《备考指南 理科数学》课件-第13章 第2讲

第十三章第2讲[A级基础达标]1．(2018年长沙模拟)在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝3＋2t))(t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.【解析】(1)因为直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝3＋2t))(t为参数)，所以直线l的普通方程为2x－y－1＝0.因为曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，所以ρ2＝2ρcosθ.所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.(2)因曲线C：(x－1)2＋y2＝1是以C(1,0)为圆心，r＝1为半径的圆，故圆心C(1,0)到直线l的距离d＝eq\f(|2－0－1|,\r(4＋1))＝eq\f(\r(5),5)，直线l与曲线C交于A，B两点，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(4\r(5),5).2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)．以原点O为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(3)sinθ.(1)写出圆C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【解析】(1)由ρ＝2eq\r(3)sinθ，得ρ2＝2eq\r(3)ρsinθ，从而有x2＋y2＝2eq\r(3)y，所以x2＋(y－eq\r(3))2＝3.(2)设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,2)t，\f(\r(3),2)t))，又C(0，eq\r(3))，则|PC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,2)t))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)t－\r(3)))2)＝eq\r(t2＋12)，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3,0)．3．在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin(α－θ)＝2sinα，其中α为直线l的倾斜角(α≠0)．(1)求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)直线l与x轴的交点为M，与曲线C1的交点分别为A，B，求|MA|·|MB|的值．【解析】(1)因为曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，所以曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝4.因为直线l：ρsin(α－θ)＝2sinα，即ρsinαcosθ－ρcosαsinθ＝2sinα，所以直线l的直角坐标方程为xsinα－ycosα＝2sinα.(2)因为直线l与x轴的交点为M(2,0)，所以直线l的参数方程可设为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)．将直线l的参数方程代入圆C1的方程(x－1)2＋y2＝4，得t2＋2tcosα－3＝0，所以|MA|·|MB|＝|t1·t2|＝3.4．(2018年重庆校级一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－4.(1)写出直线l的极坐标方程，并判断曲线C的形状；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|OA|)－\f(1,|OB|)))2的值．【解析】(1)因为直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，所以直线l的普通方程为y＝eq\r(3)x.直线l过原点(极点)且倾斜角为eq\f(π,3)，所以直线l的极坐标方程为θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)．因为曲线C的极坐标方程为ρ2＝4eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－4，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ－4，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4.所以曲线C是以C(2,2)为圆心，以2为半径的圆．(2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－4y＋4＝0，,y＝\r(3)x，))得x2－(eq\r(3)＋1)x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\r(3)＋1，x1x2＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|OA|)－\f(1,|OB|)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)))－\f(1,\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2|x1|)－\f(1,2|x2|)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|x2|－|x1|,2|x1x2|)))2＝eq\f(|x2|－|x1|2,4)＝eq\f(x1＋x22－4x1x2,4)＝eq\f(\r(3)＋12－4,4)＝eq\f(\r(3),2).[B级能力提升]5．(2018年大连二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ为参数)，直线l经过点P(1,1)，斜率为eq\f(3,4)，直线l与曲线C相交于A，B两点．(1)写出曲线C的普通方程和直线l的参数方程；(2)求||PA|－|PB||的值．【解析】(1)因为曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ为参数)，所以曲线C的普通方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.因为直线l经过点P(1,1)，斜率为eq\f(3,4)，所以直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(4,5)t，,y＝1＋\f(3,5)t))(t为参数)．(2)直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(4,5)t，,y＝1＋\f(3,5)t))(t为参数)，将直线l代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，得84t2＋240t－125＝0.因为eq\f(12,4)＋eq\f(12,3)＜1，所以点P(1,1)在椭圆的内部．所以直线l与曲线C的交点A，B位于点P的两侧，即点A，B所对应的常数t值异号．设点A对应的参数为t1，点B对应的参数为t2，则t1＋t2＝－eq\f(20,7)，t1t2＝－eq\f(125,84)，故||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝eq\f(20,7).6．(2018年沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋2t))(t为参数)，直线l垂直于直线m且过点F(1,0)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2(3＋sin2θ)＝12.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)直线l交曲线C于A，B两点，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|FA|)－\f(1,|FB|))).【解析】(1)由ρ2(3＋sin2θ)＝12，得3x2＋3y2＋y2＝12，则曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.直线m的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋2t))(t为参数)，转化为直角坐标方程为2x－y－3＝0.则直线l的斜率k＝－eq\f(1,2)，又F(1,0)，故直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(2\r(5),5)t，,y＝\f(\r(5),5)t))(t为参数)．(2)由于直线l与曲线C相交于两点，把直线l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(2\r(5),5)t，,y＝\f(\r(5),5)t))(t为参数)代入曲线C的方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2\r(5),5)t))2＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)t))2＝12，整理，得eq\f(16,5)t2－eq\f(12\r(5),5)t－9＝0，故t1＋t2＝eq\f(3\r(5),4)，t1·t2＝－eq\f(45,16)(t1，t2异号)．故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|FA|)－\f(1,|FB|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,t1t2)))＝eq\f(4\r(5),15).7．(2018年聊城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－1＋\f(4,5)t))(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,2)))，曲线C的极坐标方程为asinθ－ρcos2θ＝0(a＞0)．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有两个交点A，B，且|PA|＝3|PB|，求a的值．【解析】(1)直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－1＋\f(4,5)t))(t为参数)，消去参数t，得直线l的普通方程为4x－3y－3＝0.因为曲线C的极坐标方程为asinθ－ρcos2θ＝0(a＞0)，即aρsinθ－ρ2cos2θ＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝ay(a＞0)．(2)将直线l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－1＋\f(4,5)t))代入x2＝ay，得9t2－20at＋25a＝0，由Δ＝400a2－900a＞0，得a＞eq\f(9,4).设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝eq\f(20,9)a，t1t2＝eq\f(25,9)a.①由点P的极坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,2)))，得其直角坐标为(0，－1)，可知点P在直线l上，由|PA|＝3|PB|，得t1＝3t2.代入①，可得a＝3＞eq\f(9,4).所以a＝3.8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)的值．【解析】(1)由ρsin2θ＝8cosθ得，ρ2sin2θ＝8ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsinα)2＝8(2＋tcosα)，整理得sin2α·t2－8cosα·t－16＝0.由已知sinα≠0，Δ＝(－8cosα)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，所以t1＋t2＝eq\f(