吉林省白城一中2025年高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页吉林省白城一中2025年高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2A.37 B.16 C.5112.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(

)A.123

B.16

C.24

3.若复数z满足z(3+4i)=5(其中i是虚数单位)，则|z|=(

)A.1 B.2 C.5 D.14.单位圆O：x2+y2=1上有两个动点M(x1,y1A.[2−1,2+1] B.[5.从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是(

)A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生

B.样本是指1000名学生

C.样本量指的是1000名学生

D.个体指的是该市参加升学考试的每一名学生6.已知圆C：x2+y2−2x=0，过圆C外一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，三角形PAB的面积为3A.33 B.233 7.若数列{an}的前n项和Sn满足SA.数列{an}为等差数列

B.数列{an}为递增数列

C.S4−S28.设i为虚数单位，a∈R，若(1+i)(1+ai)是纯虚数，则a=(

)A.2 B.−2 C.1 D.−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X，Y，其中Y=3X+1，已知随机变量X的分布列如下表X12345Pm11n3若E(X)=3，则(

)A.m=310 B.n=15 C.10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，直线l：bx+ay−bc=0与CA.若NF1⊥NF2，则e=2 B.若MF1⊥MF2，则e=2211.若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{anA.若a1>0，0<q<1，则{an}为递减数列

B.若a1<0，0<q<1，则{an}为递增数列

C.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=(x+5)(x+2)x+1(x>−1)的最小值为

13.等比数列{an}的公比为q，其通项为an，如果a2+a5(a14.某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取100人、60人参加演出活动，其中甲学院中女生占35，乙学院中女生占34.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在△ABC中，CD为AB边上的高，已知AC+BC=AB+CD．

(1)若AB=2CD，求tanC2的值；

(2)若AB=kCD，k>0，求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值．16.(本小题15分)

在数列{an}中，an+12+2an+1=anan+2+an+an+2，且17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex+cosx−2．

(1)设f′(x)为f(x)的导函数，求f′(x)在[0,+∞)上的最小值；

(2)今g(x)=f(x)−ax(a∈R)，证明：当a≤1时，在[−π218.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−aln(x+1)，g(x)=sinx−x，其中a∈R．

(1)证明：当x∈[0,+∞)时，g(x)≤0；

(2)若x>0时，f(x)有极小值，求实数a的取值范围；

(3)对任意的x∈[0,π]，2f(x)≥g′(x)+2恒成立，求实数19.(本小题17分)

在四面体ABCD中，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点，且CFBF=CGDG=12.求证：

(1)四边形EFGH是梯形；

(2)AC参考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.C

6.B

7.D

8.C

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.9

13.12或2

−16或1414.213215.解：(1)设a、b、c分别为角A、B、C所对的边，CD=ℎ，则a+b=c+ℎ．

在△ABC中，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=(a+b)2−c2−2ab2ab=(c+ℎ)2−c22ab−1=ℎ2+2cℎ2ab−1．

根据三角形的面积公式，可得12absinC=12cℎ，所以ab=cℎsinC，可得1+cosCsinC=ℎ2+2cℎ2cℎ=1+ℎ2c．

因为AB=2CD，即c=2ℎ，所以1+cosCsinC=1+ℎ2c=54，可得tanC2=2sinC2cosC22cos2C2=sinC1+cosC=45．

(2)16.解：(1)证明：因为an+12+2an+1=anan+2+an+an+2，

所以an+12+2an+1+1=anan+2+an+an+2+1，

所以(an+1+1)2=(an+1)(a17.解：(1)f′(x)=ex−sinx(x≥0)，

令ℎ(x)=ex−sinx，则ℎ′(x)=ex−cosx，

因为当x∈[0,+∞)时，ex≥1，cosx≤1，

所以ℎ′(x)=ex−cosx≥0，

所以ℎ(x)即f′(x)在[0,+∞)上单调递增，

所以f′(x)在[0,+∞)上的最小值为f′(0)=1．

(2)证明：方法一：由题意知g(x)=ex+cosx−ax−2(a∈R)，

又因为a≤1，

所以g′(x)=ex−sinx−a≥ex−sinx−1=ex(1−1+sinxex)，

令φ(x)=1+sinxex(−π2≤x<0)，

则φ′(x)=cosx−sinx−1ex=2cos(x+π4)−1ex，

因为x∈[−π2,0)，

所以x+π4∈[−π4,π4)，

所以cos(x+π4)≥22，

所以φ′(x)≥0，φ(x)在[−π2,0)上单调递增，

所以当x∈[−π2,0)时，φ(x)<φ(0)=1，

所以g′(x)>0，所以g(x)在[−π2,0)上单调递增，

所以g(x)<g(0)=0，

所以a≤1时，在[−π2,0)上，g(x)<0，

方法二：根据题意，g(x)=ex+cosx−ax−2(a∈R)，

所以g′(x)=ex−sinx−a，

令p(x)=ex−sinx−a(−π2≤x<0)，

则p′(x)=ex−cosx，

令q(x)=ex−cosx(−π2≤x<0)，

则q′(x)=18.解：(1)证明：因为g(x)=sinx−x，则g′(x)=cosx−1≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立，

可知g(x)在[0,+∞)内单调递减，则g(x)≤g(0)=0，

所以当x∈[0,+∞)时，g(x)≤0．

(2)因为f(x)=ex−aln(x+1)，x>0，则f′(x)=ex−ax+1=(x+1)ex−ax+1，

令ℎ(x)=(x+1)ex−a，x>0，则ℎ′(x)=(x+2)ex>0对任意x>0恒成立，

可知ℎ(x)在(0,+∞)内单调递增，则ℎ(x)>ℎ(0)=1−a，

当1−a≥0，即a≤1时，则ℎ(x)>0对任意x>0恒成立，即f′(x)>0，

可知f(x)在(0,+∞)内单调递增，无极值，不合题意；

当1−a<0，即a>1时，则ℎ(x)在(0,+∞)内存在唯一零点x0>0，

当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即f′(x)<0；当x>x0时，ℎ(x)>0，即f′(x)>0；

可知f(x)在(0,x0)内单调递减，在(x0,+∞)内单调递增，

可知f(x)存在极小值f(x0)，符合题意；

综上所述：实数a的取值范围为(1,+∞)．

(3)令F(x)=2f(x)−g′(x)−2=2ex−2aln(x+1)−cosx−1，x∈[0,π]，

则F′(x)=2ex−2ax+1+sinx19.证明：(1)连结BD，

∵E，H分别是边AB，AD的中