋3，则an＝________．数列通项公式的注意点(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．(4)通项公式和递推公式的异同点：

不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)所有数列的第n项都能使用公式表达． (

)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．

(

)(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列． (

)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． (

)(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn． (

)(6)在数列{an}中，对于任意正整数m，am＋1＝am＋1，若a1＝1，则a2＝2． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√重难突破能力提升2

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________；(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．由Sn与an的关系求an【答案】(1)B

(2)ABD

(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求{an}的通项公式；(2)设数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，求{an}的通项公式．由递推关系求数列的通项公式方法适用类型要点赋值法a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝f(n－1)(n≥2)，②再由①－②可得an(注意对n＝1的情况进行讨论)(2)(构造法)若将例2(1)条件“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？示通法数列的函数特征主要涉及函数的周期性、单调性以及最值问题等，求解的过程要借助研究函数性质的方法进行．数列的函数特征【答案】A

【答案】D

考向3数列的最值问题

(2021年北京期末)记Sn为数列{an}的前n项和．若an＝n(8－n)(n＝1,2，…)，则 (

)A．{an}有最大项，{Sn}有最大项B．{an}有最大项，{Sn}有最小项C．{an}有最小项，{Sn}有最大项D．{an}有最小项，{Sn}有最小项【答案】A

【解析】根据题意，数列{an}，an＝n(8－n)＝8n－n2，对于二次函数y＝－x2＋8x，其开口向下，对称轴为x＝4，即当x＝4时，y＝－x2＋8x取得最大值，对于{an}，n＝4时，an最大，且当1≤n＜8时，an＞0，当n＝8时，an＝0，当n＞8时，an＜0，故当n＝7或8时，Sn最大，故{an}有最大项，{Sn}有最大项．故选A．【解题技巧】1．周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．(2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关