《备考指南 理科数学》课件-第8章 第3讲

立体几何第八章第3讲空间点、线、面的位置关系【考纲导学】1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过_____________________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有______公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条______直线有且只有一个平面；推论3：经过两条______直线有且只有一个平面．两点不在同一条直线上一个相交平行平行相交任何锐角(或直角)(3)平行公理：平行于____________的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．同一条直线相等或互补3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)直线与平面的位置关系有______、______、____________三种情况．(2)平面与平面的位置关系有______、______两种情况．相交平行直线在平面内平行相交1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(

)A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C2．下列命题中，不是公理的是(

)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A3．(2018年重庆模拟)已知直线a，b，平面α满足a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是(

)A．平行 B．相交或异面C．异面 D．平行或异面【答案】D4．若直线a⊥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．【答案】b与α相交或b∥α或b⊂α判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)两个平面α，β有一个公共点A，我们就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(

)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(

)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(

)(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(

)×√××课堂考点突破2平面的基本性质及应用如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(2)因为EF∥CD1，EF<CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P.由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA．所以CE，D1F，DA三线共点．【规律方法】(1)点线共面问题的证明方法：①先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明多线共点问题时，先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线．【跟踪训练】1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面；命题乙：直线AC和BD不相交．则甲是乙成立的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．空间点、线位置关系的判断

若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

)A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【答案】D【规律方法】平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，对点、线位置关系的判断，要对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用．【答案】D异面直线所成的角【解析】(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，因为A∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即为平面ABE.所以P∈平面ABE.这与P∈/平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．【规律方法】求两异面直线所成角的方法：(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．(2)证：证明作出的角为所求角．(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求平面角．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，要注意这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．【跟踪训练】3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【解析】(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.所以A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC．所以EF⊥A1C1.所以A1C1与EF所成的角为90°.课后感悟提升32种方法——异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．3个作用——3个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内；④由直线的直刻画平面的平．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．1．(2017年新课标Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(

)A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC【答案】C【解析】对于A，若A1E⊥DC1，那么D1E⊥DC1，显然不成立；对于B，若A1E⊥BD，那么BD⊥AE，显然不成立；对于C，若A1E⊥BC1，那么BC1⊥B1C，成立，反过来BC1⊥B1C时，也能推出BC1⊥A1E，所以C成立；对于D，若A1E⊥AC，则AE⊥AC，显然不成立．故选C．2．(2016年浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(

)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n【答案】C【解析】A项