《备考指南 理科数学》课件-第7章 第4讲

第七章第4讲[A级基础达标]1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．结论正确【答案】A2．下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；所以直线b∥直线a.在这个推理中()A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误【答案】D3．(2018年泸州模拟)甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是()A．丙被录用了 B．乙被录用了C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了【答案】C4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1 B．2nC．eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1【答案】C5．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(αβ)类比，则有sin(αβ)＝sinα＋sinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B6．(2018年齐齐哈尔三模)已知如下等式：2＋4＝6,8＋10＋12＝14＋16,18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…，以此类推，则200会出现在第________个等式中．【答案】10【解析】①2＋4＝6，②8＋10＋12＝14＋16，③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…，其规律为：各等式首项分别为2×1,2×(1＋3)，2×(1＋3＋5)，…，所以第n个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n－1)]＝2×eq\f(n1＋2n－1,2)＝2n2.当n＝9时，等式的首项为2×92＝162，当n＝10时，等式的首项为2×102＝200，所以200在第10个等式中．7．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．【解析】表4为它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．[B级能力提升]8．下面使用类比推理正确的是()A．直线a∥b，b∥c，则a∥c.类推出：向量a∥b，b∥c，则a∥cB．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b.类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．实数a，b，若方程x2＋ax＋b＝0有实数根，则a2≥4b.类推出：复数a，b，若方程x2＋ax＋b＝0有实数根，则a2≥4bD．以点(0,0)为圆心，r为半径的圆的方程为x2＋y2＝r2.类推出：以点(0,0,0)为球心，r为半径的球的方程为x2＋y2＋z2＝r2【答案】D【解析】对于A，b＝0时，不正确；对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a，b平行、相交或异面，不正确；对于C，方程xeq\o\al(2,0)＋ix0＋(－1－i)＝0有实根，但a2≥4b不成立，不正确；对于D，设点P(x，y，z)是球面上的任一点，由|OP|＝r，得x2＋y2＋z2＝r2，正确．故选D．9．(2018年桂林校级月考)已知数列{an}是正项等差数列，若cn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,1＋2＋3＋…＋n)，则数列{cn}也为等差数列．已知数列{bn}是正项等比数列，类比上述结论可得()A．若{dn}满足dn＝eq\f(b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn,1＋2＋3＋…＋n)，则{dn}也是等比数列B．若{dn}满足dn＝eq\f(b1·2b2·3b3·…·nbn,1·2·3·…·n)，则{dn}也是等比数列C．若{dn}满足dn＝(b1·2b2·3b3·…·nbn)eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)，则{dn}也是等比数列D．若{dn}满足dn＝(b1·beq\o\al(2,2)·beq\o\al(3,3)·…·beq\o\al(n,n))eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)，则{dn}也是等比数列【答案】D【解析】设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，对于D，b1·beq\o\al(2,2)·beq\o\al(3,3)·…·beq\o\al(n,n)＝b1·(b1q)2·(b1q2)3·…·(b1qn－1)n＝(b1·beq\o\al(2,1)·beq\o\al(3,1)·…·beq\o\al(n,1))(q1×2·q2×3·…·q(n－1)n)＝beq\o\al(1＋2＋3＋…＋n,1)·q1×2＋2×3＋…＋(n－1)n＝b1eq\f(nn＋1,2)q12＋1＋22＋2＋…＋(n－1)2＋(n－1)＝b1eq\f(nn＋1,2)qeq\f(nn＋1n－1,3)，所以dn＝(b1·beq\o\al(2,2)·beq\o\al(3,3)·…·beq\o\al(n,n))eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝b1qeq\f(2n－1,3)，即{dn}也是等比数列．10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1拆分为若干个不同的单位分数之和．如1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,20)，依此类推可得1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,30)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,56)，其中m≤n，m，n∈N*.则m＋n的值为()A．24 B．23C．32 D．28【答案】D【解析】由题意，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,30)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,56)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)－eq\f(1,7)＋eq\f(1,7)－eq\f(1,8)，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,20).所以m＝8，n＝20.所以m＋n＝28.11．若数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,n＋12)(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.【答案】eq\f(n＋2,2n＋2)【解析】f(1)＝1－a1＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))＝eq\f(2,3)＝eq\f(4,6)，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))＝eq\f(5,8)，推测f(n)＝eq\f(n＋2,2n＋2).12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解析】(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos