《备考指南 理科数学》课件-第9章 第2讲

第九章第2讲[A级基础达标]1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．不能确定【答案】C【解析】直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－eq\f(1,2)，则k1≠k2且k1k2≠－1.故选C．2．直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋a＝0之间的距离为eq\r(5)，则a等于()A．0 B．－20C．0或－20 D．0或－10【答案】C【解析】直线x＋2y－5＝0，可化为2x＋4y－10＝0.因为直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋a＝0之间的距离为eq\r(5)，所以eq\f(|a＋10|,\r(4＋16))＝eq\r(5)，所以a＝0或－20.3．已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么|OP|的最小值为()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．eq\r(2) D．2eq\r(2)【答案】A【解析】|OP|的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|0＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).4．(2018年北京西城区模拟)若P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是()A．8 B．2eq\r(2)C．eq\r(2) D．16【答案】A【解析】因为x2＋y2≥0，所以eq\r(x2＋y2)表示直线上的点到原点的距离，其最小值为原点到直线的距离d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(2))＝2eq\r(2).所以x2＋y2的最小值为8.5．(2018年重庆一模)设m，θ∈R，则(2eq\r(2)－m－cosθ)2＋(2eq\r(2)＋m－sinθ)2的最小值为()A．3 B．4C．9 D．16【答案】C【解析】令点P(2eq\r(2)－m,2eq\r(2)＋m)，Q(cosθ，sinθ)．点P在直线x＋y－4eq\r(2)＝0上，点Q的轨迹为单位圆x2＋y2＝1.因此(2eq\r(2)－m－cosθ)2＋(2eq\r(2)＋m－sinθ)2的最小值为单位圆上的点到直线x＋y－4eq\r(2)＝0距离的最小值的平方，故其最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),\r(2))－1))2＝(4－1)2＝9.6．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．【答案】(0,3)【解析】设对称点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－2)＝－1，,\f(x0＋2,2)－\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝3，))故所求对称点为(0,3)．7．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．【答案】－9【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))因三直线相交于同一点，所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，解得m＝－9.8．(2018年上海模拟)已知点A(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离不小于3，则a的取值范围是________．【答案】(－∞，－3]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，＋∞))【解析】由题意可得eq\f(|2a＋3a－1＋3|,\r(a2＋a－12))≥3，化为7a2＋18a－9≥0，解得a≤－3或a≥eq\f(3,7).[B级能力提升]9．在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为()A．eq\f(\r(10),2) B．eq\r(10)C．5 D．10【答案】D【解析】由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.故选D．10．(2018年榆林三模)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0和x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤eq\f(1,8)，则这两条直线间距离的最大值为()A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．eq\r(2)【答案】B【解析】因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以a＋b＝－1，ab＝c.两条直线之间的距离d＝eq\f(|a－b|,\r(2))，所以d2＝eq\f(a＋b2－4ab,2)＝eq\f(1－4c,2).因为0≤c≤eq\f(1,8)，所以eq\f(1,2)≤1－4c≤1，即d2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).所以两条直线之间的距离的最大值是eq\f(\r(2),2).故选B．11．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．【答案】5【解析】由已知易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，所以|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq\f(|AB|2,2)＝eq\f(10,2)＝5.当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立．12．在△ABC中，已知A(1,1)，B(－3，－5)．(1)若直线l过点M(2,0)，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；(2)若直线m：x＋2y＋eq\f(11,3)＝0为角C的内角平分线，求直线BC的方程．【解析】(1)因为点A，B到l的距离相等，所以直线l过线段AB的中点或l∥AB．①当直线l过线段AB的中点时，线段AB的中点为(－1，－2)，l的斜率k＝eq\f(－2－0,－1－2)＝eq\f(2,3)，则l的方程为y＝eq\f(2,3)(x－2)，即2x－3y－4＝0.②当l∥AB时，l的斜率k＝kAB＝eq\f(－5－1,－3－1)＝eq\f(3,2)，则l的方程为y＝eq\f(3,2)(x－2)，即3x－2y－6＝0.综上，直线l的方程为2x－3y－4＝0或3x－2y－6＝0.(2)因为直线m为角C的内角平分线，所以点A关于直线m的对称点A′在直线BC上．设A′(s，t)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(s＋1,2)＋2×\f(t＋1,2)＋\f(11,3)＝0，,\f(t－1,s－1)＝2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\