四川省自贡市2025届高三第二次诊断性测试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省自贡市2025届高三第二次诊断性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=−1,0A．−1,0 B．0,1 2．设i为虚数单位，若z1+3i=A．1 B．2 C．2 D．23．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（

）A．13 B．23 C．34．若(2x−1)A．−2 B．−1 C．15．若fx=lne2A．0 B．−1 C．−2 6．现有数字1,2,A．112 B．14 C．297．已知sinαsinβ=−A．316 B．18 C．1168．已知a=2.303lnln2.303A．a>c>C．b>a>二、多选题9．已知向量a=2,A．当a//b时，B．当a+2C．当x=1时，a在bD．当a与b夹角为锐角时，x10．设O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=A．aB．∠C．当△BF1F2的面积为D．当AB∥x轴时，C的离心率11．三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当△ABC内一点P满足条件：∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABCA．当AB=B．当AB=ACC．当θ=30D．当A=2三、填空题12．已知随机变量X服从正态分布N1,σ2，且P13．设F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y14．已知实数a,b,c满足a2四、解答题15．已知数列an的前n项和Sn=n2(1)求an(2)设cn=an,n=2k16．某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A,B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答A类问题的概率为p(0<(1)当p=45(2)若李华先回答A类问题累计得分的期望大于先回答B类问题累计得分的期望，求p的取值范围.17．已知函数fx(1)若fx存在极小值，且极小值为−1，求(2)若fx≥g18．如图，在平面四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，△ADC是等腰三角形，且∠AD(1)若AB=BP，求证：平面(2)若∠PAB=45∘，记△ABC(3)求平面ABC与平面19．已知抛物线E:y2=2pxp>(1)求E的方程；(2)设A,B为E上两点，C为线段AB的中点（C不在x轴上），O为坐标原点，直线OC交E于点D，直线DA与直线OB交于点M，直线（i）设AB=2（ii）求证：AB∥M答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省自贡市2025届高三第二次诊断性测试数学试题》参考答案题号12345678910答案DABDBDDCACACD题号11答案ABC1．D【分析】化简集合B，再根据集合的交集运算求解.【详解】由x−1<2，可得∴A故选：D.2．A【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.【详解】z=则z=故选：A.3．B【分析】根据圆锥侧面积和表面积公式计算即可.【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径长为r，则l=该圆锥的侧面积为πr表面积为2π则该圆锥的侧面积与表面积的比值为2π故选：B.4．D【分析】根据赋值法，分别令x=0，【详解】由2x令x=0，得令x=1，得∴i故选：D.5．B【分析】根据偶函数定义，列式运算得解.【详解】由题，可得f−x=∴2∴2∴a故选：B.6．D【分析】根据题意，由组合数代入计算，再由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】六个数字全排列的情况数为A6将两个2看作一个整体，与一个1和三个3进行全排列，此时情况数为A5由古典概型的概率公式可得，数字2，2恰好相邻的概率为P=故选：D7．D【分析】根据题意，由余弦函数的和差角公式代入计算可得cosαcosβ再将原式利用降幂公式化简可得sin2【详解】因为cosα又sinαsinβ则cosα因sin==−=−故选：D8．C【分析】根据题意，可判断a=0，b>【详解】∵lnlnln∴2.303lnln又b=eln∴b故选：C.9．AC【分析】对A，根据两向量平行的坐标公式求解；对B，由向量模的坐标公式求解；对C，根据投影向量的定义求解；对D，根据a⋅b>0，且【详解】对于A，由a//b，则2对于B，∵a+2∴16+1+2对于C，当x=1时，所以a在b方向上的投影向量为a⋅对于D，当a与b夹角为锐角时，则a⋅b>0，且∴2+x>0故选：AC.10．ACD【分析】由椭圆方程表示出焦点坐标，结合题意，利用距离公式，可得A的正误；由圆的性质，可得B的正误；由三角形的面积与平行求得动点坐标，联立方程求得参数，可得CD的正误；【详解】由x2a2+y2b由A0,3，AF2=2易知AF2=易知等边△AF1F2的外接圆圆心D以A0,3为圆心，以R=23为半径作圆两式相减得y-12-y若∠F1BF2=60设BxB,yB，则△由椭圆C:x2a2可得a2-a化简可得a4分解因式可得a2-6a2当a2=6当a2=12由AB//x轴，则yB=3点B代入椭圆C，可得12a2+9a当a2=12当a2=12所以e=故选：ACD.11．ABC【分析】由两角相等得到三角形相似，再由边对应成比例可得A选项；设PB=x，由三角形相似表示出PA，在△ABC中由正弦定理表示出AB，在△ABP中由余弦定理得到cos【详解】A选项，当AB=AC时，因为∠ABC所以∠P又因为∠PAB所以PBPCB选项，当AB=AC时，由A选项知因为PC=2PB，所以P因为△PAB∼又因为∠ABC=∠在△ABC中，由正弦定理得A即22cos∠在△ABP由正弦定理得ABsin∠由余弦定理得cosθ所以cosθ=2sinθ故B正确；C选项，当θ=S=所以a⋅在△BCP在△ACP在△ABP相加得CP即a2D选项，当A=2θ此时sinA在△ABC中，由正弦定理得a所以b2故选：ABC.12．0.04【分析】根据正态分布的对称性求解所求区间的概率即可.【详解】因为X∼N1∴P故答案为：0.04.13．2【分析】由题意作图，并表示焦点坐标与渐近线方程，根据等腰三角形的性质，表出点P的坐标，利用距离公式，可得答案.【详解】由题意作图如下：由OP=PF2，设c由x2a2−y2b2=不妨设Pc2,bc由OP=12P由b2=c2−故答案为：2614．5【分析】先将c=a+b−1代入a2+b2+c2=1，化简整理得到a【详解】a+b−c=展开并化简得a即2a2+设s=a+b由于a,b为实数，所以二次方程故Δ=a3将c=s−a令f(求导得f′(s)=−9当s∈0,1时，当s∈1,13当s∈13,4又f(所以f(s)故答案为：5915．(1)an=(2)4【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系，以及等比数列的通项公式，可得答案；（2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案.【详解】（1）当n=1时，当n≥2时，显然a1=1满足上式，所以数列a由b1=a2=2，所以数列bn的通项公式b（2）T===16．(1)12(2)3【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分别求得先回答A类问题得分期望以及先回答B类问题得分期望，列出不等式，然后代入计算，即可得到结果.【详解】（1）当p=45pp（2）设李华先回答A类问题累计得分为X，则X的可能取值为0,且PX=0PX则EX设李华先回答A类问题累计得分为Y，则Y的可能取值为0,且PY=0PX则EY由EX>E化简可得5p2+解得p>35或p<−即p的取值范围为3517．(1)e(2)(【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为−1（2）将不等式fx≥gx分离参数，得a≤【详解】（1）∵f′x当a≤0时，f′当a>0时，由f′当x<lna时，f′x所以fx在−∞,所以fx的极小值为flna（2）由fx≥gx，得ex设φx=ex−当x∈0,1时，φ′当x∈1,+∞时，φ所以φx≥φ所以a的取值范围为−∞18．(1)证明见解析；(2)23(3)2.【分析】（1）设等边三角形△ABC的边长为2，由勾股定理证明PO⊥（2）根据题意，可证PB=PA=PC，即三棱锥P−ABC为正三棱锥，连接CG并延长交AB于Q，可证平面PAB⊥平面PG（3）设∠POB=α，过P作PN⊥OB，过P作PF⊥【详解】（1）设等边三角形△A则AD=DC=2，连接因为△ADC是等腰三角形，所以D因为PB=AB=所以BO2+AC∩BO=所以PO⊥平面ABC，因为所以平面APC⊥（2）在△APB中，AP=由余弦定理得PB=2所以三棱锥P−因为G是△A所以PG⊥平面AB连接CG并延长交AB于连接PQ，可得CQ⊥AB，P所以AB⊥平面所以面PAB⊥平面PGQ因为面PAB∩平面PGQ所以GH⊥平面取PA的中点为M，由题意知G是A所以GM//在△GHM中，G所以sin∠（3）因为PO=1，设∠PO因为AC⊥OP,所以平面POB⊥平面ABC可得PN=sin过P作PF⊥B易得NF⊥B在Rt△NFB中，所以tan∠∴2所以sinα+φ所以平面ABC与平面PB19．(1)y(2)（i）3（i）证明见解析【分析】（1）设切线方程为x=my−1，与