《备考指南 理科数学》课件-第8章 第6讲

第八章第6讲[A级基础达标]1．(2018年株洲模拟)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，C(0,1，－2)，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则点D的坐标为()A．(－2,3，－2) B．(2，－3,2)C．(－2,1,2) D．(2，－1，－2)【答案】D【解析】因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1，－2)＋2(1，－1,0)＝(2，－1，－2)．故选D．2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值是()A．－1 B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(7,5)【答案】D【解析】由题意得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝eq\f(7,5).3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于m，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为()A．m2 B．eq\f(1,2)m2C．eq\f(1,4)m2 D．eq\f(\r(3),4)m2【答案】C【解析】如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝m，且a，b，c三向量两两夹角为60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(m2cos60°＋m2cos60°)＝eq\f(1,4)m2.4．(2018年龙岩月考)已知向量{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间另一个基底，若向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))，则p在基底{a，b，c}下的坐标为________．【答案】(1,2,3)【解析】因为向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))，所以向量p＝eq\f(3,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)＋3c＝a＋2b＋3c，故p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)．5．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．【解析】(1)因为c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1，2)，所以c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，所以|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，所以m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又因为|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10).[B级能力提升]6．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则()A．c∥dB．c⊥dC．c不平行于d，c也不垂直于dD．以上三种情况均有可能【答案】B【解析】由题意得，c垂直于由a，b确定的平面．因为d＝λa＋μb，所以d与a，b共面．所以c⊥d.7．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－1 B．0C．1 D．不确定【答案】B【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.8．(2018年丽水模拟)已知空间向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)，向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且4x＋2y＋z＝4，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|不可能是()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．4【答案】A【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))＝(x＋y，y，z)，且4x＋2y＋z＝4，所以eq\o(OP,\s\up6(→))2＝(x＋y)2＋y2＋z2＝(x＋y)2＋y2＋(4－4x－2y)2＝17x2＋6y2＋18xy－32x－16y＋16＝17eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9y－16,17)))2＋eq\f(21,17)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(8,21)))2＋eq\f(16,21)≥eq\f(16,21).所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|≥eq\r(\f(16,21))＞eq\f(1,2)，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|不可能是eq\f(1,2).故选A．9．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值．【解析】设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b－a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，|eq\o(EG,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)b2＋eq\f(1,4)c2－eq\f(1,2)a·b＋eq\f(1,2)b·c－eq\f(1,2)c·a＝eq\f(1,2)，则|eq\o(EG,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2).(3)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－b＋