3.4 乘法公式第2课时【知识精研精讲】七年级数学下册高效课堂（浙教版2024）

教学目标01能理解完全平方公式(a

±

b)2=a2±2ab+b2，了解完全平方公式的几何背景02能利用完全平方公式进行简单的计算和推理完全平方公式01课堂引入如图，大正方形的边长为a+b。请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积。通过计算能得出什么结论？能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这个结论？请试一试。如看作1个大正方形，则S=(a+b)2如看作2个小长方形和2个小正方形，则S=a2

+2ab+b2S=(a+b)2=a2+2ab+b2请计算：(a+b)2=____________。02知识精讲a2+2ab+b2解：(a+b)2=(a+b)(a+b)=

a2

+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。(a+b)2=a2+2ab+b2和的平方平方平方积的2倍符号跟随结构特征：(1)左边是两个数的和的平方；(2)右边是一个三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，

中间一项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同。02知识精讲两数和的完全平方公式：一般地，我们有以下两数和的完全平方公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2。两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。

口诀：首平方，末平方，积的两倍在中央(符号随中央“+”)。02知识精讲完全平方公式的几何背景：法一：S大正方形

=(a+b)2法二：S大正方形

=a2+2ab+b2S=(a+b)2=a2+2ab+b2用两数和的完全平方公式计算(填空)：(1)(a＋1)2

=(

)2＋2(

)(

)+(

)2

=__________________；(2)(2a+3b

)2

=(

)2＋2(

)(

)+(

)2

=__________________。02知识精讲做一做a

a

11a2＋2a+12a

2a

3b

3b

4a2＋12ab+9b2

02知识精讲两数差的完全平方公式：

如果把(a-b)2写成[a+(-b)]2，

就可以由两数和的完全平方公式写出两数差的完全平方公式：

(a-b)2=a2-2ab+b2。

两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。

口诀：首平方，末平方，积的两倍在中央(符号随中央“-”)。计算：(1)(2a+7b)2；

(2)(xy-4)2；02知识精讲将2a、7b看作整体做一做解：(1)(2a+7b)2=(2a)2+2·(2a)·(7b)+(7b)2=4a2

+28ab+49b2；将xy看作整体(2)(xy-4)2=(xy)2-2·(xy)·4+42=x2y2

-8xy+16；02知识精讲完全平方公式的注意点：(1)公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式；(2)对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式。计算：(3)(a+b+c)(a+b-c)。02知识精讲做一做【分析】法一：多项式的乘法法则(3)(a+b+c)(a+b-c)=a2

+ab-ac+ab+b2-bc+ac+bc-c2=a2+b2-c2+2ab。计算：(3)(a+b+c)(a+b-c)。02知识精讲做一做将a+b看作整体【分析】法二：乘法公式(3)(a+b

+c)(a+b

-c)=(a+b)2

-c2=a2

+2ab+b2

-c2=a2

+b2

-c2

+2ab。乘法公式：

平方差公式和完全平方公式都是常用的乘法公式，

合理运用乘法公式能简化运算。02知识精讲02知识精讲例3

用完全平方公式计算：(1)(x+2y)2；

(2)(2a-5

)2；(3)(-2s+t

)2；

(4)(-3x-4y

)2。解：(

1

)

(x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2=

x2+4xy+4y2；(2)(2a-5)2

=(2a)2-2·2a·5+52

=4a2-20a+25；02知识精讲例3

用完全平方公式计算：(1)(x+2y)2；

(2)(2a-5

)2；(3)(-2s+t

)2；

(4)(-3x-4y

)2。(3)

(-2s+t)2=(t-2s

)2=

t2-2·t·2s+(2s)2=

t2-4ts+4s2；(4)(-3x-4y)2=(-3x)2-2·(-3x)·4y+(4y)2

=9x2+24xy+16y2。第(3)题和第(4)题能直接用两数和的完全平方公式计算吗？02知识精讲例3

用完全平方公式计算：(1)(x+2y)2；

(2)(2a-5

)2；(3)(-2s+t

)2；

(4)(-3x-4y

)2。(3)

(-2s

+t)2=(-2s)2+2·(-2s)·t+t2=

4s2

-4st+t2；(4)(-3x-4y)2=[-3x+(-4y)]2=(-3x)2+2·(-3x)·(-4y)+(-4y)2

=9x2+24xy+16y2。02知识精讲例4

一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m。求两块苗圃的面积分别增加了多少平方米。解：设原正方形苗圃的边长为a

(m)，边长增加1.5m后，新正方形的边长为(a+1.5)m。(a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25。当a=30.1时，3a+2.25=3

×

30.1+2.25=92.55；当a=29.5时，3a+2.25=3

×

29.5+2.25=90.75。答：两块苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2。02知识精讲

解：(1)

(3+x)2=32+2

×

3·x+x2=

9+6x+x2

=

x2+6x+9；(2)

(y-7)2=

y2-2·y·7+72=

y2-14y+49；(3)

(7-y)2=72-2

×7·y+y2=49-14y+y2；=

y2-14y+49；02知识精讲

(4)

(-2x-3y)2=(-2x)2-2(-2x)·3y+(3y)2=

4x2+12xy+9y2；

02知识精讲课内练习

2.下列各式的计算错在哪里？应怎样改正？(1)

(a-b)2=

a2-b2；(2)

(a+2b)2=

a2+2ab

+2b2。解：(1)

不对，(a-b)2

=

a2-2ab+b2；(2)

不对，(a+2b)2

=

a2+2·a·2b+(2b)2

=a2

+4ab+4b2。已知(3x

+

a

)2

=

9x2

+

bx

+

4，则b的值为（）A．6

B．±6

C．12

D．±12解：∵(3x

+

a

)2

=

9x2

+

6ax

+

a2

=

9x2

+

bx

+

4，∴a2

=4，b

=6a，∴a

=±2，b

=±12。D例103典例精析计算：(1)10032；

(2)99982。解：(1)10032=

(1000+3)2=10002

+2×1000×3+32=1000000+6000+9=1006009；

(2)99982=(10000-2)2=100002

-2×10000×2+22=100000000-40000+4=99960004。例203典例精析下列等式成立的是（）A．(-x

-

1)(-x

-

1)=

x2

-

2x

+

1

B．(-x

+

1)(-x

+

1)=

-x2

-

2x

+

1C．(1

+

x

)(-x

+

1)=

1

-

x2

D．(-x

+

1)(-x

-

1)=

-x2

-

1解：A．原式

=(-x

-

1)2

=(x

+1)2

=

x2

+

2x

+

1

，×；B．原式

=(-x

+

1)2

=(x

-

1)2

=

x2

-

2x

+

1，×；C．相同项：1，相反项：x与-x，原式

=

1

-

x2，√；D．相同项：-x，相反项：1与-1，原式

=

x2

-

1，×。C例303典例精析

B例403典例精析计算：(1)(a

+

3b

)2(a

-

3b

)2；(2)(2x+3+y)(2x+3-y)。解：(1)法一：原式

=

(

a2

+6ab

+9b2

)

(

a2

-6ab

+9b2

)=……过于繁琐(1)法二：原式

=

[(a

+

3b

)(a

-

3b

)]2=[(a

)2

-(3b

)2)]2=(a2

-

9b2

)2=

a4

-

18a2b2

+

81b4；例503典例精析将2x+3看作整体(2)原式=(2x+3)2-y2=4x2

+

12x+

9

-y2。完全平方公式的拓展计算：(a+b+c)2。大正方形的面积即(a+b+c)2=3个小正方形与6个长方形的面积之和=

a2

+b2

+c2

+2ab+2bc+2ca。acacbb【分析】法一：几何法01课堂引入【分析】法二：多项式的乘法法则计算：(a+b+c)2。原式=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca。01课堂引入01课堂引入计算：(a+b+c)2。【分析】法三：完全平方公式原式

=[(a+b)+c]2=

(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2

+2ac+2bc+c2=